Eq. differenziali ordinarie: modello matematico. METODI NUMERICI - II canale (A.A )

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1 METODI NUMERICI - II canale A.A ) Prof. Francesca Pitolli Eq. differenziali ordinarie: modello matematico Il moto di una particella di massa m attaccata all estremità di una molla di costante elastica k è descritto dall equazione differenziale lineare del secondo ordine equazione dell oscillatore armonico semplice smorzato): m d dt + b d b + k =0 dt k: d : forza di attrito dt legge di Hooke Appunti delle lezioni su equazioni differenziali ordinarie Dall analisi matematica sappiamo ce la soluzione esatta è t) = m e bt/m cosω m t + ϕ m ) ω m = k m b pulsazione 4m: dell oscillatore L ampiezza m e la fase ϕ m dell oscillazione sono individuate dalle condizioni iniziali. Eq. differenziali ordinarie: problema di Cauc Un problema reale riciede l assegnazione delle condizioni iniziali. Problema di Cauc: m d dt + b d + k =0 dt 0) = 0 c.i. d dt 0) = v 0 Esempio: c.i. t) = m e bt/m cosω m t + ϕ m ) m = 0 cos ϕ m tan ϕ m = v 0 m 0 b 0.5 0) = d dt 0) = d/dt t Eq. differenziali ordinarie: problema di Cauc Nei problemi reali l espressione dell equazione differenziale è complicata e, in genere, non si riesce a calcolare esplicitamente la soluzione. Esempio Le oscillazioni di un pendolo possono essere descritte dall equazione differenziale del secondo ordine non lineare d θ dt g sin θ =0 L dove L è la lungezza del pendolo, g è l accelerazione di gravità eθ è l angolo tra il pendolo e la verticale. Il problema è completato con le condizioni iniziali θt 0 )=θ 0 θ t 0 )=v 0 Dati: g = 9.8 m/s, L =0.6 m, θ 0 = π/6, v 0 =0 3

2 Equazioni differenziali di ordine n n) ) =g, ), ), ),..., n ) )) k) 0 )= k k =0,,...,n Condizioni iniziali Un equazione differenziale di ordine n può essere ricondotta a un sistema di n equazioni differenziali del primo ordine. Eq. differenziali ordinarie del primo ordine / Problema di Cauc: ) =f, )) 0 )= 0 condizione iniziale Esempio: Modello per descrivere la crescita di una popolazione n) ) =g, ), ), ),..., n ) )) }}}}}}}} ) ) 3 ) n) f, )) = K) K>0 ) =K) 0 )= 0 ) =) ) = ) ) = 3)... n ) = n) n ) =g, ), ), 3 ),..., n )) 0 = 0 0 =... n0 = n Condizioni iniziali Soluzione esatta: ) = 0 e K 0) 0 0 ) 4 5 Eq. differenziali ordinarie del primo ordine / Nei problemi applicativi, l espressione di f, )) è complicata e quindi non si può calcolare esplicitamente la soluzione del problema di Cauc oppure la sua espressione è data tramite funzioni non elementari. si deve ricorrere a un metodo numerico per approssimare ). Esempio Sia P t) il numero di individui in una popolazione al tempo t, misurato in anni. Se il tasso medio di nascita b è costante e il tasso di morte d è proporzionale al numero di individui presenti al tempo t, allora il tasso di crescita è dato dall equazione differenziale del primo ordine dp t) = bp t) dt)p t), dt) =kpt), dt ciamata equazione logistica. Assumendo P 0) = 50976, b =.9 0 e k =.4 0 7,calcolare il numero di individui dopo 5 anni. 6 Esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauc Prima di risolvere numericamente un equazione differenziale bisogna essere sicuri ce il problema di Cauc ammetta un unica soluzione ). Definizione. Una funzione f, ) si dice lipscitziana in uniformemente rispetto a in D IR, se esiste una costante L>0 tale ce f, ) f, ) L, ),, ) D. Nota. Una condizione sufficiente ècef esista e sia limitata in D. Esempio: f, ) =K f, ) =K è limitata f è lipscitziana 7

