Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari. Equazioni Differenziali

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1 1 Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari Equazioni Differenziali

2 2 Consideriamo il sistema di equazioni differenziali: con condizione iniziale: y = f(t, y) (6.1) y(t 0 ) = y 0, e supponiamo che la funzione f : [t 0, T ] R s R s sia continua nelle due variabili e Lipshitziana in y, cioè che, presi y 1, y 2 R s, risulti: f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) < L y 1 y 2 con L > 0. È noto che sotto queste ipotesi, fissata la condizione iniziale, esiste un unica soluzione dell equazione (6.1). Tranne pochi casi però le soluzioni non possono essere fornite analiticamente, cioè non possono essere espresse mediante polinomi, funzioni elementari e funzioni trigonometriche. Bisogna necessariamente approssimarle mediante un procedimento numerico oppure cercare le informazioni di interesse sul loro comportamento mediante opportune tecniche. Per semplicità considereremo prima il caso unidimensionale, cioè il caso in cui y R; quindi generalizzeremo quanto detto al caso y R s. 6.1 Convergenza, consistenza e stabilità Consideriamo l equazione differenziale con condizione iniziale y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 (6.2) e supponiamo che f : [t 0, T ] R R sia una funzione tale che la soluzione esista e sia unica nell intervallo [t 0, T ]. Vogliamo ottenere una approssimazione della soluzione. Dividiamo l intervallo in N sottointervalli di ampiezza h. Sarà quindi Nh = T t 0. h t 0 t 1 t 2 t 3 t N 1 t N T Figura 6.1: Discretizzazione dell intervallo [t 0, T ].

3 6.1. CONVERGENZA, CONSISTENZA E STABILITÀ h Figura 6.2: Metodo di Eulero esplicito. Il metodo più semplice per approssimare la soluzione è quello di considerare lo sviluppo in serie di Taylor nell intorno del generico punto t n, n = 0, 1,..., N: y(t n+1 ) = y(t n ) + y (t n )h + τ n ove τ n = h2 2 y (ξ n ), essendo ξ n un punto tra t n e t n+1. Questa quantità è detta errore locale. Il metodo di Eulero esplicito consiste nel trascurare questo termine e scrivere: yn+1 = y n + hf(t n, y n ) y 0 = y(t 0 ). (6.3) In figura (6.2) è rappresentato un passo del metodo di Eulero esplicito. Si noti che y 1 è il valore assunto nel punto t 1 dalla tangente alla soluzione nel punto t 0. Questa formula di ricorrenza non fornirà la soluzione esatta y(t n ), per n = 1,..., N, ma una sua approssimazione, che abbiamo indicato con y n. Sottraendo e indicando con e n l errore, cioè ponendo e n = y(t n ) y n, si ha: en+1 = e n + h(f(t n, y(t n )) f(t n, y n )) + τ n e 0 = 0 (6.4) Vogliamo che e n rimanga limitato al variare di n, cioè che la soluzione numerica rimanga vicina a quella continua e, possibilmente, tenda a questa quando il passo h tende a zero (convergenza). Ricordiamo che quando h 0 allora N.

4 4 Per studiare il comportamento dell errore basta studiare l equazione precedente. Quando la f(t, y) è non lineare, l equazione (6.4) è non lineare e pertanto difficile da studiare. Di solito ci si limita a studiare il comportamento di e n nel caso in cui f sia lineare. Si può dimostrare che, sotto opportune ipotesi, i risultati ottenuti in questo caso possono estendersi al caso di f(t, y) non lineare. Si consideri dunque la funzione test f(y) = λy, Re(λ) < 0. (6.5) Per semplicità i calcoli seguenti saranno fatti nel caso in cui λ è reale e negativo. Sostituendo nell equazione dell errore (6.4), si ottiene: la cui soluzione è: en+1 = e n + hλe n + τ n = (1 + hλ)e n + τ n e 0 = 0 (6.6) n 1 e n = (1 + hλ) n 1 j τ j. j=0 Ponendo M = max ξ [t 0,T ] y (ξ), si ha: e n h2 n 1 2 M 1 + hλ n 1 j = h2 2 M 1 + hλ n hλ 1 j=0 Si vede subito che se 1 + hλ > 1, l errore e n cresce esponenzialmente. Si deve quindi fare in modo che 1 + hλ 1. In tal caso il metodo si dice assolutamente stabile. Per vedere se vi è convergenza, bisogna far tendere il passo h a zero. Possiamo quindi supporre che h sia già abbastanza piccolo da aversi hλ < 1 e quindi scrivere: e n h hλ n M 2 h λ Dalla precedente si vede subito che hm 2 λ. (6.7) lim h 0 e n = 0 e quindi il metodo è convergente per l equazione test usata. Si può dimostrare che il metodo è convergente anche per una generica funzione f soddisfacente alle ipotesi fatte all inizio. La convergenza è solo lineare rispetto ad h.

