Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 5 Metodi diretti per sistemi lineari Siano A R n n una matrice quadrata non singolare (det(a) 0) e b R n un vettore assegnati, allora esiste un unico vettore x R n che risolve il sistema lineare Ax = b Una volta inseriti in memoria A e b, la soluzione x del sistema si può calcolare in Matlab con l operatore \, che per una matrice quadrata generica implementa il metodo di Eliminazione Gaussiana con pivoting parziale, per una triangolare inferiore la sostituzione in avanti e per una triangolare superiore la sostituzione all indietro: >> x = A\b Esercizio Risolvere i seguenti sistemi lineari con l operatore \: x = 4 x = x = x = 0

2 Confrontare i risultati ottenuti con quelli che provengono dal prodotto dell inversa di A con il vettore b ossia >> x = inv(a)*b Perchè i risultati non coincidono? Perchè non si usa questa seconda strategia? Esercizio 2 (E se la matrice fosse singolare?) Dopo aver calcolato il determinante della matrice del sistema, risolvere con \ i seguenti sistemi lineari, facendo molta attenzione ai messaggi d errore/warning. Nel secondo e terzo caso confrontare il valore del termine noto con quello del prodotto matrice-soluzione x =, x = 2 3, x =

3 FATTORIZZAZIONE LU Il metodo di Eliminazione Gaussiana (senza pivot) fattorizza, quando possibile, la matrice A nel prodotto A = LU, con L matrice triangolare inferiore (con tutti i coefficienti uguali a sulla diagonale) ed U triangolare superiore. Contestualmente risolve per sostituzioni due sistemi triangolari con matrici dei coefficienti L ed U fino ad ottenere la soluzione del sistema lineare dato Ax = b. Quando dobbiamo risolvere più sistemi lineari con diversi termini noti, ma tutti di ugual matrice A, risulta spesso eccessivamente oneroso, e un inutile spreco di risorse, eseguire l Eliminazione Gaussiana su ognuno di essi, è meglio separare il calcolo della fattorizzazione da quello della soluzione del sistema. In altre parole conviene, scrivere la matrice A come prodotto di due matrici, A = LU, L triangolare inferiore ed U triangolare superiore, e poi risolvere ogni sistema lineare di tipo: equivalente a Ax = b LUx = b risolvendo in sequenza per sostituzioni i due sistemi triangolari: Ly = b Ux = y 3

4 Utilizzando il metodo di Eliminazione Gaussiana con pivoting parziale (scambi di righe) è possibile calcolare una matrice triangolare superiore U, una triangolare inferiore L( con coefficienti diagonali uguali a ) e una matrice di permutazione P (una matrice che moltiplicata a sinistra di un altra ne scambia le righe) tali che PA = LU. In questo caso la soluzione del sistema lineare Ax = b, equivalente a PAx = P b,sicalcoleràrisolvendoinsequenzaiduesistemitriangolari Ly = Pb Ux = y Il comando lu di Matlab calcola la fattorizzazione LU di PA. La sua sintassi è: [L,U,P]= lu(a) 4

5 Esercizio 3. Si considerino le seguenti matrici: A = magic(4) + 40 * eye(4) e A 2 = Per ciascuna di esse: si calcoli la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu, per entrambe le matrici A e A 2 si osservi se la matrice di permutazione P fornita da Matlab è o meno l identità. Si noti che A è a dominanza diagonale stretta e A 2 è simmetrica definita positiva.queste proprietà delle matrici garantiscono l esistenza della fattorizzazione A = LU e quindi la possibilità di portare a termine l eliminazione Gaussina senza necessità di effettuare scambi di righe (pivoting). Si scelga b = A i ones(n,) con n dimensione di A i, e si considerino i due sistemi lineari A i x = b che avranno in tal modo soluzione esatta nota x = ones(n, ). Risolvere ciascuno dei sistemi lineari assegnati sfruttando la fattorizzazione calcolata. 5

6 Esercizio 4 Si consideri la seguente matrice: A = si calcoli la fattorizzazione LU tramite il comando Matlab lu u- sando la sintassi >> [L,U,P]=lu(A) si osservi che la matrice di permutazione P non è l identità, il che significa che è stato effettuato il pivoting. Pertanto abbiamo P A = LU. Sia b = A ones(3,), a partire dai fattori L, U, P ottenuti con lu si risolva il sistema Ax = b. Esercizio 5 Data la matrice A = si calcoli l inversa A risolvendo i sistemi lineari Ax = e i, dove e i = i {}}{ (0,...,,...0) i =,..n denotano i vettori della base canonica di R n. La soluzione dell i-esimo sistema Ax = e i, fornisce infatti la colonna i-esima della matrice A. Poichè la matrice dei coefficienti di ciascun sistema è sempre A si calcoli una sola volta la fattorizzazione LU per ridurre i costi computazionali., 6

7 IL FENOMENO DEL FILL-IN Per ognuna delle seguenti matrici calcolare la fattorizzazione LU, controllare l esecuzione o meno del pivoting e verificare il fenomeno del fill-in mediante il comando spy applicato ad L e U: A 0 0 = B 0 0 = C 0 0 = D 7 7 = ed esempio >> A=4*diag(ones(0,))-diag(ones(9,),)-diag(ones(9,),-) >> [L U P]=lu(A) >> figure() >> spy(l) >> figure(2) >> spy(u) 7

8 nz = nz = 9 Osserviamo che la matrice A è a banda, non viene effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U mantengono la struttura a banda. la matrice B è a banda, viene però effettuato il pivoting e quindi le matrici L ed U perdono la struttura a banda. le matrici C e D sono sparse, ma le matrici L ed U sono piene. 8

9 FATTORIZZAZIONE DI CHOLESKY Se A R n n è una matrice simmetrica definita positiva, allora esiste una matrice R R n n triangolare superiore tale che A = R T R. Tale fattorizzazione è detta fattorizzazione di Cholesky. Il comando R = chol(a) di Matlab determina tale fattorizzazione. Esempio Verificare che la matrice 0 A = 5 6, è simmetrica definita positiva. Calcolare con il comando chol di Matlab la fattorizzazione di Cholesky di A. Si risolva il sistema lineare Ax = b con b=[3;;] sfruttando la fattorizzazione calcolata. Osserviamo che poichè A = R T R, la risoluzione del sistema lineare di partenza comporta la risoluzione in sequenza dei due sistemi triangolari R T y = b Rx = y A=[ - 0; - 5 6; 0 6 0]; eig(a) R=chol(A); b=[3;;]; y=r \b; x=r\y 9

10 Esercizio di riepilogo - ex tema d esame. Sian = 0edAlamatricedidimensionen nottenutasommando la matrice di Hilbert di ordine n con la matrice tridiagonale avente gli elementi diagonali tutti uguali a 3, e quelli sulla prima sottodiagonale e sopradiagonale pari a. Si calcolino il più grande ed il più piccolo autovalore della matrice A. Si riportino i valori in format short e: λ min =...,λ max = Si calcoli la fattorizzazione LU della matrice A assegnata al punto precedente utilizzando la funzione Matlab lu. Si calcoli inoltre L e U. Si riportino i valori in format short e: L =... U = Sia b il vettore colonna di lunghezza n e coefficienti tutti uguali ad. Sfruttando la fattorizzazione calcolata si determini la soluzione x delsistemalineareax = b. Siayilterminenotodelsistemalineare che occorrerà risolvere per sostituzione all indietro, si calcolino le seguenti norme e se ne riportino i valori in format short e. y =... e x =... 0