data una funzione f, non lineare calcolare le soluzioni dell equazione f(x) = 0 in un intervallo [a,b]

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1 RISOLUZIONE NUMERICA DI EQUAZIONI NON LINEARI PROBLEMA: data una funzione f, non lineare calcolare le soluzioni dell equazione f() = 0 in un intervallo [a,b] 1

2 f ( ) = log( ) +, (0,10) ξ Esiste una sola soluzione f ( ) 2 = + 1, (0,10) Non esistono soluzioni f ( ) = sin( ), (0,10) ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 Esistono più soluzioni 2

3 f ( ) = sin( ) ξ ξ 1 2 ξ ξ 3 4 ξ5 ξ6 ξ7 ξ ξ 3 4 ξ ξ 5 6 [a,b]=[-10,10] [a,b]=[-4,4] [a,b]=[5,7] [a,b]=[-9,-7] 7 soluzioni 3 soluzioni 1 soluzione Nessuna soluzione 3

4 L esistenza della soluzione e la sua unicità dipendono dalla funzione f dall intervallo [a,b] DATI DEL PROBLEMA! 4

5 Problema data una funzione f, non lineare, e fissato un intervallo [a,b], calcolare le soluzioni dell equazione f ( ) = 0 [ a, b] 5

6 Esempio 1: f ( ) = cos(log( )) = 0 (0, ) È nota l espressione analitica della soluzione Infinite soluzioni del tipo: π log( ) = + π N 2 cioè = e π + π 2 N Qual è il valore numerico di? 6

7 Esempio 2 { 2 1 = f 1( ) = = 2 { 2 { 2 1 = f 2( ) = 2 2 = 2 Quanto vale 2? 7

8 5 4 3 Esempio 3: f ( ) = 2 = 0 [0, + ] = 0 { f ( ) = ( 2 1) = 0 0 ( 2 2 1) = L equazione f()=0 ammette cinque soluzioni analiticamente note 1 = 2 = 3 = 0, 4 = 1 2, 5 =

9 In generale e possibile individuare tutte le radici di un polinomio se si decompone il polinomio in fattori irriducibili MA non esistono formule generali per il calcolo delle radici di polinomi di grado maggiore o uguale a 5 ( Teorema di Abel ) 9

10 Esempio 4 e log( + 1) 3 = 0, [0,1.5] f (0) = 3 < 0, f (1.5) = > f '( ) = e + 3e > cioè f è strettamente crescente in [0,1.5] Esiste un unica soluzione in (0,1.5) MA non esiste una formula che fornisca l espressione analitica della soluzione 10

11 La risoluzione analitica del problema può essere eseguita solo in casi particolari; anche in questi casi, comunque, non è detto che le soluzioni siano calcolabili f ( ξ ) = 0 Metodi analitici Approssimazione del risultato (metodo numerico) g( ) g(0) = ξ tale che valutazione del risultato risultato numerico 11

12 Negli esempi visti... 2 ) ( 2 ) ( ) arcsin( ) ( ) sin( ) ( 2 g f g f + = ± = = = 12 2 ) ( ) log( ) ( 2 ) ( 2 ) ( e g f g f = = + = ± =

13 Obiettivo: determinare un metodo numerico, indipendente dalla funzione f, che a partire dalla funzione, calcoli le soluzioni dell equazione non lineare f() = 0 (radici di f) 13

14 L idea più semplice per individuare una radice di f in un intervallo [a,b] è tabulare f in [a,b] f () a b 14

15 Unendo i punti della tabulazione è possibile localizzare eventuali radici ovvero è È possibile individuare gli intervalli in cui si trova almeno una radice f () a b [, 3 4] [ 6, 7 ] C è una variazione di segno della f contiene almeno uno zero C è una variazione di segno della f contiene almeno uno zero 15

16 Metodo di tabulazione Fissato l intervallo [a,b] iniziale si tabula la funzione in n punti di [a,b], e si individuano i sottointervalli che contengono almeno uno zero. 16

17 Passo 1: Prima tabulazione Passo 2: Seconda tabulazione f () Nessuna soluzione Due soluzioni Il risultato puo dipendere dal passo di tabulazione scelto, cioè dal numero di punti in cui si tabula la funzione 17

18 In generale, per individuare gli zeri occorre scegliere un passo di tabulazione sufficientemente piccolo Può essere necessario effettuare numerose valutazioni della funzione (la maggior parte delle quali inutili) E possibile ridurre il numero di valutazioni di funzione? 18

