f(x) = x e x, prendere come intervallo iniziale [0, 1] e fissare come precisione ε = 10 8.

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1 Esercitazione 7 Argomento: Il metodo delle successive bisezioni Scopo: Implementare il metodo delle successive bisezioni per la soluzione di equazioni non lineari. function [alfa,iter]=bisez(f,a,b,epsilon) Sintassi [alfa,iter]=bisez(f,a,b,epsilon) Calcola la radice della funzione f con il metodo delle bisezioni Parametri di input: f = stringa contenente il nome della funzione a = estremo sinistro dell intervallo b = estremo destro dell intervallo epsilon = tolleranza prefissata Parametri di output: alfa = approssimazione della radice iter = numero di iterate occorse if feval(f,a)*feval(f,b)>0 disp( Il metodo non converge ) return c=(a+b)/2; iter=1; fc=feval(f,c); while abs(fc)>epsilon (b-a)>epsilon if fc*feval(f,a)<0 b=c; else a=c; iter=iter+1; 1

2 c=(a+b)/2; fc=feval(f,c); alfa=c; Esempio di applicazione: La funzione richiede in ingresso la variabile stringa dove è memorizzata la funzione, gli estremi dell intervallo e la precisione voluta. Come esempio si può considerare la funzione f(x) = x e x, prere come intervallo iniziale [0, 1] e fissare come precisione ε = >> format long e >> f=inline( x-exp(-x) ) >> a=0; >> b=1; >> [alfa, iter]=bisez(f,a,b,epsilon) Possibili modifiche: La funzione appena descritta prevede come parametri di output un approssimazione della radice e il numero di iterate, tuttavia quest ultimo può essere calcolato a priori teno conto che, una volta nota la precisione richiesta, il numero di iterate necessario per calcolare l approssimazione è ( ) b a k > log 2. ε Si potrebbe calcolare tale valore di k e trasformare il ciclo while in un ciclo for e vedere se i risultati del metodo sono gli stessi nei due casi. 2

3 Argomento: Il metodo di Newton-Raphson Scopo: Implementare il metodo di Newton-Raphson per la soluzione di equazioni non lineari. function [x1,iter]=newtraph(f,f1,x0,epsilon) Sintassi [x1,iter]=newtraph(f,f1,x0,epsilon) Calcola la radice della funzione f con il il metodo di Newton-Raphson Parametri di input: f = funzione della quale si vuole approssimare la radice f1 = derivata prima di f x0 = approssimazione iniziale epsilon = tolleranza prefissata Parametri di output: x1 = approssimazione della radice iter = numero di iterate iter=0; err=2*epsilon; ff=feval(f,x0); maxiter=100; while err>epsilon abs(ff)>epsilon x1=x0-ff/feval(f1,x0); err=abs(x1-x0); iter=iter+1; if iter>maxiter error( Il metodo non converge ) else x0=x1; ff=feval(f,x0); Esempio di applicazione: La funzione richiede in ingresso le variabili 3

4 di tipo stringa dove sono memorizzate la funzione e la sua derivata prima, l approssimazione iniziale x 0, la precisione voluta e il numero massimo di iterate. Per esempio si può considerare la funzione f(x) = x 3 3x + 2 f (x) = 3x 2 3 pro come approssimazione iniziale prima x 0 = 2.5 e poi x 0 = 1.4, e fissando come precisione ε = >> format long e >> f=inline( x. 3-3*x+2 ) >> f1=inline( 3*x. 2-3 ) >> x0=-2.5; >> maxiter=100; >> [alfa0,iter0]=newtraph(f,f1,x0,epsilon) >> x0=1.4; >> [alfa1,iter1]=newtraph(f,f1,x0,epsilon) Dai risultati emerge il diverso comportamento del metodo per le due diverse radici: infatti la radice 2 è semplice e il metodo di Newton-Raphson converge con ordine 2 (quindi più rapidamente), mentre per la radice doppia 1 la convergenza è più lenta poichè l ordine è 1. Argomento: Il metodo della falsa posizione Scopo: Implementare il metodo della falsa posizione per il calcolo dello zero di una funzione non lineare. function [c,iter]=falsapos(f,a,b,epsilon) Sintassi [c,iter]=falsapos(f,a,b,epsilon) Calcola la radice della funzione f con il il metodo della falsa posizione Parametri di input: f=funzione 4

5 a=estremo sinistro dell intervallo b=estremo destro dell intervallo epsilon=tolleranza prefissata Parametri di output: c=approssimazione della radice iter=numero di iterate occorse fa=feval(f,a); fb=feval(f,b); if fa*fb>0 disp( L intervallo iniziale non e accettabile ) return c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); iter=0; fc=feval(f,c); while abs(fc)>epsilon (b-a)>epsilon if fc*fa<0 b=c; else a=c; iter=iter+1; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); fc=feval(f,c); Esempio di applicazione: La funzione richiede in ingresso la variabile stringa dove è memorizzata la funzione, gli estremi dell intervallo e la precisione voluta. Si può considerare come esempio lo stesso già preso in esame per il metodo delle bisezioni: f(x) = x e x pro come intervallo iniziale [0, 1] e come precisione ε =

