Francesca Mazzia Dipartimento Interuniversitario di Matematica Università di Bari. MATLAB: Elementi di Algebra Lineare

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1 1 Francesca Mazzia Dipartimento Interuniversitario di Matematica Università di Bari MATLAB: Elementi di Algebra Lineare

2 2 Elementi di Algebra Lineare. Una matrice è una tabella di numeri ordinata per righe e colonne. Definiamo a i,j elemento della matrice che si trova all incrocio della riga i.ma con la colonna j.ma della matrice a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n a m,1 a m,2... a m,n dove m e n dimensioni della matrice A. Se m = n A si dice matrice quadrata di ordine n. Se a i,j = 0 abbiamo la matrice nulla O. Indichiamo con R m n l insieme di tutte le matrici con m righe ed n colonne ad elementi reali. Gli elementi con indici uguali sono gli elementi principali; questi sono dati da: a 1,1,, a k,k, k = min(m, n) e formano la diagonale principale di A. Vediamo quali sono le istruzioni MATLAB che ci permettono di lavorare con le matrici. Possiamo costruire una matrice di ordine 3 i cui elementi assumono valori casuali mediante la seguente istruzione: >> A=rand(3,3) Vediamo ora alcuni particolari esempi di matrici: Matrici quadrate:

3 3 1) matrici triangolari inferiori (a i,j = 0 per j > i): L = a 1, a 2,1 a 2, a n,1 a n,2... a n,n - Estrazione della parte triangolare inferiore di A assegnando valore 0 agli elementi della parte triangolare superiore: >> L=tril(A) L = ) matrici triangolari superiori (a i,j = 0 per i < j): U = a 1,1 a 1,2... a 1,n 0 a 2,2... a 2,n a n,n - Estrazione della parte triangolare superiore di A assegnando valore 0 agli elementi della parte triangolare inferiore: >> U=triu(A) U =

4 ) le matrici diagonali (a i,j = 0 per i j): D = che possiamo anche scrivere a 1, a 2, a n,n D diag(a 1,1, a 2,2,..., a n,n ); - Estrazione della diagonale principale di A: >> diag(a) Costruzione di una matrice diagonale avente sulla diagonale principale i valori della diagonale principale di A: >> diag(diag(a))

5 5 - Altre proprietà della funzione diag: >> diag([1 2 3], -1) >> diag([1 2 3], -1) +diag( [ ],0) >> diag([1 2 3], -1) +diag( [ ]) >> diag([1 2 3], -1) +diag( [ ])+diag([1 2 3],1)

6 6 >> diag(ones(9,1), -1) +diag(2*ones(10,1))+diag(ones(9,1),1) Matrice identità: I = Istruzione MATLAB per costruire una matrica identità: >> eye(4,4) >> eye(5,3)

7 Matrici di dimensioni m n: - matrici con n = 1 formate da una sola colonna, vettori colonna: Esempio: x = x 1 x 2. x m >> x=rand(3,1) x = e e e matrici con m = 1, formate da una sola riga, vettori riga: Esempio: y = ( y 1 y 2... y n )

8 8 >> x=rand(1,3) x = e e e-002 Matrici a predominanza diagonale per righe e/o per colonne. Una matrice A si dice a predominanza diagonale per righe se: a i,i a i,j j i ed esiste almeno un indice i per cui vale la disuguaglianza stretta. Una matricea si dice a predominanza diagonale per colonne se: a j,j a i,j. i j ed esiste almeno un indice j per cui vale la disuguaglianza stretta. Quando le due disuguaglianze sono strette allora la matrice si dice predominanza diagonale in senso stretto. a Sia A R m n, si dice trasposta di A la matrice A T R n m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne. Esempio: >> A=[ ; ; ] >> A

9 Si può provare che (A T ) T = A. Infatti: >> (A ) -A Se A T = A, la matrice A si dice simmetrica. Operazioni con matrici. Siano A, B, C R m n - Se C = A + B allora c i,j = a i,j + b i,j ; >> A=rand(3,3) >> B=rand(3,3) B =

10 Facciamo la somma tra le due matrici: >> A+B e otteniamo una matrice C di ordine 3. - Se C = αa allora c i,j = αa i,j. >> 3*A Prodotto righe per colonne: siano A R m q e B R q n il prodotto C = AB R m n si ottiene ponendo: >> A*B q c i,j = a i,s b s,j, i = 1, m, j = 1, n. s=1

