Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 28. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 28 Docente: Laura Palagi

2 Laboratorio di Ricerca Operativa Homework n 28 Prof.ssa Ing. Laura Palagi Problema di affitto magazzini Facoltà di Ingegneria Gestionale a.a. 2012/2013 Luca Barchiesi Silvio Corsi Cosmo Di Ciaccio 2

3 Introduzione Il problema dell immagazzinamento Al giorno d oggi è fondamentale per qualsiasi impresa avere una pianificazione ottima di magazzino. Ciò consente infatti di riuscire a soddisfare le richieste del mercato, sopravvivere a forti variazioni della domanda e shock esterni, agevolare la distribuzione e i trasporti, e avere quindi una maggiore flessibilità. Per questi motivi discipline quali la ricerca operativa, impianti industriali, gestione aziendale si occupano di modelli da poter fornire all impresa e aiutarli nel difficile compito delle decisioni. 3

4 Problema generale Una compagnia deve affittare degli spazi per magazzino. Ipotesi problema: Mesi necessari T = a partire da gennaio. S i spazio necessario ogni mese i. Si possono stipulare contratti d affitto di diversa durata ognuno dei quali avrà un diverso costo. I contratti d affitto possibili sono: per un solo mese (da gennaio a maggio), per 2 mesi (da gennaio ad aprile), per tre mesi (da gennaio a marzo), per quattro mesi (in gennaio e febbraio), o un unico contratto da cinque mesi. In totale si hanno 1 tipologie. Il costo del contratto dipende solo dalla durata e non dal mese in cui comincia ed è pari a c i. Obiettivo: Determinare la tipologia dei contratti di affitto a costo minimo. 4

5 Richiesta per i mesi gennaio febbraio marzo aprile maggio Richiesta di spazio (mq) Nel modello abbiamo considerato che con un contratto più lungo di un mese va affittato lo spazio massimo di cui abbiamo bisogno per i diversi mesi considerati. In questo modo viene rispettata tutta la richiesta di spazio e allo stesso tempo si riduce al minimo lo spazio preso in affitto, che ha forti conseguenze sui costi. Costo per affitto nei vari mesi Durata 1 mese Costo (euro/mq) 2 mesi 3 mesi 4 mesi mesi

6 Variabili X ij 0,1 = 1 se quel tipo di contratto è stipulato in quel mese 0 altrimenti con: i=1,, tipologia di contratto j=1,, mese in cui è stipulato il contratto Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio

7 Vincoli Vincolo di durata totale: T T i=1 ( j=1 (X ij n i )) = T dove n i è la durata del contratto nel caso specifico: j=1 X 1j 1 + j=1 X 2j 2 + j=1 X 3j 3 + j=1 X 4j 4 + j=1 X j = Vincolo di stipulazione: Nel mese di gennaio deve essere stipulato assolutamente un contratto:. i=1 X i1 = 1 Negli altri quattro mesi vige la sola regola che non può essere stipulato più di un contratto: T i=1 X ij 1 j = 2,.., T dove j rappresenta il mese. Vincolo di combinazione contratto: Tiene conto che con la stipulazione di contratti di tipo 2 in un determinato mese, nei mesi successivi non deve essere stipulato alcun contratto per evitare sovrapposizioni di più contratti nello stesso mese. Ad esempio : 7

8 gennaio febbraio marzo? aprile maggio 2 4 i=1 i=2 i=3 )) X 33 = (1-( X i3 + X i2 + X i gennaio febbraio? marzo aprile maggio 2 i=2 i=1 )) X 32 =(1-( X i1 + X i2 + X gennaio? febbraio marzo aprile maggio Analogamente per le altre tipologie di contratto. Sulla prima riga relativa al mese di gennaio non c è bisogno di fissare un vincolo di combinazione per ogni tipo di contratto, in quanto fissando il vincolo di stipulazione del mese di gennaio uguale ad 1, risulterebbero ridondanti. 8

9 Funzione obiettivo Lo scopo del problema è minimizzare i costi di affitto magazzino, combinando le varie tipologie di contratti disponibili: dove: T T T max min c = c 1 ( j=1 X 1j S j )+ c i ( j=1 X ij S i S j rappresenta la richiesta di spazio nel mese j. i=2 ) S i max rappresenta il massimo spazio richiesto dall azienda nel periodo considerato dalla tipologia di contratto. 9

