Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 21. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 21 Docente: Laura Palagi

2 Laboratorio di Ricerca Operativa Homework n 21 MODELLO DI MISCELAZIONE E TRASPORTO: asportazione di carbone e conseguente consegna ai clienti A cura del gruppo n 7: Maria Manna Otilia Graziella Rus Federica Todisco

3 ENUNCIATO DEL PROBLEMA Un'azienda produce carbone in M diverse miniere e deve consegnarlo a N diversi clienti. Le miniere hanno una capacita produttiva Q i con i = 1,2..M. Il carbone è caratterizzato dal contenuto di cenere e zolfo (per ton) e da un costo di estrazione che differiscono da miniera a miniera. La tabella sottostante riporta i seguenti valori: Miniera i Cenere a i Zolfo Costo di Estrazione s i E i Inoltre i clienti hanno una richiesta di carbone pari a R j con j = 1 N. Il carbone trasportato non deve avere un contenuto massimo di cenere e zolfo pari rispettivamente a ama e sma. Ci sono poi anche i costi di trasporto dalla miniera al cliente pari a c ij. Il problema ci da informazioni anche sul numero delle miniere e dei clienti. Infatti si ha che M = 3 e N = 4.

4 Adesso seguiranno tre tabelle che riportano quelli che sono i dati numerici: Il contenuto di cenere e zolfo presente nel carbone, il costo di estrazione e la capacità produttiva di ogni singola miniera: Cenere (ton) Zolfo (ton) Costo di Estrazione (euro/ton) Capacità Produttiva (ton) Miniera 1 0,08 0, Miniera 2 0,06 0, Miniera 3 0,04 0, La domanda dei clienti: Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Domanda Il costo del trasporto dalla miniera i al cliente j: Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Miniera Miniera Miniera

5 Il quantitativo massimo, nel carbone, di cenere e zolfo : 6 % = contenuto massimo di cenere nel carbone 3,5 % = contenuto massimo di zolfo nel carbone Ricapitolando, i dati che il problema ci fornisce sono: M = 3 N = 4 Q i = capacità produttiva di ogni singola miniera i = 1,2..M a i = quantitativo (ton) di cenere presente nel carbone estratto dalla miniera i s i = quantitativo (ton) di zolfo presente nel carbone estratto dalla miniera i E i = costo di estrazione (euro/ton) del carbone della miniera i R j = richiesta di carbone di ogni singolo cliente j = 1,2..N c ij = costo del trasporto (euro/ton) del carbone dalla miniera i al cliente j a ma = quantitativo massimo (ton) di cenere presente nel carbone trasportato = quantitativo massimo (ton) di zolfo presente nel carbone trasportato s ma

6 L obiettivo del problema è quello di formulare un problema di Programmazione Lineare (PL) che consenta di determinare la strategia di trasporto ottima.

7 VARIABILI DI DECISIONE FORMULAZIONE DEL MODELLO Una volta esposti i dati del problema, proseguiamo con una formulazione pratica, andando a valutare le variabili di decisione, la funzione obiettivo ed i vincoli di disuguaglianza ed uguaglianza. Le variabili di decisione del problema rappresentano la quantità di carbone estratta dalle 3 miniere e consegnata ai diversi 4 clienti. Per questo motivo numericamente esse sono pari a 12 e sono rappresentate dalla seguente dicitura: ij tonnellate di carbone estratte dalla miniera i e consegnata al cliente j

8 FUNZIONE OBIETTIVO Lo scopo è determinare la strategia di trasporto ottima. Essa consiste nel minimizzare i costi, sia quelli relativi all estrazione sia quelli riferiti al trasporto. Pertanto essa è rappresentata dalla seguente formula:

9 VINCOLI Vincoli di disuguaglianza: di qualità: CENERE ZOLFO

10 di capacità: di non negatività: Vincoli di uguaglianza: di domanda

11 FORMULAZIONE NUMERICA DEL PROBLEMA ) 62( ) 55( ) 50( min ) 0,035( 0,03 0,04 0,05 ) 0,035( 0,03 0,04 0,05 ) 0,035( 0,03 0,04 0,05 ) 0,06( 0,04 0,06 0,08 ) 0,06( 0,04 0,06 0,08 ) 0,06( 0,04 0,06 0,

12 ij 0

13 ANALISI DI SCENARIO Ecel, oltre al valore ottimo delle variabili di decisione e della funzione obiettivo, fornisce anche un numero di informazioni aggiuntive presenti in tre fogli opzionali: Rapporto Valori, Rapporto Sensibilità e Rapporto Limiti. RAPPORTO VALORI E diviso in tre tabelle : funzione obiettivo, celle variabili, vincoli. Per quanto riguarda le prime due, sono riportati i valori iniziali e i valori finali ottenuti dal Solutore. Nella tabella vincoli invece, oltre al valore del lato sinistro del vincolo (l.h.s) sono riportate anche indicazioni sullo stato di ogni vincolo. A tal proposito si parla di: Vincolante/Non Vincolante : il vincolo è rispettivamente attivo o non attivo nella soluzione ottima determinata dal solutore. Un vincolo attivo sta ad indicare una risorsa utilizzata completamente, fino al limite massimo della sua disponibilità. Tolleranza: la differenza(slack) tra il valore del r.h.s e il valore del l.h.s. Quando i vincoli si riferiscono ad una risorsa limitata la tolleranza indica quanta della risorsa disponibile non è stata utilizzata.

