Soluzione sistemi triangolari La seguente funzione risolve i sistemi triangolari inferiori

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1 1 Francesca Mazzia Dipartimento Interuniversitario di Matematica Università di Bari MATLAB:Soluzione Sistemi Lineari. Soluzione sistemi triangolari La seguente funzione risolve i sistemi triangolari inferiori function b = soll(l,b) %% %% dati di input %% L matrice triangolare inferiore %% b termine noto %% output %% b soluzione n = length(b); b(1) = b(1)/l(1,1); for i=2:n b(i) = (b(i) - L(i,1:i-1)*b(1:i-1))/L(i,i); end Per eseguirla in Matlab eseguiamo le seguenti istruzioni: >> [

2 ] >> b = [1;2;3;4] b = >> x=soll(l,b) x = >> L*x ans = >> b

3 3 b = >> L*x-b ans = >> norm(l*x-b, inf ) ans = >> Algoritmo di eliminazione di Gauss. Eseguiamo in Matlab tutti i passaggi per costruire la fattorizzazione >> clear P A L >> [ ]; >>A = A; >>P = eye(4);

4 4 >>b = [ 1; 2; 3; 4]; % scegliamo il pivot >>[elm,indm]=max(abs(a(1:4,1))) elm = 6 indm = 2 % scambiamo le righe di A >>A([1 indm],:)=a([indm,1],:) % scambiamo le righe di P e di b >>P([1 indm],:)=p([indm,1],:) P = >>b([1 indm])=b([indm,1]) b =

5 % calcolo gli elementi di L : L(2:4,1)=A(2:4,1)/A(1,1) >>L(2:4,1)=A(2:4,1)/A(1,1) % aggiorno la matrice A % aggiorno la seconda riga >>A(2,:)=A(2,:)-L(2,1)*A(1,:) % aggiorno la terza riga >>A(3,:)=A(3,:)-L(3,1)*A(1,:) % aggiorno la quarta riga >>A(4,:)=A(4,:)-L(4,1)*A(1,:)

6 % aggiorno il vettore b >>b(2:4)=b(2:4)-l(2:4,1)*b(1) b = % adesso ripeto il procedimento sulla sottomatrice A(2:4,2:4) % scelgo l elemento pivotale >>[elm,indm]=max(abs(a(2:4,2))) elm = 6 indm = 3 >>indm=indm+1 indm = 4 %scambio le righe di A

7 7 >>A([2 indm],:)=a([indm 2],:) % scambio le righe di P >>P([2 indm],:)=p([indm 2],:) P = % scambio le righe di b >>b([2 indm],:)=b([indm 2]) b = % scambio le righe di L >>L([2 indm],1)=l([indm 2],1) 1.

8 % calcolo gli elementi della seconda colonna di L >>L(3:4,2)=A(3:4,2)/A(2,2) % aggiorno la matrice A: terza e quarta riga >>A(3:4,:)=A(3:4,:)-L(3:4,2)*A(2,:) % aggiorno il vettore b >>b(3:4)=b(3:4)-l(3:4,2)*b(2) b = % eseguo l ultimo passaggio % calcolo elemento pivotale >>[elm,indm]=max(abs(a(3:4,3)))

9 9 elm = indm = 2 >>indm=indm+2 indm = 4 % scambio le righe di A >>A([3 indm],:)=a([indm 3],:) % scambio le righe di P >>P([3 indm],:)=p([indm 3],:) P = % scambio le righe di b >>b([3 indm],:)=b([indm 3])

10 1 b = % scambio le righe di L >>L([3 indm],:)=l([indm 3],:) % calcolo gli elementi di L >>L(4:4,3)=A(4:4,3)/A(3,3) % aggiorno la A >>A(4:4,:)=A(4:4,:)-L(4:4,3)*A(3,:)

11 11 % aggiorno la b >>b(4)=b(4)-l(4,3)*b(3) b = % ho ottenuto un sistema triangolare superiore % completo la matrice L >>L(:,4)= >>L=L+eye(4) % verifico la fattorizzazione >>P*A ans =

12 12 >>L*A ans = Costruiamo una funzione Matlab che ci permette di calcolare la fattorizzazione LU mediante il metodo di eliminazione di Gauss senza eseguire il pivot function [L,U] = gauss(a) % ELIMINAZIONE DI GAUSS % Dati di input: % matrice quadrata % Dati di output: % matrice triangolare inferiore % U = matrice triangolare superiore % tali che LU [n,m] = size(a); if n ~= m error( ERRORE: la matrice di input non e quadrata ) end for k = 1:n-1