19 Una possibile soluzione.. f () Dopo la seconda tabulazione a b Si ripete il procedimento di tabulazione solo negli intervalli individuati 19

20 Una possibile soluzione.. f () Dopo la seconda tabulazione a b Si ripete il procedimento di tabulazione solo negli intervalli in cui avviene una variazione di segno 20

21 Metodo di Tabulazione (o metodo grafico) Calcolo delle soluzioni di f ( ) = 0 dal grafico di f nell intervallo [a,b] a partire localizzazione di una radice ξ stima di ξ mediante successive tabulazioni di f in intervalli di ampiezza decrescenti, tutti contenenti ξ 21

22 PROBLEMA Un passo di tabulazione grande può nascondere la presenza di uno o più zeri MA Un passo di tabulazione piccolo può comportare un numero eccessivo di valutazioni della funzione Come scegliere un passo di tabulazione adeguato? 22

23 Una possibile soluzione Si tabula la funzione valutandola solo nel punto medio dell intervallo corrente f(a) f(c ) a c b f(b) Il processo può essere ripetuto in [a,c] oppure in [c,b] Quale sottointervallo scegliere? 23

24 f(a) y = f () f(c ) a c f ( a) f ( c) > 0 f ( c) f ( b) < 0 b f(b) Il prossimo intervallo da esaminare è [ c, b ] 24

25 Criterio di scelta Si sceglie l intervallo [a,c] se la funzione assume segno discorde agli estremi, cioè f(a)f(c)<0, altrimenti si sceglie l intervallo [c,b] 25

26 Tale metodo apporta effettivamente un miglioramento in termini di efficienza? ovvero riduce il numero di valutazioni di funzione, rispetto al metodo di tabulazione? 26

27 Confronto tra tabulazione e bisezione 1. TABULAZIONE Primo passo di tabulazione Secondo passo di tabulazione 0 1 primo passo 9 valutazioni secondo passo 4 valutazioni 27

28 Confronto tra tabulazione e bisezione 2. TABULAZIONE nel PUNTO MEDIO Primo passo Secondo passo primo passo 3 valutazioni secondo passo 1 valutazione 28

29 Due problemi: Tabulazione nel punto medio = Metodo di bisezione Quando può essere utilizzato il metodo? (applicabilità) Se f ha almeno uno zero, il metodo riesce sempre a trovarne uno? (convergenza) 29

30 Esempio 1: consideriamo f() in [-2,1.5] f(a 2 ) f(b 2 )<0 f(a 3 ) f(b 3 )<0 f() f(a 4 ) f(b 4 )<0 a = 2 2 a 3 b a 1 b 1 b 4 a b 3 Il metodo di bisezione Costruisce una sequenza di intervalli, di ampiezza sempre piu piccola, ciascuno contenente uno zero di f 30

31 Esempio 1: Caratteristiche della funzione f NON è definita in tutto [a,b] f(a)f(b)>0 f ha 2 zeri in [a,b] il metodo di bisezione costruisce una successione che tende ad approssimare uno dei 2 zeri 31

32 DOMANDA MA Il metodo di bisezione può essere sempre applicato a funzioni non continue? 32

33 Esempio 2: consideriamo la stessa funzione in [-2,2] m Il punto medio dell intervallo [-2,2] è m = 0 MA f non è definita nel punto =0 33

34 Esempio 2: Caratteristiche della funzione f NON è definita in tutto [a,b] f(a)f(b)>0 f ha 2 zeri in [a,b] il metodo di bisezione NON puo essere applicato in [a,b] 34

35 APPLICABILITA f definita in tutto [a, b] f NON definita in qualche punto di [a, b] il metodo di bisezione può essere sempre applicato nulla si può dire sulla applicabilità del metodo 35

36 Due problemi: Tabulazione nel punto medio = Metodo di bisezione Quando può essere utilizzato il metodo? (applicabilità) Se f ha almeno uno zero, il metodo riesce sempre a trovarne uno? (convergenza) 36

37 Esempio 1 f(a) y = f(c) f () f(c ) a a = a 1 f ( a) f ( c) > 0 c b 4 ca 2 a c c 3 f ( a ) ( ) 3 f c < f ( a ) ( ) 4 2 f c > 0 0 b b = b 1 b 2 b 3 f(b) Si costruisce una sequenza di intervalli, di ampiezza sempre più piccola, ciascuno contenente lo zero di f 37

