MINIMIZZAZIONE DEI COSTI

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1 Ist. di economia, Corso di Laurea in Ing. Gestionale, I canale (A-L), A.A Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA SESTA SETTIMANA MINIMIZZAZIONE DEI COSTI Si consideri ora che, se l impresa sta massimizzando i profitti e sceglie di produrre un certo livello di output y, allo stesso tempo essa deve anche minimizzare i costi di produzione dell output stesso. In altri termini, e possibile dimostrare che la combinazione ottima degli inputs (ossia quella combinazione che massimizza il profitto) e anche la combinazione che da luogo ad un certo ammontare di output al minimo costo possibile. PROBLEMA DI MINIMIZZAZIONE DEI COSTI RELATIVI AL PRODURRE UN CERTO LIVELLO DI OUTPUT: min w x s.t. f(x) = y Si tratta di un problema di ottimizzazione vincolata che risolviamo col metodo della funzione ausiliaria o Langrangiana: L(x, λ) = w x + λ (f(x) - y ) 55

2 Le condizioni del primo ordine per un punto di ottimo x* (interno) sono: f ( x*) wi + λ = 0 i = 1.n x i f(x*) = y Dividendo le condizioni del primo ordine per il fattore i-esimo e per il fattore j-esimo si ottiene: w w i j = f f ( x*)/ x ( x*) / x i j ovvero il TRS (preso in modulo) deve essere uguale al rapporto tra i prezzi dei fattori. La soluzione del problema di minimizzazione dei costi puo essere anche ricavata per via grafica, considerando in uno stesso grafico sia i costi che il vincolo imposto dalla tecnologia. Ovvero, poniamo nello stesso grafico un isoquanto ed una famiglia di linee di isocosto (= tutte quelle combinazioni dei fattori che danno luogo ad un certo livello di costi C). C = w 1 x 1 + w 2 x 2 56

3 ovvero x 2 = C / w 2 - w 1 x 1 / w 2 X 2 X 1 Il problema di minimo consiste dunque nel trovare quel punto sull isoquanto a cui si associa la linea di isocosto piu bassa possibile. All ottimo l inclinazione dell isocosto deve essere uguale all inclinazione dell isoquanto: 57

4 w w 1 2 = TRS f = f (.) / x (.) / x 1 2 (il rapporto dei prezzi dei fattori deve essere pari al rapporto tra i prodotti marginali). Infatti se questa condizione non valesse si verificherebbe un qualche aggiustamento nella direzione di ridurre il costo di produzione di un certo ammontare di output. Per es., se valesse: w i /w j = 2/1 1 / 1 = MP i /MP j allora, impiegando una unita in piu del fattore j-esimo, o una unita in meno del fattore i-esimo, l output resterebbe lo stesso ma si ridurrebbero i costi. Sostituendo la combinazione ottima di inputs che minimizza i costi nell espressione del costo si ottiene la funzione di costo c(w 1, w 2, y) =w 1 x 1 * (w 1, w 2, y) + w 2 x 2 * (w 1, w 2, y). 58

5 In particolare, una funzione di costo di lungo periodo pone in relazione il costo della combinazione di input che minimizza i costi (quando tutti i livelli degli inputs sono variabili) con ogni possibile livello di output. X 2 Sentiero di espansione dell output X 1 Il sentiero di espansione dell output e il luogo delle combinazioni ottimali degli input tracciato man mano che il livello di output varia. 59

6 Si noti come la situazione cambia nel breve periodo: X 2 C X 1 Intuizione: il processo produttivo nel breve periodo e almeno tanto costoso quanto produrre nel lungo periodo, e in generale, piu costoso. RENDIMENTI DI SCALA E FUNZIONE DI COSTO Le proprieta della tecnologia influenzano la funzione di costo. - Con RCS la funzione di costo cresce linearmente con l output. Si prenda: c(w 1, w 2, 1). 60

7 Quale e il costo minimo per produrre y unita di output? Esso e proprio: y c(w 1, w 2, 1). - Con rendimenti crescenti di scala la funzione di costo cresce meno che linearmente all aumentare dell output. - Con rendimenti decrescenti di scala la funzione di costo cresce piu che linearmente all aumentare dell output. COSTI di LUNGO e di BREVE PERIODO Nel breve periodo alcuni fattori di produzione sono fissi ad un certo livello. Il vettore dei fattori puo essere dunque scisso in 2 componenti, x v e x F (fattori variabili e fattori fissi). Quindi la funzione di costo di BREVE PERIODO puo essere scritta come: C(w, y, x F ) = w v x v (w, y, x F) + w F x F Essa esprime il costo minimo che deve essere sostenuto per produrre una data quantita di output, variando solo l impiego dei fattori variabili. La funzione di costo di LUNGO periodo esprime il costo minimo da sostenersi per produrre una data quantita di output quando si puo variare l impiego di tutti i fattori. 61

8 Sia x F (w, y) la scelta ottima (di lungo periodo) di quei fattori che sono fissi nel breve periodo, e x v (w, y) = x v (w, y, x F (w, y)) La funzione di costo di LUNGO PERIODO sara : C(w, y) = w v x v (w, y) + w F x F (w, y) = C(w, y, x F (w, y)) CURVE di COSTO Esse illustrano dal punto di vista grafico l andamento della funzione di costo. Assumendo che i prezzi dei fattori siano fissi, il costo sara espresso come funzione solo dell output: c(y) = c v (y) + F = costi variabili + costi fissi 1) COSTI MEDI Prendiamo le mosse da: c(y) = c v (y) + F otteniamo AC = il costo per unita dell output: AC(y) = c v (y) /y + F/y= AVC(y) + AFC(y) = costo medio variabile + costo medio fisso 62

9 AFC AVC y Curva di costo medio 2) COSTI MARGINALI Essi sono ottenibili facendo la derivata della funzione di costo. 63

10 Curva di costo marginale Curva di costo medio variabile Y Si puo dimostrare che la curva di costo marginale passa attraverso il punto di minimo della curva di costo medio (ed anche attraverso il punto di minimo della curva di costo medio variabile). Inoltre si puo dimostrare che per la prima unita di output prodotto il costo marginale deve essere uguale al costo medio variabile. E intuitivo che l area al di sotto del costo marginale rappresenta il costo variabile. 3) Costi di lungo periodo: Non vi sono piu fattori fissi da tenere in considerazione nella funzione di costo. 64

11 Vediamo la relazione che intercorre tra le curve di costo di breve periodo e quelle di lungo periodo. Scriviamo la funzione di costo di lungo periodo come: c(y) = c S (y, k(y)) dove k(y) e la scelta ottima (di lungo periodo) di quel fattore considerato fisso nel breve periodo. Curva di costo medio di breve periodo Curva di costo medio di lungo periodo y* Si consideri un certo livello di output y*, e sia k* = k (y*) la domanda del fattore k di lungo periodo associata a tale livello di output. Allora: 65

12 c(y) c S (y, k*) per tutti gli y, con il segno di uguaglianza che vale per y = y*, poiche in corrispondenza di y* la scelta ottima del fattore fisso e per ipotesi proprio k*. Quindi le curve di costo medio di breve e di lungo periodo debbono essere tangenti in corrispondenza del punto y*. 66