5 6.1. CONVERGENZA, CONSISTENZA E STABILITÀ 5 Per questo motivo il metodo si dice di ordine uno. In genere l ordine di convergenza di un metodo è di una unità inferiore rispetto all esponente di h nell espressione dell errore locale τ i. Notiamo che se la dipendenza dell errore locale τ n da h fosse stata lineare invece che quadratica, la convergenza non avrebbe potuto aver luogo. Quindi l ordine uno è il più piccolo ordine per cui si può avere convergenza. Per questo motivo i metodi di ordine almeno uno sono detti consistenti. Ricordiamo che convergenza significa che la soluzione numerica tende alla soluzione continua quando h tende a zero. Ma un metodo ha senso solo se h è diverso da zero e non troppo piccolo. Cioè si devono poter scegliere dei valori del passo non troppo piccoli senza che l errore cresca con n. Generalizzando quanto detto al caso in cui λ sia un numero complesso con parte reale negativa, l errore non cresce se 1 + hλ < 1, cioe se hλ è interno al cerchio di centro ( 1, 0) e raggio 1. Tale regione del piano complesso (rappresentata in figura 6.3) è detta regione di Assoluta stabilità del metodo di Eulero esplicito. Im(hλ) Re(hλ) -1-2 Figura 6.3: Regione di assoluta stabilità del metodo di Eulero esplicito. Da quanto detto segue che in pratica, più che la convergenza, è l Assoluta stabilità che ha un ruolo centrale nel comportamento dei metodi. L altro parametro essenziale è l ordine dato, come già detto, dall esponente di h nell errore locale diminuito di uno. Finora ci siamo occupati del metodo di Eulero esplicito. Vi sono essenzialmente due motivi che lo rendono spesso non soddisfacente alle esigenze delle applicazioni:

6 6 1. il basso ordine; 2. la regione di Assoluta stabilità relativamente piccola. Vi sono naturalmente metodi con ordine più elevato o con regione di Assoluta stabilità più ampie. Soffermiamoci ancora a discutere questi due concetti basilari. L ordine è importante perchè misura la velocità con cui l errore diminuisce al diminuire di h (almeno fino a quando gli errori di arrotondamento non cominciano ad emergere). Se un metodo è di ordine p, ciò significa che (vedi, ad esempio, (6.7)): max e n = ch p. n Usando un passo più piccolo, ad esempio h 2, il nuovo errore e n soddisfa la: ( ) p h max e n = c = max e n 2 p n 2 n da cui si deduce che il nuovo errore è 2 p volte più piccolo dell errore precedente. Risulta quindi evidente il vantaggio di usare un metodo di ordine elevato. Per quel che riguarda la regione di Assoluta stabilità, la sua ampiezza è importante nel caso in cui T t 0 1 λ. (6.8) Infatti se la regione di Assoluta stabilità è piccola, allora si è costretti ad usare dei passi molto piccoli (nel caso del metodo di Eulero esplicito h < 2 ). Ciò implica che il numero di passi N diventa molto grande, essendo λ N = T t 0 > (T t h 0 ) λ >> 1. Ciò fa aumentare l accumulo degli errori di arrotondamento, oltre a far aumentare i tempi di esecuzione per ottenere la soluzione. Problemi in cui la (6.8) è verificata, si chiamano problemi stiff. Per questi problemi è quindi importante usare dei metodi per cui la regione di Assoluta stabilità è la più grande possibile. Un esempio di metodo con regione di Assoluta stabilità più ampia, è il metodo di Eulero implicito definito da yn+1 = y n + hf(t n+1, y n+1 ). (6.9) y 0 = y(t 0 )