11 Il prodotto righe per colonne soddisfa le seguenti proprietà: 1) (αa)b = A(αB) = α(ab); >> A=rand(3,3) >> B=rand(3,3) B = >> C=rand(3,3) C = >> (6*A)*B

12 >> A*(6*B) >> 6*(A*B) ) se D R m q si ha: (A + D)B = AB + DB; >> D=rand(3,3) D = >> (A+D)*B

13 >> A*B+D*B ) se C R q n, si ha: A(B + C) = AB + AC; >> A*(B+C) >> A*B+A*C ) se C R n s, allora: A(BC) = (AB)C;

14 14 >> A*(B*C) >> (A*B)*C ) (AB) T = B T A T. >> (A*B) >> B *A

15 Non vale in genere la proprietà commutativa, cioè non è in genere vero che AB = BA, anche quando i due prodotti possono eseguirsi entrambi. Esempio: 15 >> A=[1 2;3 4] >> B=[0 1;0 0] B = >> A*B >> B*A Vi sono però delle matrici per cui AB = BA. In tal caso si dice che le matrici A e B commutano. Non è in genere vero che se AB = 0, una delle due matrici A o B debba essere nulla. Esempio:

16 16 >> B=[0 1;0 0] B = >> B*B Inversa di un matrice. Sia A R n n. Se esiste una matrice A 1 R n n tale che allora A 1 viene chiamata inversa della matrice A. >> A=[1 2;3 4] >> inv(a) A 1 AA 1 = I

17 17 Se l inversa esiste, essa è unica. Infatti sia B tale che B AB = I, allora: B = BI = BAA 1 = IA 1 = A 1. Vale la seguente proprietà infatti: (AB)B 1 A 1 = A 1 B 1 B I. >> A=[1 2;3 4] >> B=[5 6;7 8] B = >> inv((a*b)) >> inv(b)*inv(a) (AB) 1 = B 1 A 1

18 18 Una matrice che non ammette l inversa è detta singolare. Se A è non singolare, lo è anche A 1. Infatti (A 1 ) 1 = A. Provare che: (A T ) 1 = (A 1 ) T. >> A=[1 2;3 4] >> inv((a )) >> (inv(a)) L inversa di diag(d 1, d 2,..., d n ) è: >> A=[1 2;3 4] diag(d 1 1, d 1 2,..., d 1 n )

19 19 >> diag(diag(a)) >> inv(diag(diag(a))) L inversa di una matrice triangolare superiore (inferiore) è una matrice dello stesso tipo. >> A=[1 2;3 4] >> tril(a) >> inv(tril(a))

20 Il prodotto di matrici triangolari superiori (inferiori) è una matrice dello stesso tipo. > A=[1 2;3 4] >> B=[5 6;7 8] B = >> tril(a) >> tril(b) >> tril(a)*tril(b)

21 Se invece prendiamo una qualunque matrice C di 4 righe e 3 colonne possiamo vedere che non è possibile effettuare il prodotto A C perchè il numero delle colonne di A è diverso dal numero delle righe di C mentre è possibile effettuare il prodotto C A. Ciò si può verificare mediante i seguenti comandi: >> format short e >> A=rand(3,3) e e e e e e e e e-001 >> C=rand(4,3) C = e e e e e e e e e e e e-001 >> A*C Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. >> C*A e e e+000

22 e e e e e e e e e-001 Se invece consideriamo l operazione.* non è possibile effettuare C. A perchè A e C hanno un numero diverso di righe: >> A.*B e e e e e e e e e-001 >> C.*A Error using ==>.* Matrix dimensions must agree. Possiamo ripetere le stesse operazioni con vettore colonna x di 3 elementi: x = e e e-002 >> A*x e e+000

23 e-001 >> x*a Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Ora vediamo altre applicazioni sulle matrici: - Determinante di A: >> A=[1 2;3 4] >> det(a) -2 - Matrice di Toeplitz: >> help toeplitz TOEPLITZ Toeplitz matrix. TOEPLITZ(C,R) is a non-symmetric Toeplitz matrix having C as its first column and R as its first row. TOEPLITZ(R) is a symmetric (or Hermitian) Toeplitz matrix. See also HANKEL.

24 24 - Data la matrice B di ordine 3 e un qualsiasi vettore colonna b di 3 elementi, possiamo risolvere il sistema B x = b nel seguente modo: >> B=rand(3,3) B = >> b=rand(3,1) b = >> x=b\b x = Infatti: >> B*x-b 1.0e-15 *