13 % controllo sulla grandezza dell elemento diagonale: if abs(a(k,k)) < realmin disp( Un elemento diagonale e nullo ) error( Non e possibile continuare il procedimento di eliminazione ) end A(k+1:n,k) = A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n) = A(k+1:n,k+1:n) -... A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end tril(a,-1) + eye(n); U = triu(a); 13 Problemi dell algoritmo di fattorizzazione LU senza permutazioni: 1) Non può essere eseguita su matrici come: >> Q=[;;] Q = >> A=[1 2 5; ;1 1 3] Infatti se facciamo

14 14 >> [L,U]=gauss(Q) e >> [L,U]=gauss(A) abbiamo Un elemento diagonale e nullo??? Error using ==> gauss Non e possibile continuare il procedimento di eliminazione Possiamo risolvere tale problema utilizzando la funzione Matlab che esegue la fattorizzazione LU con pivot che si chiama lu; >> A=[1 2 5; ;1 1 3] >> [L,U,P]=lu(A)

15 15 U = P = da cui abbiamo >> P*A ans = >> L*U ans = Analogamente:

16 16 >> Q=[;;] Q = >> [L,U,P]=lu(Q) U = P = da cui >> P*Q ans =

17 17 >> L*U ans = Vediamo anche come costruire l algoritmo per calcolare la fattorizzazione LU con il metodo di eliminazione di Gauss con il pivot parziale: function [L,U,P] = gaussp(a) % ELIMINAZIONE DI GAUSS CON PIVOT PARZIALE % Dati di input: % matrice quadrata % Dati di output: % matrice triangolare inferiore % U = matrice triangolare superiore % P = matrice di permutazione % tali che P LU [n,m] = size(a); if n ~= m error( ERRORE: la matrice di input non e quadrata ) end P = eye(n); for k = 1:n-1 % ricerca del pivot e permutazione: % si scambiano le righe k e rp di A e di P

18 18 [piv,rp] = max(abs(a(k:n,k))); rp = rp + k - 1; P([k rp],:)=p([rp k],:) A([k rp],:)=a([rp k],:) % controllo sulla grandezza dell elemento pivotale: if abs(a(k,k)) <= realmin disp( Un elemento pivotale e nullo ) error( La matrice in input e singolare ) end A(k+1:n,k) = A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n) = A(k+1:n,k+1:n) - A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end tril(a,-1) + eye(n); U = triu(a); Anche mediante tale funzione possiamo risolvere il problema precedente; infatti: >> A=[1 2 5; ;1 1 3] >> [L,U,P]=gaussp(A)

19 U = P = e >> Q=[;;] Q = >> [L,U,P]=gaussp(Q)

20 2 U = P = 2) La fattorizzazione LU senza pivot Presenta problemi di instabilità numerica: { 1 17 x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 Il problema è ben posto, ed ha come soluzione esatta x (1, 1) T. Infatti ponendo: >> A=[1e-17 1;1 1] 1.e-17 1.e+ 1.e+ 1.e+ >> b=[1;2] b =

21 abbiamo: >> x=a\b x = 1 1 Applicando il metodo di Gauss ed operando in virgola mobile in base 2 in doppia precisione, si ottengono i fattori L ed U seguenti: >> [L,U]=gauss(A) 1.e+ 1.e+17 1.e+ U = 1.e-17 1.e+ -1.e+17 Il prodotto LU non è A e infatti: >> A-L*U

22 22 ans = 1 Ciò significa che la soluzione numerica ottenuta con il metodo di Gauss senza pivot sarà totalmente sbagliata. Infatti risolvendo Ly = b e Uxtilde = y abbiamo: >> y=l\b y = 1.e+ -1.e+17 >> xtilde=u\y xtilde = 1 Se invece utilizziamo il metodo di Gauss con il pivot parziale abbiamo: >> A=[1e-17 1;1 1] 1.e-17 1.e+ 1.e+ 1.e+

23 23 >> [L,U,P]=gaussp(A) 1.e+ 1.e-17 1.e+ U = P = da cui >> P*A-L*U ans = >> y=l\p*b y = 2 1 >> xtilde=u\y xtilde = 1 1