Matrici. 3. Costruire le seguenti matrici, contarne gli elementi non nulli e visualizzarle con spy: . B 10x10 = ; D 7x7 =

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1 Matrici diag, tril, triu. Sia v il vettore colonna casuale di lunghezza. Calcolare: diag(v), diag (v,), diag (v,-), diag(v,), diag(v,-). Sia A la matrice magica x. Calcolare: tril(a), tril(a, ), tril(a, -), tril(a, ), tril(a, -) triu(a),triu(a, ), triu(a, -), triu(a, ), triu(a, -) diag(a), diag (A, ), diag (A, -), diag (A, ), diag(a, -) diag(diag(a)), diag(diag(a, )), diag(diag(a, ), ), diag(diag(a), ). Costruire le seguenti matrici, contarne gli elementi non nulli e visualizzarle con spy: A x. B x ; C x : :. 9. ; D 7x7 : 8. Sia A una matrice quadrata piena. La si trasformi in una matrice a banda con p sottodiagonali e q sopradiagonali con una combinazione dei comandi tril e triu. Provare con: A rand(), p, q ; A rand(), p, q ;

2 sparse, spdiags, full. Costruire, con il comando spdiags, le matrici A e B dell esercizio, convertirle con full e confrontarle con quelle già ottenute. Convertire con sparse le matrici A e B dell esercizio e confrontarle con quelle ottenute con spdiags. 6. Sia A la matrice nxn... costruita con il comando diag e B la stessa matrice costruita con spdiags. Per n,, confrontare, con il comando whos, l occupazione di memoria di A e B. Norme (norm) 8 Dati,, [ 7], 7 6 6, calcolarne con il comando norm e, per conferma, con l opportuna combinazione dei comandi abs, max, sum, eig la norma la norma. Verificare che per le matrici simmetriche la norma coincide con il raggio spettrale (per costruire una matrice simmetrica: data una qualsiasi matrice A, A + A T è simmetrica) la norma infinito

3 Matrici di Permutazione i. Siano A magic(), B ; calcolare BA e AB e sottolineare la differenza. ii. Costruire le matrici di permutazione per righe associate alle seguenti permutazioni: [ ], [ ], [ ] e testarle sulla matrice x che ha tutti gli elementi di ogni riga uguali all indice di riga. iii. Verificare sugli esempi costruiti nell esercizio precedente che per le matrici P di permutazione l inversa coincide con la trasposta. Metodi diretti per sistemi lineari Se A è una matrice quadrata di dimensione nxn e b è un vettore colonna di lunghezza n, l espressione Ax b rappresenta un sistema lineare di n equazioni in n incognite. Una volta inseriti in memoria A e b, la soluzione x del sistema, in Matlab, si può calcolare con l operatore \ che risolve il sistema via Eliminazione Gaussiana >> x A\b Esercizi I - Risolvere i seguenti sistemi lineari mediante \ i. 7 x 6 x

4 ii. 7 8 x x Confrontare i risultati ottenuti con quelli che provengono dal prodotto dell inversa di A con il vettore b ossia >> x inv(a)*b Perché i risultati non coincidono? Perché non si usa questa seconda strategia? II - Dopo aver calcolato determinante e rango della matrice del sistema e il rango della matrice orlata risolvere con \ i seguenti sistemi lineari, facendo molta attenzione ai messaggi d errore/warning. Nel secondo e terzo caso confrontare il valore del termine noto con quello del prodotto matrice-soluzione. x, x, x. Condizionamento (cond) Esempio Dato il sistema lineare x, la cui soluzione esatta è x, sostituire il termine noto b.998. con bt.998. e risolvere il sistema per ottenere la nuova soluzione xt. Confrontare l errore relativo in norma infinito sul dato b con l errore relativo in norma infinito sul risultato x. Giustificare il risultato ottenuto calcolando il numero di condizionamento in norma infinito della matrice del sistema.

5 Esempio 7 Ripetere il lavoro dell esercizio precedente con i seguenti dati:. termine noto perturbato bt..69 x e 7.7 Consideriamo il sistema lineare Test del Residuo x.. la cui soluzione esatta è approssimata xapp x. Calcolare il residuo fornito dalla soluzione.99 e giustificare il risultato. 87 Fattorizzazione LU (lu) Pivoting Si consideri la matrice d A / d d / d LU; dove d è un parametro reale non nullo. Si utilizzi la fattorizzazione di A per risolvere il sistema Ax b, con b (+ d ; ) T la cui soluzione esatta è il vettore x (; ) T. Si considerino i valori di d -, -, -6,, -8 e si commenti la precisione della soluzione ottenuta, tabulando per ciascun valore di d le componenti x(); x(). Come si comporta invece la soluzione approssimata quando si scambino opportunamente la prima e la seconda riga del sistema?

6 Esempio. Si considerino le seguenti matrici: A magic() + * eye() e A Per ciascuna di esse: si calcoli la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu usando la sintassi >> [L,U, P] lu(ai) osserviamo che per entrambe le matrici A e A la matrice di permutazione P è l identità. Questo significa che nel processo di fattorizzazione LU non `e stato effettuato il pivoting, infatti A è a dominanza diagonale stretta e A è simmetrica definita positiva. a partire dai fattori L, U, P ottenuti con lu si scrivano e si risolvano con il comando \ i due sistemi triangolari che devono essere risolti per calcolare la soluzione del sistema lineare Ai x b (si prenda b Ai*ones(n, ) con n dimensione di Ai, in modo da imporre una soluzione esatta x ones(n, )). Osserviamo che poichè Ai LU, la risoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari Ly b Ux y Esempio (pivoting). Si consideri la seguente matrice: A 8 7 si calcoli la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu usando la sintassi [L,U, P] lu(a)

7 osserviamo che la matrice di permutazione P NON è l identità, il che significa che è stato effettuato il pivoting. a partire dai fattori L, U, P ottenuti con lu si scrivano e si risolvano con il comando \ i due sistemi triangolari che devono essere risolti per calcolare la soluzione del sistema lineare Ax b (si prenda b A *ones(n, ) con n dimensione di A, in modo da imporre una soluzione esatta x ones(n, )). Osserviamo che poiché PA LU, la risoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari Ly Pb Ux y Il fenomeno del fill-in (spy) Per ognuna delle seguenti matrici calcolare la fattorizzazione LU, controllare l esecuzione o meno del pivoting giustificando il risultato e verificare il fenomeno del fill-in mediante il comando spy applicato ad L e U: A x B x C x D 7x7 8

8 Osserviamo che la matrice A è a banda, non viene effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U mantengono la struttura a banda. la matrice B è a banda, viene però effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U perdono la struttura a banda. Calcolare la diversa percentuale di elementi non nulli prima e dopo la fattorizzazione. le matrici C e D sono sparse, ma le matrici L ed U sono piene; calcolare la diversa percentuale di elementi non nulli prima e dopo la fattorizzazione.