14 Cella obiettivo (Min) Cella Nome Valore originale Valore finale $E$52 Costo totale minimo Miniera 1 poco utilizzata in quanto il carbone estratto supera le Qma di zolfo e cenere. Celle variabili Cella Nome Valore originale Valore finale Intere $E$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente Continue $F$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente Continue $G$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente Continue $H$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente Continue $E$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente Continue $F$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente Continue $G$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente Continue $H$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente Continue $E$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente Continue $F$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente Continue $G$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente Continue $H$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente Continue

15 La tolleranza ovviamente è nulla nei vincoli attivi, ossia in quei vincoli in cui la risorsa è completamente utilizzata. La miniera 1 è poco utilizzata, infatti su una capacità disponibile di 120 ne viene utilizzata solo 15.Quindi la tolleranza è 105 ossia bisognerebbe utilizzare una capacità di 105 in più per poter rendere attivo il vincolo. Vincoli Cella Nome Valore della cella Formula Stato Tolleranza $E$31 Miniera 1 capacità utilizzata 15 $E$31<=$F$5 Non vincolante 105 $E$32 Miniera 2 capacità utilizzata 95 $E$32<=$F$6 Non vincolante 5 $E$33 Miniera 3 capacità utilizzata 140 $E$33<=$F$7 Vincolante 0 $E$37 Domanda del Cliente 1 80 $E$37=$C$10 Vincolante 0 $F$37 Domanda del Cliente 2 70 $F$37=$D$10 Vincolante 0 $G$37 Domanda del Cliente 3 60 $G$37=$E$10 Vincolante 0 $H$37 Domanda del Cliente 4 40 $H$37=$F$10 Vincolante 0 $E$41 % cenere al Cliente 1-0,8 $E$41<=$E$43 Non vincolante 0,8 $F$41 % cenere al Cliente 2-0,7 $F$41<=$F$43 Non vincolante 0,7 $G$41 % cenere al Cliente 3-0,6 $G$41<=$G$43 Non vincolante 0,6 $H$41 % cenere al Cliente 4-0,4 $H$41<=$H$43 Non vincolante 0,4 $E$46 % zolfo al Cliente 1 0 $E$46<=$E$48 Vincolante 0 $F$46 % zolfo al Cliente 2 0 $F$46<=$F$48 Vincolante 0 $G$46 % zolfo al Cliente 3 0 $G$46<=$G$48 Vincolante 0 $H$46 % zolfo al Cliente 4 0 $H$46<=$H$48 Vincolante 0

16 RAPPORTO SENSIBILITA L'analisi di sensibilità si occupa di valutare come la soluzione ottima di un problema di PL cambia al variare dei dati. Presenta però dei limiti : dà informazioni sulla sensitività per perturbazioni di parametri solo nelle immediate vicinanze della soluzione, e solo cambiando un parametro alla volta. restituisce solo la sensitività degli effetti che le variazioni apportano al valore ottimo. dà informazioni solo sulla sensitività derivata da cambiamenti dei coefficienti della funzione obiettivo, e non dai cambiamenti dei coefficienti tecnici, ovvero quelli che vanno a moltiplicare le variabili di decisione nelle disequazioni di vincolo.

17 Il rapporto è diviso in 2 tabelle: celle variabili e vincoli. Nella prima oltre al valore ottimo delle variabili e ai coefficienti della funzione obiettivo, abbiamo: Costo ridotto : indica di quanto deve almeno variare il coefficiente della variabile nella funzione obiettivo affinchè la variabile possa essere inserita nella soluzione ottima con un valore non nullo, cioè affinchè si possa usufruire di quella risorsa. Incremento/Decremento consentito : corrispondono rispettivamente all aumento e al decremento consentito del coefficiente della variabile nella funzione obiettivo affinchè la soluzione rimanga ottima. D'altra parte se una variabile è già positiva all'ottimo, Incremento e Decremento indicano quanto deve variare, in più o in meno, il costo relativo a quella variabile affinchè la soluzione data non sia più ottima.

