Metodi numerici per ODE. Metodi numerici per ODE

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2 Problema di Cauchy Consideriamo un equazione differenziale (sistema di equazioni) del primo ordine in forma normale con condizioni iniziali assegnate. { y (x) = f (x, y(x)) x [x 0, x F ] y(x 0 ) = y 0 y 1 (x) = f 1(x, y 1 (x),..., y n (x)) y 2 (x) = f 2(x, y 1 (x),..., y n (x))... x [x 0, x F ] y n(x) = f n (x, y 1 (x),..., y n (x)) y 1 (x 0 ) = y (1) 0, y 2(x 0 ) = y (2) 0,..., y n(x 0 ) = y (n) 0 Si ricordi che un equazione differenziale di ordine n esprimibile in forma normale, può essere sempre ricondotta a un sistema di n equazioni differenziali di ordine uno.

3 Questioni teoriche: esistenza e unicità della soluzione Teorema Sia f(x, y) una funzione definita nella striscia S = {(x, y) x [x 0, x F ]; y R n }, ivi continua rispetto a x e a y e che gode di una condizione di Lipschitz rispetto a y in S, ossia esiste L > 0 (costante di Lipschitz) tale che f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L y 1 y 2 per ogni y 1, y 2 R n e per ogni x [x 0, x F ]. Allora per ogni x [x 0, x F ] e per ogni ȳ R n esiste una e una sola funzione y(x) continua e differenziabile con continuità in [x 0, x F ] tale che y(x) soddisfa y (x) = f (x, y(x)) in [x 0, x F ] e y( x) = ȳ.

4 Questioni teoriche Dipendenza continua dai dati: si studia il comportamento della soluzione quando la pertubazione sul dato iniziale tende a zero. Condizionamento: perturbazione sul dato iniziale fissata. Infatti non possiamo farla tendere a zero! Il condizionamento è legato a f / y. Se f / y < 0, le soluzioni ottenute a partire da differenti valori iniziali tendono a diminuire la loro distanza per x crescente. Il problema è ben condizionato (stabile) dato iniziale dato perturbato soluzione sol. prob. perturbato

5 Questioni teoriche Se f / y > 0, segue che la distanza tra due soluzioni ottenute a partire da valori iniziali di poco diversi, aumenta al crescere di x. Il problema è mal condizionato (instabile) dato iniziale dato perturbato soluzione sol. prob. perturbato

6 Metodi numerici Nelle applicazioni, si richiede che f (x, y) sia sufficientemente regolare, ossia che ammetta derivate parziali continue e limitate fino all ordine p, con p > 1, in S. La risoluzione numerica del problema di Cauchy si basa su una discretizzazione del dominio I = [x 0, x F ] che può essere fatta a passo costante o a passo variabile. Si decompone I in µ sottointervalli di ampiezza h n, con i nodi dati da n x n = x 0 + h j. Se h n = h, allora x n = x 0 + nh. In tal caso la discretizzazione è a passo costante. Ciò capita raramente nelle applicazioni. I metodi numerici risolutivi si propongono di determinare una successione di valori y n, n = 1..., µ, ove y n rappresenta una approssimazione della soluzione analitica incognita in x n, ossia y n è una approssimazione di y(x n ). j=1

7 Metodi numerici Il valore di y n si ottiene mediante approssimazioni calcolate in k passi precedenti. Se k = 1, si parla di metodi ad un passo. In questo caso y n viene calcolato a partire dall approssimazione y n 1. Se k > 1, si parla di metodi multipasso.

8 Metodo di Eulero Metodo semplice da illustrare ma non efficiente nella maggior parte delle applicazioni. x i+1 = x i + h, y i+1 = y i + hf (x i, y i ), i = 0,..., µ 1 È un metodo di ordine 1.

9 Metodi Runge Kutta Formula generale dove y i+1 = y i + h s b j f j j=1 j 1 f 1 = f (x i, y i ), f j = f (x i + c i h, y i + h a jl f l ), j = 2,..., s l=1 Il numero s indica il numero di stadi ovvero il numero di valutazioni della funzione f.