3 Teorema. Sia f definita e continua in Q: Q :=, ) IR [ 0, 0 + a]; [ 0 b, 0 + b] } e sia lipscitziana in, uniformemente rispetto a 0 +b 0 0 b 0 Q ) 0 +a Ben-posizione del problema di Cauc Per poter risolvere numericamente il problema di Cauc è necessario ance ce il problema sia ben posto. Definizione. Il problema di Cauc esiste un unica soluzione ) C [ 0, [ 0 + β] del problema di Cauc in I =[ 0, 0 + β] con β =min a, b ], M =ma Q f, ). M ) =f, )) 0 )= 0 condizione iniziale Teorema. Sia f definita e continua in S: S :=, ) IR I =[ 0, 0 + β]; IR } e sia lipscitziana in, uniformemente rispetto a 0 S ) è ben posto se, dette ; 0 ) e ; 0 +δ) le soluzioni con condizioni iniziali 0 )= 0 e 0 )= 0 + δ rispettivamente, si a ; 0 ) ; 0 + δ) < ɛ [a, b] dove ɛ > 0 è una prefissata tolleranza, purcé δ = δɛ) sia sufficientemente piccolo. esiste un unica soluzione ) C [ 0, 0 + β] del problema di Cauc in I =[ 0, 0 + β] β Nota. Se f soddisfa le condizioni del Teorema, il problema di Cauc è ben posto. 9 Problema di Cauc: Metodo di Eulero ) =f, )) [ 0, 0 + β] 0 )= 0 condizione iniziale Discretizzazione di I: i = 0 + i i =0,...,n = β n Metodo numerico: I valori esatti i ) vengono approssimati con i valori i. Sviluppo in serie di Talor: ) = 0 + ) = 0 )+ 0 ) + τ ) = = 0 )+f 0, 0 )) + τ ) Soluzione approssimata: = 0 + f 0, 0 ) τ [ 0, ] Errore globale di troncamento: e )= ) = P T 0 +3) 0 +) 0 0 ) 3 0 +) P 0 t 0 T P T P T 3 P r r 0 Algoritmo del metodo di Eulero Algoritmo: i+ = i + f i, i ) i =0,,...,n Errore globale di troncamento: e i = i ) i = P i T i 0 +3) 0 +) 0 0 ) 3 0 +) P 0 t 0 T P T P T 3 P L errore globale di troncamento a due contributi: l errore locale di troncamento, dovuto al fatto ce la soluzione esatta ) viene approssimata localmente con una retta: R i, i ); ; f) = f τ i ) τ i [ i, i+ ] R i, i ); ; f) =O ) Primo ordine l accumularsi degli errori locali di troncamento, per cui al generico passo i ci si muove lungo la retta r i ce è una approssimazione della retta tangente alla soluzione in P i =[ i, i )]. r r

4 Convergenza del metodo di Eulero Definizione. Un metodo numerico per la soluzione approssimata di un equazione differenziale è convergente se lim ma e i =0 lim i = ) con = 0 + i 0 i n i Dalla figura è evidente ce, se si riduce il passo, si riduce ance l errore e i = P i T i. Per di più lim 0 ma e i =0 i n Il metodo di Eulero è convergente Un metodo numerico è convergente se è Consistente: R, ; ; f) lim =0 0 + Stabile: 0 +) 0 +/) 0 ) 4 3 t 0 P 0 r T r T P P T 3 P 3 r 3 T / 0 +3/ l accumularsi degli errori locali di troncamento si mantiene limitato r 4 P 4 ) Metodi di ordine superiore al primo Sviluppo in serie di Talor di ordine m C m+ [ 0, n ]) m k) i+ )= i )+ i ) k! k= Scema di Talor di ordine m k + m+ m +)! m+) τ i ) τ i i, i+ ) Trascurando l errore e sostituendo i valori approssimati si ottiene l algoritmo m f k ) i+ = i + i, i ) k k! k= Errore locale di troncamento: R i, i ); ; f) = m+ m +)! m+) τ i ) Le derivate della f possono essere calcolate ricorsivamente da f k), )) = f k ), )) + f k ), )) f, )) k f 0), )) := f, )) 3 Metodi di Runge-Kutta Metodi di ordine superiore al primo si possono ottenere muovendosi lungo una retta ce a come coefficiente angolare una combinazione lineare di valori assunti da f, ) in punti opportuni dell intervallo [ i, i + ]. Relazione esatta i + ) = i )+ Φ i, i ; ; f)+r i, i ); ; f) r Φ i, i ; ; f) = a l k l i, i ) l= con k i, i )=f i, i ) l k l i, i )=f i + λ l, i + b lj k j i, i ) j= l =,...,r I parametri a l, λ l e b lj sono determinati in modo ce il metodo abbia ordine p R i, i ); ; f) =O p+ ) 4 Metodi di Runge-Kutta del secondo ordine Relazione esatta + ) =)+ Φ, ; ; f)+r, ; ; f) R, ; ; f) =O + ) Φ, ; ; f) =a k, )+a k, ) con k, ) =f, ) k, ) =f + λ, + λ k, )) Sviluppo in serie di Talor + ) = )+ ) + ) +0 3 )= = )+f, ) + f, )+f, ) f, ) ) + O 3 ) k, ) =f, )+f, ) λ + f, ) λ f, )+O ) 5

