Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 4-22/3/2018

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 4-22/3/2018 Matrici in Matlab Per assegnare le matrici [ ] 1 2 3, B = [ ] >> A=[1 2 3; 4 5 6]; >> B=ones(2,3); Possiamo calcolare >> C=A+B; >> D=A-B; ed estrarre gli elementi >> s=b(1,2)+d(2,3) s = 6

2 L operatore si utilizza per trasporre una matrice, ovvero assegnata A calcolare A T definita da (A T ) i,j = A j,i >>[ 2 1 0; 3 1 0; ] >> A L operatore * esegue il prodotto righe per colonne: in Matlab: >> A=[1 2 ; 3 4]; >> B=[1 2 3; 4 5 6]; >> A*B [ ] [ ] = [ ]

3 >> [1; 2 ;3; 4]*[ ] >> [ ]*[ 1; 2; 3; 4] 30 Operazioni elemento per elemento (come per i vettori): >> A=[1 2; 3 4], B=[1 2;-1 1]; >> A.*B; >> A./B; >> A.^B; 3

4 Matrice identità (eye(n)) >> I=eye(4) I = Matrici particolari Matrice di Hilbert (hilb(n)) 1 1/2 1/3 1/4... 1/n 1/2 1/3 1/4 1/5... 1/(n+1) 1/n 1/(n+1)... 1/(2n 1) >> H=hilb(3) H =

5 Matrice di numeri casuali (rand(n)) >> A=rand(3) Matrice di Van der Monde Dato un vettore qualsiasi v, il comando vander(v) costruisce la matrice quadrata che ha per colonne le potenze successive degli elementi di v: v1 n 1 v n 2 v2 n 1 v n 2 v n 1 n >> v=[-2, 3, 4, 5]; >> A=vander(v) v1 2 v 1 v v2 2 v 2 v vn 2 v n vn 0 v n 2 n 5

6 Manipolazione di sottoblocchi di matrici e concatenazione Siano A=eye(4) e B=hilb(2). Per sostituire alle ultime due righe e colonne di A la matrice B: >> A=eye(4); B=hilb(2); >> A(3:4,3:4)=B Per estrarre la quarta riga di A: >> r=a(4,:) r = Per eliminare una colonna usiamo il vettore vuoto []: >> A=hilb(4)

7 >> A(:,3)=[] Per concatenare due matrici (attenzione alle dimensioni!): >> A=eye(3,2); B=zeros(3,4); >> C=[A,B] C = >> D=[C;ones(1,6)] D =

8 Esercizi 1. Costruire, con comandi opportuni, le seguenti matrici 5x5: identità, casuale, nulla, con tutti gli elementi = 1, di Hilbert. 2. Sia a. assegnare il valore 100 agli elementi della 3 colonna b. assegnare il valore -3 agli elementi della 2 riga [ ] 1 2 c. assegnare il valore alla sottomatrice definita dalle 3 4 colonne 2 e 3 e dalle righe 3 e 4 d. eliminare la terza colonna di A; e. aggiungere ad A la riga [3, 1, 5]; 3. Assegnate le matrici , E = Calcolare i prodotti di matrici AE e EA; sono uguali? 8

9 >> v=[1:4]; >> A=diag(v) La funzione diag >> A=diag(v,1) >> A=diag(v,-2)

10 >> M=[1 2 9; 7 5 6; 4 8 3] >> M= >> v=diag(m) v = >> w=diag(m,1) w =

11 Esempio. Utilizzando la funzione diag, costruire la seguente matrice >> A=diag(2*ones(7,1))-diag(ones(6,1),1)-diag(ones(6,1),-1)

12 Altre funzioni predefinite su matrici e vettori >> M=[1 2 9; 7 5 6; 4 8 3]; >> sum(m) >> prod(m) >> sort(m) >> max(m) >> min(m)

13 >> B=[4-1 1;-1 3-2; 1-2 3]; >> det(b) 18 >> C=inv(B) C = >> C*B >> B*C

14 Esercizi 1. Sia v il vettore colonna casuale di lunghezza 5. Calcolare: diag(v), diag (v,1), diag (v,-1), diag(v,3), diag(v,-2) 2. Utilizzando la funzione diag, costruire le seguenti matrici , Assegnate le matrici , E = si scelga un numero reale α a piacere per verificare le seguenti proprietà del determinante di matrici a. det(a) = det(a T ) b. det(αa) = α n det(a T ) α R, A R n n n = 3 c. det(ae) = det(a)det(e) d. det(e 1 ) = 1/det(E) 14

15 4. Siano B = a. Calcolare, se esistono, le inverse di A e B verificando il risultato ottenuto. b. Testare sulla matrice A i seguenti comandi: prod, sum, max, min, sort. 15

16 Autovalori, raggio spettrale e norme di matrici Sia A una matrice quadrata di ordine n a valori reali o complessi, il numero λ C si dice autovalore di A se esiste un vettore v (0,...,0) C n, tale che Av = λv L autovalore λ è soluzione dell equazione caratteristica: p A (λ) := det(a λi) = 0 dove p A (λ) è il polinomio caratteristico. Come calcolo gli autovalori di una matrice con Matlab? >> A=[4-1 0; ; 0-1 4]; >>lam= eig(a) lam = L insieme σ(a) degli autovalori di A è detto spettro di A. Il massimo dei moduli degli autovalori di A si chiama raggio spettrale e viene denotato con In matlab: max(abs(eig(a))) ρ(a) = max λ σ(a) λ 16

17 Norme di matrici: A 2 := ρ(aa T ) =sqrt(max(eig(a*a )))=norm(a,2)=norm(a) A 1 := max j=1,...n n i=1 a i,j =max(sum(abs(a))) = norm(a,1) A := max i=1,...n n j=1 a i,j =max(sum(abs(a ))) = norm(a,inf) Esercizio. Sia a. Calcolarne gli autovalori di A b. Calcolare il raggio spettrale ρ(a) c. Calcolare A 2, A 1, A conilcomandonorme, perconferma, con l opportuna combinazione dei comandi abs, max, sum, eig, sqrt. 17

18 Programmare con Matlab: Function files Le funzioni matlab sono porzioni di codici scritte in un file indipendente che svolgono un determinato compito e comunicano con lo spazio di lavoro solo attraverso i parametri in ingresso ed in uscita. L intestazione di una function Matlab ha sempre la struttura: function }{{} parola chiave [out1,out2,...] }{{} parametri in uscita = nomefun }{{} (in1,in2,...) }{{} nome funzione parametri in ingresso L intestazione è seguita dalle istruzioni e la function terminerà con la parola chiave return. Prima di essa, deve essere stato assegnato un valore a ciascuno dei parametri in uscita out1,out2,... La funzione nomefun deve essere salvata nel file nomefun.m. Att.ne! Un file può contenere un unica funzione. Le variabili assegnate nel blocco istruzioni interno alla function sono locali, ovvero vengono cancellate dalla memoria al termine della chiamata. Per chiamare una function, ad esempio dallo spazio di lavoro: >> [value1,value2,value3]=nomefun(in1,in2,in3); Una funzione può richiamare o essere richiamata da altre. 18

19 Esempio. La function mat diff 1d, dato in ingresso un intero n,restituiscelamatricea R n n seguenteedilsuodeterminante function [A det_a]=mat_diff_1d(n) A=diag(2*ones(n,1))-diag(ones(n-1,1),1)-diag(ones(n-1,1),-1); det_a=det(a); return; Esempio di output: >> [A,detA]=mat_diff_1d(5) deta= 6 19