Esercizi su polinomio di Taylor, metodi numerici per il calcolo di zeri di funzione e iterazioni di punto fisso

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1 Esercizi su polinomio di Taylor, metodi numerici per il calcolo di zeri di funzione e iterazioni di punto fisso 2 aprile 215 Nota: gli esercizi più impegnativi sono contrassegnati dal simbolo ( ). Richiami di Analisi Matematica: Teorema 1 (di Taylor). Siano f : [a, b] R derivabile n + 1 volte in (a, b) e (a, b). Allora si ha: f() = T n () + R n (), (a, b), dove: R n () := f (n+1) (ξ ) (n + 1)! T n () := f( ) + f ( )( ) + + f (n) ( ) n! ( ) n, ( ) n+1, ξ appartenente all intervallo di estremi e. T n () è detto polinomio di Taylor di grado n centrato in ; R n () è detto resto di Lagrange. Segue una tabella con i polinomi di Taylor, rispetto a =, di alcune funzioni fondamentali: f() e sin() cos() log(1 + ) T n () ! ! + 5 5! ! + 4 4! Esercizio 1. Sperimentare con la function MATLAB taylortool, verificando il contenuto della tabella che segue il teorema 1. Esempio 1. Una tipica applicazione del teorema 1 è l approssimazione di funzioni trascendenti (come la funzione esponenziale o le funzioni trigonometriche) con funzioni facilmente valutabili dal calcolatore (polinomi), stimando al tempo stesso l errore commesso. Ad esempio, supponiamo di dover approssimare sin(.1) a meno di un errore assoluto non più grande di 1 5. Per fare ciò, possiamo utilizzare il polinomio di Taylor di sin() centrato in =. Per il teorema di Taylor, possiamo scrivere: sin() = T n () + R n (),

2 dove R n () = sin(n+1) (ξ ) (n + 1)! n+1. Approssimando sin(.1) con T n (.1), compiamo un errore assoluto pari a: sin(.1) T n (.1) = R n (.1). Per ottenere l approssimazione desiderata è, quindi, sufficiente scegliere n abbastanza grande, tale che: R n (.1) 1 5. Le derivate di sin() sono funzioni trigonometriche della forma ± sin() o ± cos(), tutte limitate in valore assoluto da 1. Dunque, si ha: R n (.1) (.1)n+1 (n + 1)!, per ogni n ed indipendentemente dal punto ξ (che, ricordiamo, è sconosciuto). Non ci resta che cercare il più piccolo intero naturale n per cui si ha: La tabella: (.1) n+1 (n + 1)! 1 5. n (.1) n+1 /(n + 1)! 1 1/2 = / / mostra che il valore cercato è n = 3. Essendo: concludiamo che: T 3 () = 3 6, T 3 (.1) = approssima sin(.1) con un errore assoluto inferiore a 1 5. Seguendo il ragionamento appena esposto, approssimare: 1. sin(.5) e sin(1.5) con un errore assoluto non più grande di 1 5, 2. cos(.1) con un errore assoluto non più grande di 1 15, 3. ( ) e con un errore assoluto non più grande di 1 6. Esempio 2. In modo simile a quanto visto nell esempio 1, il polinomio di Taylor può essere usato per approssimare numericamente il valore di un integrale definito. Supponiamo di dover calcolare: sin() d,

3 a meno di un errore assoluto non piu grande di 1 4. Per il teorema di Taylor: sin() = T n () + R n (). Dividendo per si ha: sin() Integrando ambo i membri fra ed 1: = T n() + R n(). sin() d = T n () R n () d + d. Dunque, l errore assoluto che compiamo nell approssimare sin() T n () d 1 d = sin() d con T n() R n () Dobbiamo stimare questo errore assoluto. Prima osserviamo che: R n () 1 d R n () d. Poi, essendo: R n () = sin(n+1) (ξ ) (n + 1)! con sin (n+1) (ξ ) 1 (vedi esempio 1), abbiamo che: R n () n (n + 1)! = Dunque, la nostra stima dell errore assoluto è: La tabella: R n () d n [ (n + 1)! d = n+1, (, 1), n (n + 1)!. n+1 (n + 1) (n + 1)! ] 1 d. = 1 (n + 1) (n + 1)! d è pari a: n 1/((n + 1) (n + 1)!) 1 1/4 = / / / / / mostra che è sufficiente prendere n = 6 per ottenere l approssimazione richiesta. Essendo: T 6 () = ,