6 >> format long e >> f=inline( x-exp(-x) ) >> a=0; >> b=1; >> [alfa,iter]=falsapos(f,a,b,epsilon) 6

7 Altri esempi di funzioni: Diamo qui di seguito alcuni esempi di funzioni alle quali applicare i metodi appena implementati. Si possono inoltre confrontare i risultati che essi forniscono. f(x) = x cos(x) 2 sin(x) f (x) = sin(x) cos(x) cos(x) >> format long e >> f=inline( x-cos(x). 2-sin(x) ) >> f1=inline( 1+2*cos(x).*sin(x)-cos(x) ) >> x0=pi; >> [alfa0,iter0]=newtraph(f,f1,x0,epsilon) >> a=0; >> b=pi; >> [alfa1,iter1]=bisez(f,a,b,epsilon) >> [alfa2,iter2]=falsapos(f,a,b,epsilon) f(x) = log(x) sin(x) f (x) = 1/x cos(x) >> format long e >> f=inline( log(x)-sin(x) ) >> f1=inline( 1./x-cos(x) ) >> x0=1; >> [alfa0,iter0]=newtraph(f,f1,x0,epsilon) >> a=1; >> b=2*pi; >> [alfa1,iter1]=bisez(f,a,b,epsilon) >> [alfa2,iter2]=falsapos(f,a,b,epsilon) f(x) = log(1 + cos(x 2 + 4)) >> format long e >> f=inline( log(1+cos(x. 2+4)) ) >> a=-1; >> b=2; >> [alfa0,iter0]=bisez(f,a,b,epsilon) >> [alfa1,iter1]=falsapos(f,a,b,epsilon) 7

8 Esercitazione 8 Argomento: La formula dei trapezi composta Scopo: Approssimazione dell integrale definito di una funzione utilizzando la formula dei trapezi composta. function int=trapcom(f,a,b,n) Sintassi int=trapcom(f,a,b,n) Calcola un integrale definito con la formula dei trapezi composta Parametri di input: f = funzione a = estremo sinistro dell intervallo b = estremo destro dell intervallo n = numero di intervalli Parametri di output: int = approssimazione dell integrale h=(b-a)/n; x(1)=a+h; for i=2:n x(i)=x(i-1)+h; s=0; for i=1:n-1 s=s+feval(f,x(i)); int=h/2*(feval(f,a)+feval(f,b))+h*s; Esempio di applicazione: Si può applicare la seguente funzione per approssimare il valore del seguente integrale 1 e x2 dx. 0 8

9 >> f=inline( exp(-x. 2) ); >> a=0; >> b=1; >> n=100; >> int=trapcom(f,a,b,n) Argomento: La formula di Simpson composta Scopo: Approssimazione dell integrale definito di una funzione utilizzando la formula di Simpson composta. function int=simpcom(f,a,b,n) Sintassi int=simpcom(f,a,b,n) Calcola un integrale definito con la formula di Simpson composta Parametri di input: f = funzione a = estremo sinistro dell intervallo b = estremo destro dell intervallo n = numero di intervalli Parametri di output: int = approssimazione dell integrale if rem(n,2) =0 error( Il numero n deve essere pari ) h=(b-a)/n; x(1)=a+h; for i=2:n x(i)=x(i-1)+h; sp=0; sd=feval(f,x(1)); m=n/2; 9

10 for i=1:m-1 sd=sd+feval(f,x(2*i+1)); sp=sp+feval(f,x(2*i)); int=(feval(f,a)+feval(f,b)+2*sp+4*sd)*h/3; Esempio di applicazione: Si può applicare la precedente funzione allo stesso esempio già visto per la formula dei trapezi. >> f=inline( exp(-x. 2) ); >> a=0; >> b=1; >> n=100; >> int=simpcom(f,a,b,n) 10

11 Esercitazione 9 Argomento: Grafica tridimensionale con il MatLab Scopo: Uso della funzione mesh per tracciare grafici tridimensionali. Supponiamo di voler tracciare il grafico della funzione f(x, y) = (2x x 2 )(2y y 2 ) nel quadrato [0, 2] [0, 2]. In questo caso è necessario definire tre grandezze: il vettore delle ascisse x, il vettore delle ordinate y e la matrice delle quote, cioè quella matrice in cui in ogni elemento (i,j) è memorizzato il valore f(x(i),y(j)). x = linspace(0,2,100); y = linspace(0,2,100); f = inline( (2*x-x. 2).*(2*y-y. 2), x, y ) for i=1:length(x) for j=1:length(y) A(i,j) =feval(f,x(i),y(j)); mesh(x,y,a) 11