38 Esempio 1: Caratteristiche della funzione f definita in [a,b] f(a)f(b)<0 f ha 1 zero in [a,b] il metodo di bisezione costruisce una successione che tende ad approssimare lo zero di f 38

39 Esempio 2 f(a) f(b) a 1 = a c c a 3 f ( a 2 ) f( c) f> ( a0 3 ) f( c) < 0 f ( a) f ( c) < 0 a 2 a 4 b 4 b 3 b 2 c b = b 1 Si costruisce una sequenza di intervalli, di ampiezza sempre più piccola, ciascuno contenente uno degli zeri di f 39

40 Esempio 2: Caratteristiche della funzione f definita in [a,b] f(a)f(b)>0 f ha 2 zeri in [a,b] il metodo di bisezione costruisce una successione che tende ad approssimare uno dei 2 zeri 40

41 Esempio 3 f(a) f(b) a = a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 = b f ( a) f ( c) > 0 c f ( a 2 ) f ( c) f> ( a0 3 ) f ( c) > 0 c c b 2 b 3 = b 4 Si costruisce una sequenza di intervalli, di ampiezza sempre più piccola, ognuno NON contenente lo zero di f 41

42 Esempio 3 Caratteristiche della funzione f definita in [a,b] f(a)f(b)>0 f ha 2 zeri in [a,b] }stesse ipotesi dell esempio precedente il metodo di bisezione costruisce una successione che non tende allo zero di f 42

43 CONVERGENZA f definita in [a,b] f(a)f(b)<0 f definita in [a,b] f(a)f(b)>0 il metodo converge sempre ad uno degli zeri di f nulla si può dire sulla convergenza ad eventuali zeri di f 43

44 Quando arrestare il procedimento? Risposta 1 Quando è sufficientemente vicino allo zero di f 44

45 Esempio Valore in cui la f si annulla ξ c b a ξ - c < b a arrestiamo il procedimento quando b a < tol 45

46 4 Ma, per la funzione f ( ) = [0,1] soluzione ξ = f ( c ) 0 a c 1 ξ b Utilizzando il metodo di bisezione con criterio di arresto b-a < tol = 0.01 si ottiene c= ma f(c) =

47 Quando arrestare il procedimento? Risposta 1 Quando è sufficientemente vicino allo zero di f Risposta 2 Quando f( ) è zero 47

48 Esempio: Valore in cui f si annulla f(c) a ξ c b Arrestare il metodo quando f(c) è piccolo cioè f(c) < tol 48

49 8 Ma, per la funzione f ( ) = 0.01 [0,1] Utilizzando il metodo di bisezione con criterio di arresto f(c) < tol = 0.01 si ottiene c=0.5 e f(c) = < tol 0 c 1 ξ soluzione ξ = E c ξ = ξ = approssimazione di ξ poco affidabile 49

50 Soluzione Utilizzare entrambi i criteri di arresto repeat metodo di bisezione until ( f(c) < tol and b-a < tol ) 50

51 E se il metodo non converge? Introdurre un controllo sul numero di iterazioni =1 repeat =+1 until ( ( f(c) < tol and b-a < tol ) or > mait ) 51

52 Quando arrestare il procedimento? 1. l equazione f() = 0 è risolta con una approssimazione soddisfacente, cioè f ( ) è nullo o abbastanza piccolo 2. è stata calcolata un approssimazione sufficientemente affidabile della soluzione ξ 3. il metodo sta divergendo 52

53 Nel metodo di bisezione la successione degli intervalli viene costruita sempre allo stesso modo ovvero calcolando il punto medio di ciascun sottointervallo MA In alcuni casi, la radice può essere lontana dai punti medi. 53

54 Esempio a b 1 1 ac a 3 a 2 c c4 f( a) f( c) > 0 f( a 2 ) f() c> 0 f( a 3 ) f( c) > 0 b b 2 b 3 = b 4 La soluzione è vicina ad uno degli estremi ( f ( b1 ) 0) Ma il metodo di Bisezione non se ne accorge! (in questo caso il metodo è poco efficiente!) 54

55 IDEA f( 1 ) y = f ( ) r() 2 1 Sostituiamo alla curva y=f() la retta tangente y=r() nel punto (1,f(1 )) 55

56 Si può iterare il procedimento f( 1 ) y = f ( ) f( 2 ) f( 3 ) Si Si Si approssima approssima la la la curva curva la ad nel y=f() y=f() punto con con la la retta retta ad ad essa essa tangente tangente nel punto ( 3, f ( 3)) ( 2, f ( 2)) nel punto ( 1, f ( 1 )) Metodo di Newton 56

