Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 4 - Polinomi e Interpolazione polinomiale

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 4 - Polinomi e Interpolazione polinomiale Polinomi e vettori Matlab non prevede un oggetto particolare di tipo polinomio, ma rappresenta i polinomi attraverso vettori che contengono i coefficienti della rappresentazione del polinomio stesso nella base {1, x, x 2,... } ordinati partendo dal coefficiente del termine di grado maggiore (detto anche coefficiente direttivo) fino ad arrivare al coefficiente del termine di grado minore (detto anche termine noto). Per esempio p(x) = 3x 4 +2x 3 +x 5, g(x) = x 5 2x 2 +x, h(x) = x 1 diventano rispettivamente i vettori >> p=[ ]; >> g=[ ]; >> h=[1-1]; Poichè un polinomio di grado n ha n + 1 coefficienti, ad un polinomio di grado n si associa un vettore di lunghezza n + 1.

2 Operazioni tra polinomi e sui polinomi Matlab offre diverse funzioni per lavorare con i polinomi (per un elenco completo help polyfun). Siano p(x), g(x) e h(x) i polinomi introdotti nel paragrafo precedente e p, g e h i vettori contenenti i loro coefficienti. Le consuete operazioni tra polinomi si traducono, in termini di vettori contenenti i coefficienti, nel modo seguente: prodotto o divisione per uno scalare: sia a una variabile contenente un numero reale z(x) = a h(x) z = a h z(x) = p(x) a a 0 z = p/a somma (o differenza) tra polinomi q(x) = p(x) + h(x) è possibile effettuarla semplicemente sommando ( o sottraendo) i due vettori dei coefficienti SOLO se i due polinomi hanno lo stesso grado (e quindi i due vettori ugual lunghezza) altrimenti si deve avere l accortezza di allungare con degli zeri il vettore del polinomio di grado minore in modo che i due vettori siano di lunghezza uguale. Esercizio Scrivere la funzione polysum, che ricevuti in ingresso i coefficienti di due polinomi di grado qualsiasi, fornisca in uscita i coefficienti del polinomio somma q(x) = p(x) + h(x) q= polysum(p, h) prodotto tra polinomi s(x) = p(x) h(x) s = conv(p, h) 2

3 divisione tra polinomi Assegnati due polinomi v(x) ed u(x) si vuole determinare il quoziente q(x) ed il resto r(x) tali che v(x) = q(x) u(x) + r(x) >> v=[ ] >> u=[1 2 3] >> [q,r]=deconv(v,u) q = r = >> conv(q,u)+r ans = derivata di un polinomio s(x) = p (x) primitiva di un polinomio s = polyder(p) [q,r] = deconv(v,u) s(x) = p(x) dx s = polyint(p) (tra le infinite primitive fornisce quella con termine noto nullo) valore del polinomio in un fissato valore di x: sia x un qualsiasi valore in memoria, scalare oppure vettoriale; fissiamo, per esempio, x = 2 w = p(2) w = polyval(p,2) 3

4 Radici di un polinomio Il comando z=roots(p) restituisce un vettore z contenente tutte le radici del polinomio p Ad esempio se p(x) = (x + 3)(x 2)(x + 5) = x 3 + 6x 2 x 30: >> p=[ ] >> roots(p) ans = Esercizi 1. Dati p(x) = x 3 x 2 + 4x 1 e q(x) = x 2 3x 1, si calcoli p q, 3p + 5q p q, 2p 2 3q 3 il quoziente e il resto della divisione di p per q la derivata p il valore p(3) q(3) 2. Disegnare il grafico dei seguenti polinomi: x 3 x + 4 in [ 2, 1] x 5 x 2 + 4x 3 in [ 5, 3] x 4 + 8x 3 + x 2 1 in [1, 5] 4

5 3. Trovare le radici dei polinomi riportati nell esercizio Calcolare i seguenti integrali (a) (b) (x 2 2x 1) dx (4x 5 + 5x 4 + 5x 3 x) dx 5. Calcolare le radici r 1, r 2 (r 1 < r 2 ) di p(x) = x 2 7x + 12, fare il grafico di p in [r 1, r 2 ] e calcolare l integrale r2 r 1 p(x) dx, 6. Ripetere l esercizio precedente con p(x) = 2x 4 + 3x 3 x 2 + 5x 6 scegliendo la più piccola e la più grande delle radici reali 7. Calcolare i massimi ed i minimi relativi dei seguenti polinomi: 3x 3 x 2 15x + 5 x 5 4x 4 10x x 2 11x

6 Interpolazione polinomiale Il comando che, in Matlab, permette di associare ad un insieme di punti nel piano il polinomio che li interpola ( polinomio interpolatore = polinomio che passa per punti assegnati) è polyfit Sintassi: p = polyfit(x,y,n) input: output: x ascisse dei punti assegnati y ordinate dei punti assegnati n grado del polinomio voluto p vettore dei coefficienti del polinomio voluto Istruzioni per l uso: poichè il comando polyfit, a seconda del grado n richiesto, fornisce anche altri polinomi approssimanti e non solo il polinomio interpolatore, affinchè il polinomio ottenuto sia proprio quello interpolante è ASSOLUTAMENTE NECESSARIO impostare il grado n come il numero dei dati meno uno, ossia n = length(x) -1 6

7 dove x sono le ascisse dei dati assegnati che si vogliono interpolare, oppure, se n è il grado assegnato del polinomio, utilizzare n + 1 dati. Quindi ad esempio x=linspace(a,b,n+1) p=polyfit(x,f(x),n) se si richiede il polinomio interpolatore di grado n che interpola i valori assunti da una funzione f in nodi equispaziati in un intervallo [a, b] Esercizi 1. Calcolare i polinomi che interpolano le seguenti tabelle di punti; farne un grafico che metta in evidenza i punti utilizzati disegnandoli con un cerchietto: x y x y

8 2. Data una funzione f(x) in un intervallo [a, b] calcolare il polinomio p che la interpola in n + 1 nodi equispaziati in [a, b]; disegnare sullo stesso grafico f, p e i nodi usati per l interpolazione segnandoli con un cerchietto; calcolare l errore assoluto tra f e p in 1000 punti equispaziati in [a, b] e calcolarne il massimo. Si esegua l esercizio sopra descritto nei seguenti casi: a) f(x) = e x sin(x), [a, b] = [ 1, 1]; provare per n = 2, 4, 8, 16 e controllare l andamento dell errore; b) f(x) = (x2 5x+6) log(x) x, [a, b] = [1, 4]; provare per n = 5, 10, 15, 20 e controllare l andamento dell errore; c) fx) = 1, [a, b] = [ 5, 5]; 1+x 2 provare per n = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e controllare l andamento dell errore. 3. Ripetere quanto all esercizio precedente nel caso c) utilizzando in luogo di n + 1 nodi equispaziati in [ 5, 5] gli n + 1 nodi di Chebyshev definiti nel vettore x dai seguenti comandi Matlab, una volta fissato un valore di n: ind=[1:n+1]; x=cos(pi*(2*ind-1)/(2*(n+1))); x=x*5; Come cammbia l errore in questo caso al variare di n? 8