5 R, ; ; f) = + ) ) Φ, ; ; f) = = f, )+ a f, )+ f, )+f, ) f, ) ) + O 3 ) a f, )+f, ) λ + f, ) λ f, )+O ) )) Metodo di Heun a = a = λ = i+ = i + fi, i )+f i +, i + f i, i )) ) i =0,,...,n 0 = 0 ) Affincé il metodo sia del secondo ordine devono essere nulli iterminiin e t ) a a =0 a λ =0 infinite soluzioni Errore locale di trocamento: R, ; ; f) =O 3 ) Secondo ordine ) 0 0 P 0 t 0 r 0 T P 6 7 Metodo di Runge-Kutta classico i+ = i + 6 k +k +k 3 + k 4 ) 0 = 0 ) k = f i, i ) k = f k 3 = f i +, i + ) k i +, i + ) k k 4 = f i +, i + k 3 ) Errore locale di trocamento: i =0,,...,n Esempio Problema di Cauc: ) =) [0, ] Soluzione esatta: ) =e 0) = Metodo di Heun Metodo di R K classico Metodo di Eulero Metodo di Eulero Metodo di R K classico Metodo di Heun R, ; ; f) =O 5 ) Quarto ordine Grafico della soluzione Grafico dell errore 8 9

6 Script MATLAB Soluzione di un equazione differenziale del primo ordine con il metodo di Eulero Input clear 0 = input 0: ); 0 = input 0: ); = input passo: ); n = input numero passi: ); fun = input funzione: ); f = inlinefun,, ); Algoritmo i) = 0; i) = 0; for i = :n ii) = ii-) + *fii-),ii-)); ii) = 0 + i*; end Grafico figure) ploti,i) 0 Metodi one-step espliciti I metodi di Eulero, Heun e Runge-Kutta classico sono tutti metodi one-step espliciti, cioè metodi in cui per il calcolo di i+ si utilizza solo il valore approssimato i : Metodi one-step espliciti: i+ = i + Φ i, i ; ; f) i =0,,...,n }} Funzione incremento 0 = 0 ) Metodo di Eulero: Φ, ; ; f) =f, )) Metodo di Heun: Φ, ; ; f) = [f, )) + f +, )+f, ))] Metodo di Runge-Kutta classico: Φ, ; ; f) = 6 [k +k +k 3 + k 4] Errore locale di troncamento Consistenza dei metodi one-step espliciti L errore locale di troncamento è definito come la differenza tra la soluzione esatta + ) el approssimazione fornita dallo scema numerico quando questo utilizza i valori esatti ): R, ); ; f) = + ) )+Φ, ); ; f) ) Rappresenta l errore dovuto al fatto di aver approssimato localmente la soluzione esatta con una retta. Errore locale unitario di troncamento: τ, ); ; f) = R, ); ; f) = + ) ) Φ, ); ; f) Ordine del metodo: permette di valutare quanto è accurata l approssimazione ottenuta. È definito come il massimo intero p tale ce R, ); ; f) =O p+ ) τ, ); ; f) =O p ) Un metodo di ordine p è esatto per tutti i polinomi fino al grado p. R, ; ; f) Consistenza: lim τ, ); ; f) = lim =0 0 0 I metodi one-step espliciti si ottengono discretizzando una relazione esatta del tipo: + ) =)+Φ, ); ; f)+r, ); ; f) }} Errore locale di troncamento [ ] + ) ) lim τ, ; ; f) = 0 lim 0 Φ, ); ; f) = ) lim Φ, ); ; f) =0 0 Un metodo one-step esplicito è consistente se e solo se lim Φ, ); ; f) 0 = ) =f, )) In particolare, sono consistenti i metodi di Eulero, Heun e Runge- Kutta classico. 3