57 Il metodo di Newton costruisce una successione di punti,,,...,,... convergente allo zero di f,, dove 1 è un opportuna approssimazione iniziale, 2, f ( )) è l ascissa del punto di intersezione con l asse della tangente alla curva y=f() in ( 57

58 localmente la retta tangente alla curva y=f() fornisce informazioni sull andamento della funzione Sostituiamo al grafico di f() la retta tangente e calcoliamo lo zero della retta tangente 58

59 la retta tangente nel punto (, f( )) ha equazione r () = f( ) + f ( ) (- ) Il valore +1 è ottenuto come intersezione della retta y = r () con l asse : r ( +1 ) = = f f( ' ( ) ) 59

60 Metodo di NEWTON Due problemi: Quando può essere utilizzato il metodo? (applicabilità) Se f ha almeno uno zero, il metodo riesce sempre a trovarne uno? (convergenza) 60

61 Esempio La retta tangente alla curva nel punto, f ( è parallela all asse delle ascisse (f (2)=0) ( 2 2 )) Il metodo di Newton non può essere applicato f ( f '( 2 (divisione per zero => ) 2 ) ) 61

62 Esempio 1 Caratteristiche della funzione f definita in [a,b] f(a)f(b)<0 f ha 1 zero in [a,b] f ha 1 zero in [a,b] Se f si annulla in un punto di [a,b] il metodo di Newton non può essere applicato 62

63 APPLICABILITA f e f definite in tutto [a, b] e f () 0 [ a, b] f e f definite in tutto [a, b] e [ a, b] :f () = 0 il metodo di Newton può essere sempre applicato nulla si può dire sulla applicabilità del metodo 63

64 Metodo di NEWTON Due problemi: Quando può essere utilizzato il metodo? (applicabilità) Se f ha almeno uno zero, il metodo riesce sempre a trovarne uno? (convergenza) 64

65 Esempio la retta tangente alla curva è quasi parallela all asse delle ascisse ( f'( ) 0) 65

66 Esempio 1 Caratteristiche della funzione f definita in [a,b] f(a)f(b)<0 f ha 1 zero in [a,b] [ a, b] : ( ) 0 f' Se f assume valori prossimi allo zero in un punto di [a,b] il metodo di Newton non può essere applicato 66

67 Da che cosa dipende la convergenza del metodo di Newton? 2 * Partendo da la successione diverge * 1 Partendo da la successione converge allo zero di f 67

68 CONVERGENZA La convergenza del metodo di Newton dipende da un opportuna scelta del punto iniziale Dominio di attrazione della radice ξ (insieme dei punti iniziali che rendono convergente il metodo di Newton a ξ) 68

69 Il metodo di Newton richiede la conoscenza della derivata prima della funzione f MA f () potrebbe essere non nota a partire da f() potrebbe essere computazionalmente costosa da calcolare Come modificare il metodo di Newton per non calcolare f ()? 69

70 IDEA! Approssimiano la curva f() con la retta r() secante la curva nei punti, f ( )), (, f ( )) ( f( 1 ) y = f ( ) f( 2 ) r()

71 Si può iterare il procedimento f( 1 ) y = f ( ) f( 2 ) f( 3 ) Si Si approssima approssima la la curva curva y=f() y=f() con con la la retta retta ad ad essa essa secante secante nei nei punti punti ( ( 1, f, ( ( 1)),( )),( 2, f, ( ( 2)) 2 f 2 3 f 3)) Metodo delle secanti 71

72 Metodo delle secanti E una variante del metodo di Newton che evita il calcolo della derivata di f() +, > 2 si ottiene come ascissa del punto di 1 intersezione tra l asse e la retta secante la curva y=f() nei punti di ascissa e 1 L intersezione è data da: = 1 f( )( 1 f ( ) 1 1 f( 2 ) 2 ) 72

73 Metodo delle SECANTI Due problemi: Quando può essere utilizzato il metodo? (applicabilità) Se f ha almeno uno zero, il metodo riesce sempre a trovarne uno? (convergenza) 73

74 La retta tangente ad una curva si può approssimare con una retta secante Retta tangente la curva nel punto P Retta secante la curva nei punti P e R P R Q Retta secante la curva nei punti P e Q 1 * 2 2 Quanto più 2 è vicino a 1 tanto più la secante approssima la retta tangente 74