4 concludiamo che: approssima: T 6 () d = con un errore assoluto inferiore a 1 4. Seguendo il ragionamento appena esposto: 1. ( ) approssimare: d = sin() con un errore assoluto non più grande di 1 5, 2. ( ) approssimare: 1 cos() 2 d, e 2 d, con un errore assoluto non più grande di 1 5. Esercizio 2. Utilizzando la definizione di ordine di convergenza, dimostrare che il metodo di Newton applicato alla funzione: f() = converge alla radice α = 1 con ordine di convergenza 1, per ogni () R. A cosa è dovuta la lentezza nella convergenza? Esercizio 3. Facendo uso dei risultati sull ordine di convergenza delle iterazioni di punto fisso, dimostrare che il metodo di Newton applicato alla funzione: f() = sin() converge alla radice α = con ordine di convergenza 3, per () sufficientemente vicino ad α. [Suggerimento: si ricordi che il metodo di Newton si può interpretare come metodo di punto fisso per un opportuna funzione iteratrice φ.] Esercizio 4. ( ) Sia sign() la funzione segno, così definita: 1 se > sign() = se = 1 se <. Studiare il comportamento delle iterate del metodo di Newton, partendo da un valori di (), per ognuna delle seguenti funzioni: (i) f() = sign(), (ii) f() = sign() 3 2,

5 (iii) f() = sign() 3. Giustificare i comportamenti osservati. Esercizio 5. Implementare, sotto forma di function MATLAB, i seguenti metodi: (i) metodo delle successive bisezioni, (ii) metodo della falsa posizione, (iii) metodo di Newton, (iv) metodo delle corde (o della direzione costante): (k+1) = (k) f((k) ) m (con m fissato), (v) metodo delle secanti: (k+1) = (k) f( (k) (k) (k 1) ) f( (k) ) f( (k 1) ), (vi) metodo Quasi-Newton: d (k) = f((k) + h) f( (k) ) h (con h fissato), (k+1) = (k) f((k) ) d (k). Esercizio 6. Applicare i metodi dell esercizio 5 alle seguenti equazioni: = (l equazione sulla quale Newton illustrò il suo metodo), 2. e =. Per ciascuna equazione, confrontare le performance dei vari metodi a parità di qualità della stima iniziale e valutare sperimentalmente l ordine di convergenza. Esercizio 7. Il metodo di Newton può richiedere che il punto iniziale sia molto vicino alla soluzione affinchè si abbia convergenza. Verificarlo mediante il seguente esercizio. Sia f() = arctan(c( 1)) + sin(c2 ) c con c = 1/1. Questa funzione possiede un unico zero α in R. Utilizzando il metodo di Newton, calcolare le prime 1 cifre significative di α. Inoltre, stimare sperimentalmente gli estremi del più grande intorno [a, b] di α per cui si ha che le iterazioni (k) convergono ad α ogniqualvolta () [a, b]. Spiegare il motivo di una tale sensibilità alla scelta del punto iniziale. [Suggerimento: aiutarsi mediante un grafico di f nell intervallo [, 2].],

6 Esercizio 8. Per ciascuno dei metodi dell esercizio 5, valutare l efficienza E come rapporto tra l ordine p ed il numero k di nuove valutazioni di funzioni richiesto ad ogni iterazione: Quale metodo risulta più efficiente? E = p k. Esercizio 9. Si considerino il metodo di Newton e la seguente sua variante (metodo di Newton modificato): (k+1) = (k) 2 f((k) ) f ( (k) ). Per entrambi i metodi, determinare l ordine di convergenza alla radice α = 1 dell equazione =. Verificare il risultato ottenuto mediante esperimenti al calcolatore. Esercizio 1. Approssimare i primi tre zeri strettamente positivi della funzione: f() = tan() mediante i metodi di Newton e delle successive bisezioni. intervalli [4, 5], [7, 8] e [1.5, 11.5]. Si trovano, rispettivamente, negli Esercizio 11. Si considerino le iterazioni (k+1) = 2 (1 + c) (k) + c ( (k)) per quali valori di c le iterazioni convergono a α = 1 se () è sufficientemente vicino a α? 2. c è qualche valore di c per cui la convergenza è quadratica? Esercizio 12. Per ognuna delle seguenti iterazioni, stabilire se si ha convergenza al punto fisso α indicato (per () sufficientemente vicino a α). Nel caso si ha convergenza, stabilire l ordine di convergenza; se la convergenza e lineare, trovare la costante asintotica dell errore. 1. (k+1) = (k) + 12 (k), α = (k+1) = 2 3 (k) + 3. (k+1) = 1 ( (k) ) 2, α = 31/ (k), α = 3. Esercizio 13. Sperimentare con le function MATLAB fzero e roots, utilizzando le equazioni dell esercizio 6. Consultare la documentazione html di MATLAB mediante il comando: >> doc fzero per scoprire l algoritmo utilizzato dalla function fzero (vedere alla voce Algorithm). Per una descrizione dell algoritmo di inverse quadratic interpolation, consultare Wikipedia o il testo di Cleve Moler ( Esercizio 14. Risolvere gli esercizi 2.1, 2.5, 2.6, 2.7, 2.1, 2.11, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18 (pagine 77-79) dal testo Calcolo Scientifico di A. Quarteroni, F. Saleri e P. Gervasio. [Suggerimento per l esercizio 2.15: Se α è zero di f di molteplicità m, allora f() = g()( α) m, con g(α).]