18 Il costo ridotto è ovviamente nullo quando il valore della variabile è ossia quando usufruisco di quella risorsa. 0, 12 0 Poiché qui, il coefficiente della funzione obiettivo (costo per ton) deve variare (diminuire) almeno di 12 affinché 12 0, cioè affinché mi convenga estrarre carbone dalla miniera 1 per consegnarlo al cliente 2. Ovviamente non utilizzando la risorsa 12 l incremento consentito del coefficiente è massimo mentre il decremento è di 12, in quanto, come detto pocanzi, con una diminuzione di almeno 12 mi converrebbe usare la risorsa e quindi la soluzione ottima cambierebbe. Celle variabili Finale Ridotto Obiettivo Consentito Consentito Cella Nome Valore Costo Coefficiente Incremento Decremento $E$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente E+30 $F$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente E $G$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente E+30 3 $H$25 Q.tità dalla Miniera 1 al Cliente E+30 1 $E$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente E+30 0,5 $F$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente E+30 $G$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente ,5 1E+30 $H$26 Q.tità dalla Miniera 2 al Cliente ,5 1E+30 $E$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente E+30 $F$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente ,20576E $G$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente E+30 3 $H$27 Q.tità dalla Miniera 3 al Cliente E+30 1

19 La seconda tabella del rapporto sensibilità, oltre a contenere i valori dell l.h.s e dell r.h.s per ogni vincolo, contiene anche: Prezzo Ombra : indica quanto sono disposto a pagare per avere un unità in più di risorsa. Per i vincoli non attivi il valore del prezzo ombra è ovviamente nullo, infatti se la risorsa non è stata completamente utilizzata non è conveniente acquisire una maggiore quantità. Incremento/Decremento consentito : Quando il prezzo ombra è nullo l incremento consentito della risorsa disponibile (Vincolo a destra) è massimo perché, per qualunque quantità aggiuntiva, il prezzo ombra rimane nullo. Il decremento consentito è però limitato in quanto un'eccessiva riduzione della risorsa disponibile può portarla ad essere vincolante( prezzo ombra 0). Il decremento massimo consentito è pari esattamente al valore di Tolleranza relativo al vincolo riportato nel Rapporto Valori.

20 Sfrutto solo una piccola parte(15) della capacità totale(120) della miniera 1. Pertanto il prezzo ombra è =0, in quanto non avrei nessun vantaggio ad utilizzare una capacità > 15. L incremento consentito è massimo mentre il decremento è limitato e corrisponde alla tolleranza (120-15). Vincoli Finale Ombreggiatura Vincolo Consentito Consentito Cella Nome Valore Prezzo a destra Incremento Decremento $E$31 Miniera 1 capacità utilizzata E $E$32 Miniera 2 capacità utilizzata E+30 5 $E$33 Miniera 3 capacità utilizzata ,5 $E$37 Domanda del Cliente , , $F$37 Domanda del Cliente ,5 70 3, $G$37 Domanda del Cliente ,5 60 3, $H$37 Domanda del Cliente ,5 40 3, $E$41 % cenere al Cliente 1-0, E+30 0,8 $F$41 % cenere al Cliente 2-0, E+30 0,7 $G$41 % cenere al Cliente 3-0, E+30 0,6 $H$41 % cenere al Cliente 4-0, E+30 0,4 $E$46 % zolfo al Cliente ,1 0,05 $F$46 % zolfo al Cliente ,05 0,05 $G$46 % zolfo al Cliente ,05 0,05 $H$46 % zolfo al Cliente ,05 0,05

21 Come detto pocanzi, il prezzo ombra è diverso da zero quando il vincolo è attivo, ossia quando la risorsa è completamente utilizzata e quindi mi potrebbe convenire acquisirne di più. Prezzo ombra < 0 : ad esempio, la capacità della miniera 3 è completamente utilizzata. Ho un prezzo ombra negativo = -4,questo vuol dire che se la risorsa disponibile(vincolo a destra), ossia in questo caso la capacità disponibile della miniera 3, aumenta di un unità allora la funzione obiettivo diminuisce di un valore pari al valore assoluto del prezzo ombra. Prezzo ombra > 0 : ad esempio, la domanda del cliente 1,come quella degli altri 3 clienti, è pienamente soddisfatta( vincolo posto attivo). Ho un prezzo ombra positivo = 69,questo vuol dire che se la risorsa disponibile(vincolo a destra), ossia in questo caso la domanda del cliente 1, aumenta di un unità allora la funzione obiettivo aumenta di un valore pari al prezzo ombra. Questo concetto è economicamente comprensibile in quanto se la domanda aumenta allora maggiori sono i costi da supportare e quindi maggiore è il valore della funzione obiettivo.

22 Analisi What if Vogliamo capire se quello che effettivamente impedisce lo sfruttamento anche in minima parte della Miniera 1 è il contenuto proibitivo delle 2 componenti: cenere e zolfo. A questo proposito, sfruttiamo il rapporto valori, sensibilità e le informazioni che ci pervengono da essi per vedere come varia l estrazione di carbone dalla miniera in questione. Variando la capacità della Miniera 3 vediamo che in compenso aumenta anche lo sfruttamento della Miniera 1. Poichè la variazione della capacità è avvenuta nell intervallo indicato dal rapporto di sensibilità, si ha un miglioramento della funzione obiettivo:

23 La prima modifica ha portato a degli effetti nel rapporto sensibilità, il prezzo ombra, ad esempio, è differente: Provando ad aumentare anche la domanda di uno dei clienti, sempre sulla falsariga dell esempio precedente ma considerando trascurabile l effetto benefico sulla Funzione Obiettivo, vediamo come lo sfruttamento della Miniera 1 non migliora:

24 Grazie per l attenzione Fine.