75 APPLICABILITA Ipotesi di applicabiltà del Metodo di NEWTON Ipotesi di NON applicabiltà del Metodo di NEWTON il metodo delle secanti può essere applicato nulla si può dire sulla applicabilità del metodo 75

76 Metodo delle SECANTI Due problemi: Quando può essere utilizzato il metodo? (applicabilità) Se f ha almeno uno zero, il metodo riesce sempre a trovarne almeno uno? (convergenza) 76

77 * 2 * 21 1 Partendo da la successione diverge 1, 2 * * Partendo da a successione converge alla soluzione 1, 2 Come nel metodo di Newton, la convergenza dipende dalla scelta dei valori iniziali 77

78 Bisezione Newton Secanti Quale dei tre metodi è più efficiente? Quale dei tre metodi calcola un approssimazione dello zero più accurata a meno di una tolleranza fissata? Stima dell errore 78

79 stima dell errore 2 Esempio f ( ) = sin( ) 2 ξ Calcoliamo un approssimazione della radice ξ = di f() con i metodi bisezione Newton secanti con una tolleranza di

80 a = 0.5, b = Metodo di bisezione 2.0 m f(m) cifre significative esatte dopo 12 iterazioni 80

81 Metodo di Newton 1 = f( ) cifre significative esatte dopo 4 iterazioni 81

82 Metodo delle secanti 1 = 1, 2 = f() cifre significative esatte dopo 4 iterazioni 82

83 Bisezione Newton Secanti 5 cifre dopo 12 it. 5 cifre dopo 4 it. 5 cifre dopo 4 it. 12 * < * < * < 10-5 A parità di accuratezza Newton e Secanti sono più veloci di Bisezione 83

84 84

85 Da cosa dipende l efficienza dei metodi Risposta numero di iterazioni necessarie per ottenere l accuratezza richiesta? numero di valutazioni della funzione (eventualmente anche dalle sue derivate) COMPLESSITA DI TEMPO = NUMERO TOTALE DI VALUTAZIONI DELLA FUNZIONE 85

86 i metodi di Newton e delle secanti sono basati sull approssimazione della f() con una retta r() ) )( ( ) ( ) ( 1 1 ' 1 + = f f r Newton: r() è la retta tangente alla curva f() nel punto )) (, ( 1 1 f Osservazione 86 )) (, ( )) (, ( f e f secanti: r() è la retta secante la curva f() nei punti ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = f f f r 1 1 1

87 Idea comune dei metodi iterativi per la risoluzione di f()=0 approssimare f() con una funzione f*() calcolare gli zeri di f*() Metodi globali I metodi globali approssimano globalmente la funzione f con una funzione f* (metodo di bisezione) Metodi locali I metodi locali approssimano localmente la funzione f con una funzione f* (metodi di Newton e delle secanti) 87

88 Quindi: Metodi globali: convergono sempre convergenza lenta Metodi locali: non convergono sempre convergenza rapida ROBUSTEZZA EFFICIENZA Trade-off tra efficienza e robustezza 88

89 I metodi fino ad ora analizzati soddisfano l una o l altra esigenza OBIETTIVO Progettare metodi che abbiano insieme caratteristiche di robustezza e di efficienza METODI IBRIDI 89

90 Metodo di Deer-Brent metodo di Bisezione + metodo delle Secanti 90

91 (, 0 1) Intervallo in cui cade almeno una radice utilizziamo il metodo delle secanti L approssimazione NON cade NON cade in cade (in 0,in ( 1 ) 0 ( applichiamo, 01, ) 1 ) applichiamo il metodo il metodo il metodo delle di secanti di Bisezione s 4 b 4 0 y 1 = y 2 = y b 3 s 3 5 = = y 4 s 2 1 s 3 s i b i Punti ottenuti con il metodo delle secanti Punti ottenuti con il metodo di bisezione 91

92 Il metodo di Deer-Brent genera un successione di intervalli y, ] contenenti la radice [ determinare utilizzando metodo delle secanti se metodo di bisezione, altrimenti [ y, + 1 ] y scegliere tra in modo che +1 y e ξ y, ] [

93 Idea di base Applicare il più possibile il metodo delle secanti ovvero il metodo locale (perché più veloce) e applicare il metodo di bisezione (globale) ogni volta che ci si sta allontanando dalla radice (perché più robusto) convergenza garantita convergenza rapida in prossimità della radice 93