10 Problema in forma compatta nel nostro caso max min c = c 1 ( j=1 X 1j S j )+ ( j=1 X ij S i i=2 ) j=1 X 1j 1 + j=1 X 2j 2 + j=1 X 3j 3 + j=1 X 4j 4 + j=1 X j =. i=1 X i1 = 1 i=1 X ij 1 j = 2,.., 4 i=2 i=3 ) X 22 = 1 ( X i1 + X i2 + X 12 4 i=2 ) X 23 = 1 ( X i2 + i=3 X i1 + X 13 + X 33 X 24 = 1 ( 3 X i3 4 i=3 ) i=2 + X i2 + i=4 X i1 + X i=1 i=2 i=3 ) X 33 = 1 ( X i3 + X i2 + X i1 2 i=2 i=1 ) X 32 = 1 ( X i1 + X i2 + X 42 3 i=1 i=2 ) X 42 = 1 ( X i2 + X i1 X ij 0,1. 10

11 Seleziona il tipo di problema da risolvere Parametri del Risolutore Specifica la cella che contiene il valore della funzione obiettivo Consente di accedere alla finestra Opzioni del Risolutore Celle contenenti le variabili Apre la finestra Aggiungi vincolo Elenco dei vincoli del problema Consente di modificare un vincolo selezionato attraverso la finestra Modifica vincolo Elimina il vincolo selezionato 11

12 Soluzione ottima Implementando il solutore con Excel si giunge alla soluzione ottima seguente : Costo minimo: Tipologie di contratto: gennaio 3 mesi, aprile 1 mese, maggio 1 mese 12

13 Rapporti Oltre alla soluzione ottima del problema di PL, il Risolutore Excel fornisce tre rapporti aggiuntivi: 1. Rapporto valori; 2. Rapporto sensibilità; 3. Rapporto limiti. I rapporti sensibilità e limiti però non hanno significato nel caso di variabili vincolate ad essere intere (come nel caso dell esempio di cui abbiamo trattato). Trattandosi di un problema di programmazione lineare intera e essendo la matrice non unimodulare non si possono eliminare i vincoli X ij 0,1. 13

14 Rapporto valori Funzione obiettivo: riporta l indirizzo di riferimento (la cella), l etichetta, il valore iniziale ed il valore finale nel nostro caso ; Celle variabili: riporta gli indirizzi di riferimento, le etichette, i valori iniziali ed i valori finali delle celle che abbiamo impostato come varibili; Vincoli: Viene fornito il valore del left hand side, ovvero il valore della parte a sinistra del vincolo rispetto al segno di disuguaglianza, per quella relativa soluzione ottima. Oltre all indicazione della cella, del nome e della formula è inserito anche lo stato del vincolo vincolante o non vincolante, a seconda se sia attivo o meno e quindi se sia soddisfatta o non l uguaglianza. Per ultimo il rapporto valori indica la differenza tra il left hand side e il right hand side. Il suo valore è la variabile di slack e rappresenta la quantità di risorsa disponibile che non è stata consumata. La soluzione ottima rimane la stessa se la quantità di quella variabile sia aumentata o ridotta dello slack. Logicamente si ha uno slack solo nel caso di un vincolo non attivo, e nel nostro esempio sono ben 6. 14

15 Rapporto di sensibilità Rappresenta come varia la soluzione ottima al variare dei dati che definiscono l istanza del problema. Il nostro problema non presenta rapporto di sensibilità in quanto non avrebbe senso ignorare i vincoli di interezza ma se lo facessimo otterremmo un analisi del tipo: Variabili: è indicato il valore della variabile, nel nostro caso, possiamo fare un contratto da 3 mesi a gennaio,uno da uno ad aprile e prendere lo 0,2 del contratto da mesi a maggio, cosa irrealistica visto la non frazionabilità dei contratti. Vi è il coefficiente obiettivo, ovvero il valore del coefficiente della relativa variabile nella funzione obiettivo. Il costo ridotto invece è diverso da zero solo per quelle variabili che sono 0 nella soluzione ottima. Indica di quanto il coefficiente obiettivo della corrispondente variabile deve variare affinché diventi maggiore di 0 all ottimo. L incremento e il decremento consentito indica invece ampiezza intervalli in cui può variare un coefficiente della funzione ottima senza che la soluzione cambi. Valori come 1 E +30 rappresenta che può essere incrementata o decrementata all infinito. Vincoli: è presente il valore finale ovvero il valore dell lhs dati i valori ottimi delle variabili e il vincolo a destra ovvero il valore dell rhs i termini noti del vincolo. Il prezzo ombra rappresenta di quanto, nel nostro caso, diminuisce il valore della f.o. per un incremento unitario del rhs. L incremento e il decremento consentito costituiscono l ampiezza dell intervallo in cui può variare il termine noto e all interno del quale valgono i prezzi ombra. 1

16 What if? Cosa succede se aumento le richieste di spazio nel mese di gennaio: Tre casi individuati: Aumentando tra 1001 e la soluzione ottima rimane la stessa. Aumentando tra e si passerà a un contratto unico. Aumentando da in poi conviene invece rinnovare l affitto mensilmente. 16

17 Riepilogando: 17