10 Esempi di metodi Runge Kutta Il metodo di Heun Utilizza due valutazioni funzionali (due stadi). E un metodo di ordine 2. x i+1 = x i + h, y i+1 = y i + h 2 (f 1 + f 2 ) dove f 1 = f (x i, y i ), f 2 = f (x i + h, y i + hf 1 )

11 Esempi di metodi Runge Kutta Il metodo a tre stadi di ordine 3 y i+1 = y i + h 6 (f 1 + 4f 2 + f 3 ) dove f 1 = f (x i, y i ) f 2 = f (x i + h 2, y i + h 2 f 1) f 3 = f (x i + h, y i + h(2f 2 f 1 ))

12 Attenzione: il numero di stadi NON è pari all ordine del metodo! Butcher ha provato una relazione tra il numero s degli stadi di una formula Runge Kutta esplicita e il suo ordine k. s k

13 Considerazioni pratiche: scelta del metodo Metodo accurato: richiede più valutazioni funzionali ad ogni passo, ma generalmente l accuratezza richiesta è raggiunta con h non troppo piccolo maggiore 2.4 efficienza. soluzione esatta eulero passo h=0.3 heun passo h= soluzione esatta eulero passo h=0.1 heun passo h=

14 Considerazioni pratiche: scelta del passo Passo troppo piccolo comporta elevato costo sia in termini di calcolo che di occupazione della memoria. In ogni caso non posso scendere sotto una certa soglia in quanto gli errori di arrotondamento supererebbero quelli locali di troncamento. Il passo deve essere scelto in modo che il metodo sia numericamente stabile.

15 Considerazioni pratiche: scelta del passo Il passo deve essere tale che (λh) appartenga ad una certa regione: la regione di assoluta stabilità del metodo. Regioni di assoluta stabilità dei metodi RK Ordine Intervalli di assoluta stabilità 1 (-2,0) 2 (-2,0) 3 ( ,0) 4 ( ,0)

16 Considerazioni pratiche: scelta del passo Scelta di h : il più grande possibile in modo da ottenere una soluzione approssimata entro una certa tolleranza. Quale criterio uso per fare ciò? In generale si usa un criterio che si basa sulla stima dell errore locale (di troncamento).

17 Scelta del passo Supponiamo di avere un metodo di ordine p y n+1 = y n + h n Φ(x n, y n ) e consideriamo la soluzione locale del problema che passa per il punto (x n, y n ) { u (x) = f (x, u(x)) x [x n, x F ] u(x n ) = y n L errore locale in x n+1 è definito come mentre l errore globale è el(x n+1 ) = y n+1 u(x n+1 ), eg(x n+1 ) = y n+1 y(x n+1 ). Sappiamo che el(x n+1 ) = O(h p+1 ) e che eg(x n+1 ) = O(h p ). Stimare l errore globale è problematico. In generale si lavora su una stima dell errore locale che dipende solo dall ultimo passo e non da tutti quelli precedenti.

18 Scelta del passo Fissiamo una tolleranza tol (accuratezza richiesta) e consideriamo un secondo metodo di ordine superiore a p, per esempio di ordine p + 1. Abbiamo perciò una coppia di metodi che a partire dal punto (x n, y n ) ci forniscono due approssimazioni di ordine diverso nel punto successivo x n+1 : y n+1 = y n + h n Φ(x n, y n ) ŷ n+1 = y n + h n ˆΦ(x n, y n ). Si dimostra che el(x n+1 ) ŷ n+1 y n+1.

19 Scelta del passo Se la stima dell errore locale ottenuta con il passo h n è inferiore alla tolleranza fissata, il passo usato va bene e si accetta il valore y n+1. In caso contrario il passo utilizzato è troppo grande e si deve ripartire da (x n, y n ) con un passo più piccolo, in genere si dimezza. Scelta automatica del passo Fisso un passo iniziale h 0 = H e vado in x 1. Calcolo la quantità el 1. Fino a quando el 1 > tol, dimezzo il passo h 0 = h 0 /2, torno in x 0 e ripeto. Quando el 1 tol accetto il passo h 0. Sono nel nuovo punto x 1. Con che passo mi muovo per andare nel punto successivo?

20 Scelta del passo In genere non si usa quello precedente, ma si usa un passo tentativo che dovrebbe garantire che l approssimazione calcolata sia accurata: tol h 1 = 0.9 p+1 h 0. el 1 Con questo passo vado in x 2, stimo l errore locale... In generale, supponiamo di essere arrivati in x n con passo h n 1, che abbiamo accettato. Il passo tentativo per trovare l approssimazione successiva sarà tol h n = 0.9 p+1 h n 1. el n