94 OSSERVAZIONE In questo caso il metodo delle secanti converge lentamente verso lo zero y 0 =y 1 =y 2 =y 3 =y 4 =y 5 Questo comportamento delle secanti 94 indica che lo zero si trova vicino a y 0

95 Anche per questa funzione dopo le prime 3 iterazioni = y2 y 0 y 1 = = 3 b 3 s 2 1 I valori delle si avvicinano da destra allo zero I valori delle y si sono stabilizzati nella stessa posizione Questo comportamento delle secanti è il sintomo del fatto che lo zero si trova vicino a y 95

96 Il metodo di Deer-Brent genera un successione di intervalli y, ] contenenti la radice [ determinare utilizzando metodo delle secanti se metodo di bisezione, altrimenti [ y, + 1 ] y scegliere tra in modo che +1 y e ξ y, ] [ Se y +1 = y = y -1, il punto +1 il metodo di bisezione viene determinato utilizzando 96

97 Si calcolano le quantità: 2 ) ( ) ( ) ( sec bis y f f f + = = + + si pone: = sec 1 sec 1 1, estremi segmento di cade nel se y y y bis 97 si calcola la terna ),, ( y altrimenti +1 bis altrimenti y < = ) ( ) ( se 1 1 f f y

98 Fine Lezione 98

99 Esempio 3 f(a) y = f () a = a 1 f ( a) f ( c) > 0 b 4 ca 2 a c c 3 f ( a ) ( ) 3 f c < f ( a ) ( ) 4 2 f c > 0 0 b = b 1 b 2 b 3 f(b) Si costruisce una sequenza di intervalli, di ampiezza sempre più 99 piccola, ciascuno contenente lo zero di f

100 Esempio 3: Caratteristiche della funzione f NON è definita in tutto [a,b] f(a)f(b)<0 f ha 1 zero in [a,b] il metodo di bisezione costruisce una successione che tende ad approssimare lo zero di f 100

101 Esempio =3 Il metodo di Newton genera la successione,,,, La successione non converge 101

102 Esempio 2 Caratteristiche della funzione f definita in [a,b] f(a)f(b)<0 f ha 1 zero in [a,b] f 0 [ a, b] f gode di particolari proprietà di simmetria Il metodo di Newton non converge 102

103 e quanto sono più veloci? = *, poniamo: e = O(10 r ) e * e +1 = O(10 -s ) + 1 = + 1 Sia p = s/r e +1 = O( 10 r p ) Alla +1 ma iterazione l errore e +1 è p-volte più piccolo dell errore alla -ma iterazione 103

104 Metodo Bisezione Newton 1 2 p Stima errore 1 e +1 e 2 e Ce Secanti p e Ce 104

105 In generale e = *, e = O(10 r ) e + 1 = + 1 * Se e +1 = O(e p ) e e +1 p Cost Alla +1 ma iterazione l errore e +1 è p-volte più piccolo dell errore alla -ma iterazione 105 (dalla -ma alla +1 ma iter. si sono guadagnate p cifre corrette)

106 Come si puo misurare la velocità di convergenza? Definizione: Ordine di convergenza { } Assegnata una successione convergente a * si dice che la successione ha ordine di convergenza p se esistono n Ν, C R + ( C< 1) i tali che n + 1 * C n * n > n Se p=1 si parla di convergenza lineare Se p=2 si parla di convergenza quadratica C si dice raggio di convergenza p L ordine di convergenza fornisce una misura del guadagno in accuratezza ad ogni iterazione 106

107 Convergenza del metodo di bisezione b a = ( b 1 1 a 1) / 2 =... = ( b a) / 2 Posto e 1 = b 1 a 1 risulta ξ e e e 2 = 1 convergenza lineare p=1 e C=1/2 (ad ogni passo si guadagna una cifra in accuratezza) 107

108 Convergenza del metodo di Newton ' Si può dimostrare che se * è uno zero semplice ( f ( *) 0 ) di una funzione f C 2 [ a, b] e la successione { i } generata dal metodo di Newton converge a *, allora risulta: p=2 e C= f (*)/f (*)2 convergenza quadratica il numero di cifre corrette raddoppia ad ogni iterazione 108

109 Convergenza del metodo delle Secanti { } Si può dimostrare che se la successione i generata dal metodo delle Secanti converge a *, allora risulta: p il numero di cifre corrette è (quasi) il doppio ad ogni iterazione 109