7 6.1. CONVERGENZA, CONSISTENZA E STABILITÀ h Figura 6.4: Metodo di Eulero implicito. In figura 6.4 è rappresentato un passo del metodo di Eulero implicito. Osserviamo che y 1 rappresenta il valore nel punto t 1 della retta passante per t 0 e parallela alla tangente alla soluzione nel punto t 1. Si vede facilmente che questo metodo è ancora di ordine 1, cioè che si ha y(t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n+1, y(t n+1 )) + τ n con τ n = O(h 2 ). Sottraendo ed usando l equazione test si ottiene: da cui: la cui soluzione è: en+1 = e n + hλe n+1 + τ n e 0 = 0 e n+1 = e 0 = 0 e n = 1 1 hλ e n hλ τ n n 1 j=0 ( ) 1 n 1 j τ j. 1 hλ Anche in questo caso gli errori locali non saranno amplificati se 1 1 hλ 1,,

8 8 la quale permette una scelta di hλ ben più ampia. Infatti essa è soddisfatta per tutti i valori di hλ esterni al cerchio di centro (1, 0) e raggio 1 (regione di Assoluta stabilità). Questa regione contiene il semipiano negativo del piano complesso. I metodi per cui ciò avviene si dicono A-stabili. Im(hλ) Re(hλ) -1-2 Figura 6.5: Regione di assoluta stabilità del metodo di Eulero implicito. Sembrerebbe quindi che il metodo di Eulero implicito sia migliore di quello esplicito, e che quindi debba essere sempre usato al posto di quest ultimo. In realtà il metodo di Eulero implicito, come del resto tutti i metodi impliciti di cui ci occuperemo anche nei prossimi paragrafi, presentano una grossa difficoltà. Consideriamo infatti il primo passo: y 1 = y 0 + hf(t 1, y 1 ). Il nuovo punto y 1 è sia al primo che al secondo membro. Quando f è non lineare la precedente è una equazione non lineare nella incognita y 1. Questa deve essere risolta con un procedimento iterativo, ad esempio il metodo di Newton. In generale quindi il metodo di Eulero implicito necessita la soluzione, ad ogni passo, di una equazione non lineare. Ciò aumenta di molto il costo del metodo, e lo rende giustificabile solo per problemi stiff. Un esempio di metodo implicito con regione di A-stabile di ordine più alto è il metodo dei Trapezi definito da yn+1 = y n + h(f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 ))/2 y 0 = y(t 0 ) Questo metodo è ancora di ordine 2, cioè che si ha. (6.10)

9 6.2. METODI MULTISTEP 9 y(t n+1 ) = y(t n ) + h(f(t n, y(t n )) + f(t n+1, y(t n+1 ))/2 + τ n con τ n = O(h 3 ). Sottraendo ed usando l equazione test si ottiene: da cui: la cui soluzione è: en+1 = e n + hλ(e n + e n+1 )/2 + τ n e 0 = 0 e n+1 = 1 + hλ/2 1 hλ/2 e n + e 0 = hλ/2 τ n, e n = n 1 j=0 ( ) n 1 j 1 + hλ/2 τ j. 1 hλ/2 Anche in questo caso gli errori locali non saranno amplificati se 1 + hλ/2 1 hλ/2 1, essa è soddisfatta per tutti i valori di hλ che hanno parte reale negativa, quindi il metodo è A-stabile. Esempio Risolvere l equazione differenziale y = 10 6 y y 0 = 2 con i tre metodi e mostrare le diverse limitazioni sulla scelta del passo. 6.2 Metodi multistep Abbiamo presentato, in maniera piuttosto dettagliata, i due semplici metodi di Eulero e il metodo dei trapezi. Ciò perchè già in questi metodi vi è, nella forma più semplice, tutta la problematica da affrontare quando si studiano metodi più sofisticati. Essi appartengono alla classe dei metodi lineari multistep. La classe dei metodi lineari multistep è definita dalla

