Aritmetica di macchina

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1 Aritmetica di macchina Esercizio (valutazione di una successione) Sappiamo che ( e = lim ) n. n n È sensato approssimare e con ( n) n al calcolatore, prendendo n molto elevato? (Utilizzare ad esempio n = 10 5, 10 10, ) Giustificare la risposta ed i risultati ottenuti. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 1

2 Svolgimento. Valutiamo e con la funzione esponenziale: >> e=exp(1) e = e+00 Prendiamo n = 10 5 : >> n=1.e5; ee=(1+1/n)^n ee= e+00 ee differisce da e dalla quinta cifra decimale in poi. Prendo n = >> n=1.e10; ee=(1+1/n)^n ee= e+00 Il valore ottenuto non è abbastanza accurato, ee differisce da e dalla sesta cifra decimale in poi. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 2

3 Prendiamo n ancora maggiore n = : >> n=1.e20; ee=(1+1/n)^n ee= 1 Come mai? Valutiamo i termini (1 + 1/n) n per diversi n, costruiamo cioè la successione ( a n = ) n per n = 1,..., N n con N molto grande. Scriviamo una function Matlab che, dato in input M, che costruisca due vettori nn, an che contengono rispettivamente n e a n per alcuni valori n N : 1 n N = 10 M e li rappresenti graficamente. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 3

4 N.B. Poichè N = 10 M >> 1, non costruiamo tutti gli elementi della successione a n per n = 1,..., N, ma solo alcuni, ad esempio per n = 1, 10, 10 2, 10 3,..., 10 M. Per implementare questo, possiamo utilizzare il comando logspace: nn=logspace(1,m,m) produce M valori tra 10 1 e 10 M equispaziati in scala logaritmica, cioè: 10, 100, 1000,... c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 4

5 Per la rappresentazione grafica, poichè la scala delle ascisse è molto più estesa di quella delle ordinate, al posto del comando plot utilizzare il comando semilogx. La sintassi di chiamata di plot e semilogx è identica. Output grafico: a n n c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 5

6 Analisi dei risultati: perchè da un certo n in poi, a n = 1?? Per n i valori di a n sono prossimi a e, poi abbiamo un valore maggiore di 3 (in corrispondenza di n = ) e poi per n si ha a n = 1. Se n 10 16, allora 1 n < ɛ M e = 1 per la macchina. n Di conseguenza anche ( n ) n = 1 per la macchina. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 6

7 Esercizio (autovalori, rango, determinante). Scaricare il file In esso è memorizzata una matrice B. Scrivere uno script matlab che: - carichi in memoria il contenuto del file matriceb.mat - calcoli, con il comando eig di matlab, gli autovalori della matrice B memorizzata nel file - calcoli, con il comando det di matlab, il determinante della matrice B - calcoli, con il comando rank di matlab, il rango della matrice B. Si osserva che, pur essendo tutti gli autovalori di B inclusi nell intervallo [10 6, 10 2 ], ed essendo massimo il rango della matrice (pari alla dimensione della matrice), il determinante calcolato risulta nullo. Spiegare il perchè di questa contraddizione e proporre un metodo che calcoli separatamente mantissa ed esponente del determinante. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 7

8 Svolgimento 0. Pulire workspace con il comando clear 1. Un file.mat contiene dati prodotti in una sessione precedente di Matlab e opportunamente salvati. Il comando per caricare in memoria il contenuto del file nomefile.mat è: load nomefile In workspace si ha ora la matrice B. 2. Per determinare le dimensioni della matrice: [n,m]=size(b) 3. Per calcolare gli autovalori della matrice: [v]=eig(b) 4. Per calcolare il determinante della matrice: d=det(b) 5. Per calcolare il rango della matrice: r=rank(b) c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 8

9 Sappiamo che det(b) = λ 1 λ 2... λ 100. Abbiamo λ i 0 e det(b) = 0 Per n = 1,..., 100, calcolo e stampo p n = n λ k. v=eig(b); p=v(1); for n=2:100 p=p*v(n); fprintf( prodotto dei primi %d eig = %13.6e \n,n, p) end... product of first 2 eigenval = e-05 product of first 10 eigenval = e-22 product of first 70 eigenval = e-238 product of first 86 eigenval = e-320 product of first 87 eigenval = e+00 p 86 < realmin?? p 87 = 0?? c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 9 k=1

10 Propagazione degli errori di arrotondamento Esercizio (calcolo di un integrale) 1 x n Si vuole calcolare I n = dx con l algoritmo: x x 0 I 0 = log(6/5) = 0 x + 5 dx I n = 1 n 5I n 1 n 1 Si scriva una function matlab che generi la successione I n per n N con N dato in input e si studi la stabilità dell algoritmo rispetto alla propagazione degli errori di arrotondamento. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 10

11 Svolgimento. Studio teorico La successione degli integrali I 0, I 1,..., I n,... ha valori reali positivi ed è infinitesima, cioè I n 0 per n. Infatti, poiché 1 6 < 1 x + 5 < 1 5 x [0, 1], abbiamo x n dx < I n = x + 5 dx < 1 x n dx 5 0 n 0 0 x n 1 quindi, per il secondo teorema del confronto, anche I n 0 per n. Vediamo se le stesse proprietà valgono anche numericamente c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 11

12 Scrivere una function MATLAB che costruisca e rappresenti graficamente la successione I n, con n = 0,..., N. Input: N Ouput: un vettore contenente la successione {I n } degli integrali, con n = 0,..., N. N.B. In matlab, l indice di vettore deve essere strettamente positivo. Se an è il vettore che contiene gli integrali calcolati, si può definire: an(1)=i 0,... an(n)=i n 1 L output grafico con N=19 è: a n c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 n 12

13 Poi con N= a n n La successione calcolata numericamente esplode per n. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 13

14 Facciamo i conti: Considero l errore di arrotondamento sul dato iniziale I 0 = log(6/5) e suppongo, per semplicità, che ci sia una propagazione solo di questo errore. Si può dimostrare che dalla disuguaglianza x fl t(x) 1 x 2 ɛ M discende la seguente proprietà: fl t (x) = x(1 + δ 0 ) δ 0 ɛ M /2 Ĩ 0 = fl t (I 0 ) = I 0 (1 + δ 0 ) δ 0 ɛ M /2 I 1 = 1 5I 0, Ĩ 1 = 1 5Ĩ 0 = 1 5I 0 (1 + δ 0 ) = (1 5I 0 ) 5I 0 δ 0 = I 1 5I 0 δ 0 I 2 = 1/2 5I 1, Ĩ 2 = 1/2 5Ĩ 1 = 1/2 5(I 1 5I 0 δ 0 ) = (1/2 5I 1 ) + 25I 0 δ 0 = I 2 + ( 5) 2 I 0 δ 0... c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 14

15 Al passo generico n abbiamo: δ 0 u = , Ĩ n = I n + ( 5) n I 0 δ 0 per n = 23, ( 5) e + 16 quindi ( 5) 23 I 0 δ ovvero dopo soli 23 passi l errore iniziale di arrotondamento si è amplificato fino ad arrivare all ordine dell unità. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 15

16 Propagazione degli errori di arrotondamento Esercizio (calcolo π) Scrivere una function matlab per calcolare i valori f n della successione { f2 = 2 f n+1 = 2 n n f 2 n, n = 2, 3,... Quindi rappresentare graficamente i punti (n, f n ) per n = 2,..., N (con N dato in input) e gli errori relativi e n = f n π /π. Commentare i risultati ottenuti, sapendo che in teoria lim n f n = π. c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 16