7 Stabilità dei metodi one-step espliciti Errore globale di troncamento: e i = i ) i Convergenza: lim ma e i =0 lim i = ) 0 0 i n i = 0 + i Utilizzando le maggiorazioni trovate e trascurando gli errori di arrotondamento si a: e i+ = i ) i ) + Φ }} i, i ); ; f) Φ i, i ; ; f) +O }} p+ ) e i L i ) i e i+ = i+ ) i+ = = i )+Φ i, i ); ; f)+r i, i ); ; f) ) i + Φ i, i ; ; f) ) Dalla definizione di ordine di un metodo si a: R i, i ); ; f) =O p+ ) R i, i ); ; f) C p p+ Esempio: per il metodo di Eulero R M, dove M èil massimo di ) nell intervallo di integrazione C = M/ Poicé Φ è una combinazione lineare di valori di f, dalla lipsitzianità di f segue la lipsitzianità di Φ: Φ, ) Φ, ) L 4 ei+ e i + L)+C p p+ i =0,,... e 0 = 0 ) 0 =0 Si associa alla disuguaglianza ottenuta una equazione alle differenze del primo ordine: ti+ = t i + L)+C p p+ i =0,,... t t 0 =0 i = C p p + L)i L Poicé e i t i, i =0,,..., e + α) i <e iα per α>0, si deduce ce l errore globale di troncamento a la limitazione e i C p p el i 0 ) L L: costante di Lipscitz di f, ) C p : costante dipendente dal metodo one-step. 5 Convergenza dei metodi one-step espliciti Un generico metodo per risolvere numericamente un equazione differenziale è convergente se è consistente l errore locale unitario di troncamento tende a zero quando tende a zero) e stabile la propagazione degli errori durante lo sviluppo del metodo resta limitata). Teorema. Sia Φ, ); ; f) C 0 D), D = S [ 0, 0 + β], 0 < β, e lipscitziana in. Allora un metodo one-step esplicito è convergente se e solo se è consistente. Inoltre, se il metodo èdiordine p, sia e i = i ) i k p dove k è una costante indipendente da i eda. Propagazione degli errori di arrotondamento Se indiciamo con η i+ l errore di arrotondamento ce si produce nel calcolo di i+ ad ogni passo, si può scrivere i+ = i + Φ i, i ; ; f)+η i+ Se η i η, i, per l errore globale di troncamento si a la limitazione e i el i 0 ) C p p + η ) L In particolare, per il metodo di Eulero si a e i el i 0 ) M L + η ) M = ma [ 0, 0 +β] ) 6 7

8 Errore globale: e i el i 0 ) M L + η ) Errore globale Errore di troncamento M = ma [ 0, 0 +β] ) In corrispondenza del valore ottimale ott = l errore di tron- η M camento è uguale a quello di arrotondamento e la maggiorazione dell errore a un minimo: Esempio Problema di Cauc: f, ) =) ) =) 0) = [0, ] Soluzione esatta: Metodo di Eulero: i+ = i + f i, i ) = i + i i =,,...,n 0 = ) =e Errore di arrotondamento per < ott predomina l errore di arrotondamento; ) ) i = i i =0,,...,n =0. n =0 ott per > ott predomina l errore di troncamento. ) ) i = i i =0,,...,n =0.05 n = i ) ) i ) e ) = ) ) i i i e ) = ) ) i i i Sistemidiequazionidifferenziali Sistema di equazioni differenziali del primo ordine ) =f, ),..., n )) ) =f, ),..., n ))... n ) =f n, ),..., n )) In forma vettoriale: Y ) =F, Y )) Y 0 )=Y 0 dove 0 )= 0 0 )= 0... n 0 )= n0 Condizioni iniziali Y ) =[ ), ),..., n )] T Y 0 =[ 0 ), 0 ),..., n 0 )] T F, Y )) = [f, Y )),...,f n, Y ))] T Nota. M = ma [0,] ) = ma [0,] e = e.783 Se η = ott = η M Caso particolare: n = ) =f, ),z)) z ) =g, ),z)) 0 )= 0 z 0 )=z 0 Condizioni iniziali Nota. Per i sistemi di equazioni differenziali del primo ordine valgono teoremi di esistenza e unicità della soluzione analogi a quelli validi nel caso di un unica equazione differenziale. 3