10 10 α i y n+i h β i f n+i = 0, (6.11) y 0, y 1,..., y k 1 fissati ove si è posto f n+i = f(t n+i, y n+i ). I parametri α i e β i sono da determinare imponendo alcune condizioni alla (6.11). I metodi per i quali β k = 0 sono detti metodi espliciti, mentre quelli per i quali β k 0 sono detti metodi impliciti. Esempio I metodi di Eulero appartengono alla classe dei metodi lineari multistep. Si ottengono prendendo k = 1, α 1 = 1 e α 0 = 1. Per Eulero esplicito si pone poi β 1 = 0 e β 0 = 1, mentre per Eulero implicito si pone β 1 = 1 e β 0 = 0. L errore locale si ottiene sostituendo nella (6.11) i valori y(t n+i ) della soluzione teorica nei punti di discretizzazione. Si ha: α i y(t n+i ) h β i y (t n+i ) = τ n, (6.12) in cui si è tenuto conto che y (t n+i ) = f(t n+i, y(t n+i )). Ricordiamo che un metodo è di ordine p se τ n = O(h p+1 ) e che un metodo dicesi consistente se p 1. Ricaviamo le condizioni sui coefficienti α i e β i affinchè si abbia la consistenza. Essendo si ha: y(t n+i ) = y(t n ) + ihy (t n ) + O(h 2 ) y (t n+i ) = y (t n ) + ihy (t n ) + O(h 2 ) α i [y(t n ) + ihy (t n )] h β i y (t n ) + O(h 2 ) = α i y(t n ) + h (iα i β i )y (t n ) + O(h 2 ) e quindi deve essere: α i = 0, (iα i β i ) = 0.

11 6.3. METODI RUNGE-KUTTA 11 In generale si puo dimostrare che un metodo è di ordine p se sono soddisfatte le seguenti relazioni: ( ) i s α i si s 1 β i = 0 s = 0, 1, 2,..., p. (6.13) 6.3 Metodi Runge-Kutta Un altra importante classe di metodi è quella dei metodi Runge-Kutta. Questa è caratterizzata dal fatto che, nella definizione dei metodi, tra due punti successivi t n 1 e t n vengono usati dei punti ausiliari (stages) nei quali viene calcolata la funzione f(t, y). Ad esempio nel caso di un solo punto ausiliario (metodo di Heun), si pone y n+1 = y n + hf ( t n + h 2, y n + h 2 f n Si è quindi introdotto il punto ausiliario t = t n + h 2. Si calcola y = y n + h 2 f n e si considera questo valore come approssimazione di y(t ). Si calcola poi f(t, y ) e lo si usa per ottenere y n+1. Si può dimostrare che il metodo precedente è di ordine due. In generale, un metodo ad r stages esplicito è definito da: r y n+1 = y n + h a i k i i=1 i 1 k i = f t n + hb i, y n + h c ij k j j=0 ). i = 1, 2,..., r Nei metodi Runge-Kutta impliciti le sommatorie all interno del calcolo dei k i arrivano fino ad i invece che ad i 1. I coefficienti si calcolano imponendo che l ordine sia massimo. L ordine naturalmente si definisce in maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, e così pure la stabilità. Non ci dilungheremo ulteriormente su questa classe di metodi. Riportiamo solo i principali risultati per i metodi Runge-Kutta espliciti: l ordine massimo p(r) ottenibile è

12 12 r per r = 1, 2, 3, 4 p(r) = r 1 per r = 5, 6, 7 r 2 per r = 8, 9 ; non esistono metodi Runge-Kutta A-stabili espliciti.