Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 3

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 3 Funzioni Simboliche (inline) Assegnata una funzione del tipo f(x) = (sin(x) + x) 2 vogliamo valutare i valori assunti da f per diversi valori di x. Quando l espressione della funzione è lunga e/o complessa e la funzione deve essere valutata in istanti successivi per diversi valori delle variabili da cui dipende, è utile poter definire la funzione una volta per tutte senza dover riscrivere la sua espressione ogni volta chelasivuolevalutareinpuntidifferenti. InMatlabèpossibiledefinire una funzione in modo simbolico. Il comando inline definisce una funzione in linea, ovvero direttamente nello spazio di lavoro, senza ricorrere a file esterni. Per esempio, definiamo: >> f=inline( (sin(x)+x).^2, x ) dove il primo elemento in input (sin(x)+x).^2 è una stringa che definisce l espressione matematica che deve essere trasformata in funzione, mentre i successivi elementi in input (nel nostro caso solo x ) sono l elenco ordinato delle variabili da cui deve dipendere la funzione.

2 Attenzione: ricordarsi di utilizzare operazioni con i punti se si vuole che la funzione operi sui vettori! Ad una funzione così definita non sono associati dei valori numerici (verificare con whos f). Per associarle valori numerici scriviamo, per esempio >> x=0:0.01:2*pi; >> y=f(x); Tali valori numerici vengono conservati nel vettore y(verificare con whos y). Possiamo poi usarli, per esempio, per disegnare il grafico di f con il comando >> plot(x,y) Attenzione: perchè il comando >> plot(x,f) non funziona? È possibile definire funzioni che dipendono da più variabili o parametri >> f=inline( 2*x+a, a, x ); Attenzione: y = f(2,10) è diverso da z = f(10,2). Risolvere esercizi 1,2,3. 2

3 Function-files matlab Le funzioni matlab sono porzioni di codici scritte in un file indipendente che svolgono un determinato compito e comunicano con lo spazio di lavoro solo attraverso i parametri in ingresso ed in uscita. L intestazione di una function Matlab ha sempre la struttura: function }{{} parola chiave [out1,out2,...] }{{} parametri in uscita = nomefun }{{} (in1,in2,...) }{{} nome funzione parametri in ingresso L intestazione è seguita dalle istruzioni e la function terminerà con la parola chiave return. Prima di essa, deve essere stato assegnato un valore a ciascuno dei parametri in uscita out1,out2,... La funzione nomefun deve essere salvata nel file nomefun.m. Att.ne! Un file può contenere un unica funzione. Le variabili assegnate nel blocco istruzioni interno alla function sono locali, ovvero vengono cancellate dalla memoria al termine della chiamata. Per chiamare una function, ad esempio dallo spazio di lavoro: >> [value1,value2,value3]=nomefun(in1,in2,in3); Una funzione può richiamare o essere richiamata da altre. 3

4 Equazioni non lineari (fzero) Sia f : R R una funzione che ammette una radice α, ovvero t.c. f(α) = 0, possiamo utilizzare la funzione predefinita di Matlab fzero per calcolare un approssimazione di α. Sintassi: alfa = fzero(f,[a,b],toll) input: f è indifferentemente la funzione definita con inline oppure la stringa che la descrive [a,b] sono gli estremi di un intervallo contenente la radice cercata che soddisfino f(a) f(b) < 0 toll precisione richiesta (opzionale, se omesso toll = 1e-6) output: alfa approssimazione della radice calcolata Osservazione: È possibile utilizzare fzero dando in input, al posto dell intervallo [a, b], un solo valore x0, a partire dal quale l algoritmo cercherà la radice di f: alfa = fzero(f, x0, toll) Att.ne! Se x0 non viene scelto in maniera opportuna, l algoritmo potrebbe non convergere o, in caso di più radici, potrebbe convergere ad una radice diversa da quella cercata; questo rischio non si 4

5 corre utlizzando la modalità precedente ed avendo l accortezza di scegliere come[a, b] un intervallo che contenga solo la radice voluta. In caso si volessero trovare più radici della stessa funzione è necessario ripetere la procedura per ogni singola radice. Onde localizzare ogni radice e scegliere un intervallo [a, b] che la contenga è utile tracciare preliminarmente un grafico della funzione f. Risolvere Esercizio 4 5

6 Equazioni non lineari: Metodo di Bisezione Teorema (degli zeri) Sia f : R R, f C 0 ([a,b]), f(a)f(b) < 0, allora esiste α [a,b] tale che f(α) = 0. Metodo di bisezione Sia[a,b]unintervalloincuisianosoddisfatteleipotesidelteorema degli zeri inizializzazione: k = 1, a (1) = a, b (1) = b, calcolo x (1) = (a (1) +b (1) )/2 pongo err (1) = (b (1) a (1) )/2, finchè err (k) > toll itero le operazioni seguenti: se f(x (k) ) = 0, stop se f(a (k) ) f(x (k) ) < 0 a (k+1) = a (k),b (k+1) = x (k) se f(a (k) ) f(x (k) ) > 0 a (k+1) = x (k),b (k+1) = b (k) calcolo x (k+1) = (a (k) +b (k) )/2, pongo err (k+1) = err (k) /2 aggiorno k = k +1 dove toll è la precisione voluta. Il metodo converge sempre, non è quindi necessario fissare un numero massimo di iterazioni consentite. 6

7 Esercizio Scrivere in un file bisezione.m una funzione che implementi il metodo sopra descritto. Sintassi: [x, nit] = bisezione(f, a, b, toll) input: output: f funzione definita con inline a,b con a < b: estremi di un intervallo contenente la radice cercata che soddisfino f(a)f(b) < 0 toll precisione richiesta x approssimazione della radice calcolata nit numero iterazioni effettuate 7

8 Esercizio Si consideri il problema della ricerca degli zeri α 1 e α 2 (con α 1 < α 2 ) della funzione non lineare f(x) = e x x 2 sin(x) 1, 2 x Tracciare un grafico della funzione nell intervallo considerato. Localizzare graficamente gli zeri di f(x) = 0 con l aiuto dello zoom ed eventualmente del comando axis. 2. Il metodo di bisezione è applicabile per calcolare tutti gli zeri? 3. Applicare il metodo, quando possibile, utilizzando il programma bisezione con tolleranza eps=1e-8 e considerando un opportuno intervallo di partenza. Risolvere Esercizio 5 8