9 Soluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali Y ) =F, Y )) Y 0 )=Y 0 Metodo di Eulero: Y i+ = Y i + F i,y i ) i =0,,...,n) Y 0 = Y 0 ) Caso particolare: n = dove dove Y ) =[ ), ),..., n )] T Y 0 =[ 0 ), 0 ),..., n 0 )] T F, Y )) = [f, Y )),...,f n, Y ))] T Y 0 X 0 )=[ 0 ), 0 ),..., n 0 )] T Y i =[ i, i,..., ni ] T F i,y i )=[f i,y i ),...,f n i,y i )] T Metodo di Heun: Y i+ = Y i + [F i,y i )+F i +, Y i + F i,y i ))] Y 0 = Y 0 ) dove Y 0 =[ 0 ), 0 ),..., n 0 )] T Y i =[ i, i,..., ni ] T F i,y i )=[f i,y i ),...,f n i,y i )] T i =0,,...,n ) =f, ),z)) z Caso particolare: n = ) =g, ),z)) 0 )= 0 z 0 )=z 0 i+ = i + [f i, i,z i )+f i +, i + f i, i,z i )),z i + g i, i,z i ))] ) =f, ),z)) z ) =g, ),z)) 0 )= 0 z 0 )=z 0 i+ = i + f i, i,z i ) z i+ = z i + g i, i,z i ) 0 = 0 ) z 0 = z 0 ) i =0,,...,n z i+ = z i + [g i, i,z i )+g i +, i + f i, i,z i )),z i + g i, i,z i ))] i =0,,...,n 0 = 0 ) z 0 = z 0 ) 3 33 Metodo di Runge-Kutta classico IV ordine): K = F Y i+ = Y i + i,y i ) 6 [K +K +K 3 + K 4 ] K = F i +,Y i + ) K i =0,,...,n dove Y 0 = Y 0 ) K 3 = F i +,Y i + ) K K 4 = F i +, Y i + K 3 ) ) =f, ),z)) z Caso particolare: n = ) =g, ),z)) 0 )= 0 z 0 )=z 0 i+ = i + 6 [k +k +k 3 + k 4 ] z i+ = z i + 6 [t +t +t 3 + t 4 ] i =0,,...,n) 0 = 0 ) z 0 = z 0 ) k = f i, i,z i ) t = g i, i,z i ) k = f i +, i + k,z i + ) t t = g k 3 = f i +, i + k,z i + ) t i +, i + k,z i + t t 3 = g i +, i + k,z i + ) t k 4 = f i +, i + k 3,z i + t 3 ) t 4 = g i +, i + k 3,z i + t 3 ) ) 34 Esempio Consideriamo l oscillatore armonico descritto dall equazione differenziale del secondo ordine n =): u )+αu )+β u) =0 u ) = αu ) β u) :=g, u),u )) u ) =g, u), u )) }}}} ) z) u 0 )=u 0 u 0 )=u ) =u) ) =z) z ) =g, ),z)) 0 )= 0 z 0 )= Per risolvere il sistema differenziale ottenuto, si possono applicare i metodi già visti per la soluzione dei sistemi ad esempio, il metodo di Runge-Kutta classico). 35

10 Script MATLAB Soluzione di un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine con il metodo di Runge-Kutta classico Input clear 0 = input 0: ); 0 = input 0: ); z0 = input z0: ); = input passo: ); n = input numero passi: ); ffun = input funzione f,,z): ); f = inlineffun,,, z ); gfun = input funzione g,,z): ); g = inlinegfun,,, z ); Algoritmo i) = 0; i) = 0; zi) = z0; for i = :n = ii-); = ii-); z = zii-); k = f,,z); t = g,,z); k = f+0.5*,+0.5**k,z+0.5**t); t = g+0.5*,+0.5**k,z+0.5**t); k3 = f+0.5*,+0.5**k,z+0.5**t); t3 = g+0.5*,+0.5**k,z+0.5**t); k4 = f+,+*k3,z+*t3); t4 = g+,+*k3,z+*t3); ii) = 0 + i*; ii) = + *k+*k+*k3+k4)/6; zii) = z + *t+*t+*t3+t4)/6; end figure) ploti,i, r,i,zi, b ) 36 Suggerimento Oscillazioni smorzate: α=0., β= )=u) z)=u ) Smorzamento supercritico: α=, β= Utilizzare il programma per approssimare la soluzione del problema del pendolo non lineare z)=u ) Confrontare graficamente la soluzione approssimata ottenuta con quella del problema lineare )=u) Dati del problema Dati del problema 0: 0 0: 0 0: 0: z0: 0 z0: 0 passo: 0. passo: 0. numero passi: 50 numero passi: 50 funzione f,,z): z funzione f,,z): z funzione g,,z): -*0.*z- funzione g,,z): -*z- Riferimenti bibliografici L. Gori, Calcolo Numerico: Cap , 9.4 esclusi metodi di Adams- Basfort, Milne e Numerov) L. Gori, M.L. Lo Cascio, Esercizi di Calcolo Numerico: 6., 6., 6.3, 6.4, 6.5,