Appendice A: un esempio di scelta del mix ottimo di produzione in presenza di vincoli 19

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1 :04 Pagina 411 Le decisioni di breve termine fra alternative diverse 411 i minori costi differenziali, almeno nella misura in cui la dimensione di costo è la più importante. Sebbene i costi storici possano essere utili per prevedere quali saranno i costi futuri, le persone sono sempre interessate ai costi futuri, mai ai costi storici in quanto tali. In particolare, i costi sommersi sono del tutto irrilevanti. I costi allocati devono essere sempre analizzati con attenzione perché non sono spesso differenziali. Più ampio è l orizzonte temporale della decisione, più numerosi sono gli elementi di costo differenziale e viceversa. Quando il problema implica considerazioni sui costi e sui ricavi, allora si devono stimare sia i costi sia i ricavi differenziali. L alternativa migliore, in questo caso, è quella che prospetta l utile differenziale più alto. Raramente la conoscenza dei costi e dei ricavi differenziali fornisce la soluzione definitiva a un problema di scelta, ma aumenta certamente la consapevolezza e riduce l area alla quale applicare il giudizio soggettivo come criterio di valutazione. Appendice A: un esempio di scelta del mix ottimo di produzione in presenza di vincoli 19 Nasetti spa produce due prodotti, X e Y (si supponga che le quantità prodotte coincidano con le quantità vendute), aventi rispettivamente margine di contribuzione unitario pari a 300 e 0. I due prodotti richiedono tre lavorazioni effettuate in sequenza, ciascuna su una specifica macchina (tornio, trapano e fresatrice), aventi rispettivamente capacità pratica di, 1 e 90 ore di lavorazione alla settimana. I due prodotti richiedono inoltre tempi di lavorazione diversi in relazione ai tre processi, come illustrato nella Tabella Ai vincoli interni di capacità produttiva si aggiungono poi vincoli esterni di mercato, che non consentono di vendere più di unità/settimana di X e più di unità/settimana di Y. Risorsa Capacità Componente X Componente Y disponibile Utilizzo della risorsa Utilizzo della risorsa alla settimana per unità prodotta per unità prodotta Tornio ore 1 h 1 h Trapano 1 ore 1 h 3 h Fresatrice 90 ore 2 h 1 h Domanda di mercato per X unità 1 unità 0 unità Domanda di mercato per Y unità 0 unità 1 unità Tabella 14.1 I vincoli interni ed esterni. 19 L esempio è tratto da Hansen e Mowen, 03.

2 :04 Pagina Capitolo 14 Nell ipotesi che i costi fissi rimangano costanti, l obiettivo di breve periodo di massimizzare il reddito settimanale coincide con quello di massimizzare il margine di contribuzione totale. Siano allora e il numero di unità prodotte e vendute del prodotto X e del prodotto Y. Poiché i margini di contribuzione unitari dei due prodotti sono 300 per X e 0 per Y, il margine di contribuzione complessivo (Z) può essere espresso come: Z = (1) L equazione (1) è denominata funzione obiettivo e il suo valore (Z) dipende dal mix produttivo scelto (cioè dai valori di e ). La realizzazione di X e Y è inoltre soggetta a 5 vincoli (3 interni e 2 esterni) che possono essere matematicamente rappresentati a partire dai dati contenuti in Tabella 14.1: Tipo di vincolo Descrizione Rappresentazione matematica Interno Il tempo di lavorazione settimanale 1 Q X + 1 (2) del tornio non può superare ore. Interno Il tempo di lavorazione settimanale (3) del trapano non può superare 1 ore. Interno Il tempo di lavorazione settimanale (4) della fresatrice non può superare 90 ore. Esterno Il mercato non può assorbire più di (5) unità di X. Esterno Il mercato non può assorbire più di (6) unità di Y. Il problema è quello di determinare i valori di e che massimizzano Z, cioè il margine di contribuzione totale, rispettando i vincoli espressi dalle equazioni (2)-(6). Il modello del problema di programmazione lineare è dunque formalmente composto dalla funzione obiettivo e dall insieme dei vincoli: Max Z = (1) s.t. (subject to) + (2) (3) (4) (5) (6), 0 (7), (8)

3 :04 Pagina 413 Le decisioni di breve termine fra alternative diverse 413 Gli ultimi due vincoli sono detti di non negatività e servono per escludere valori minori di zero di e (non è infatti possibile produrre un numero negativo di unità!). Una soluzione ammissibile è una coppia di valori di e che soddisfa l insieme dei vincoli. Produrre in una settimana 1 unità di X e 2 unità di Y ( =1 e =2) è una soluzione ammissibile in quanto i cinque vincoli sono soddisfatti: si utilizzano 3 ore di tornio, 7 ore di trapano, 4 ore di fresatrice e si vendono i prodotti in quantità inferiori alla domanda. Il valore della funzione obiettivo è, in questo caso, pari a 1500 (Z = ). Anche una produzione nulla rispetta i cinque vincoli ed è pertanto ammissibile, essendo in questo caso Z = 0. L obiettivo però è quello della massimizzazione, trovare cioè la coppia di valori (o le coppie di valori) di e che determinano il valore massimo di Z. Questa soluzione prende il nome di soluzione ottima. La soluzione grafica al problema di ottimizzazione Nell esempio la funzione obiettivo è una combinazione lineare di solo due variabili (ci sono solamente due prodotti) ed è in questo caso possibile trovare la soluzione ottima attraverso un grafico bi-dimensionale. Quattro sono i passi da seguire: 1. Rappresentare graficamente i vincoli. 2. Identificare l area delle soluzioni ammissibili. 3. Identificare i punti di vertice nell area delle soluzioni ammissibili. 4. Scegliere il punto (la soluzione) che determina il massimo valore della funzione obiettivo. 1. Rappresentare graficamente i vincoli Prendere in considerazione i vincoli di non negatività significa limitare la rappresentazione grafica del problema al primo quadrante (dove e sono positivi). In Figura 14.7 sono progressivamente rappresentati i vincoli interni ed esterni. Nella sezione (a) del grafico la retta rappresenta i punti per i quali + = ; l area tratteggiata al di sotto della retta rappresenta pertanto l insieme dei punti che soddisfano il vincolo +. In Figura 14.7-(b), 14.7-(c) e 14.7-(d) sono aggiunte le rette e tratteggiate le aree di ammissibilità dei rimanenti vincoli. 2. Identificare l area delle soluzioni ammissibili L intersezione delle aree definite dai singoli vincoli determina l area contenente l insieme delle soluzioni ammissibili, indicata con il poligono ABC in Figura Dalla figura si può rilevare che l area ABC di ammissibilità è in realtà limitata solamente da due dei 5 vincoli ( e ), che corrispondono all uso del trapano e della fresatrice. Gli altri vincoli non sono, infatti, limitanti. Le capacità del tornio è infatti relativamente sovrabbondante (eccessiva

4 :04 Pagina Capitolo 14 Fig La rappresentazione dei vincoli: (a) vincolo (2); (b) vincoli (2) e (3); (c) vincoli (2), (3) e (4); (d) vincoli (2), (3), (4), (5) e (6) = + = + 1 = (a) (b) = = 2Qx + 90 = + 1 = Qx = 2Qx + 90 = + = 1 = (c) (d) cioè rispetto a quella del trapano e della fresatrice) e le quantità massime vendibili non possono comunque essere raggiunte con la disponibilità di capacità dell attuale sistema di produzione. 3. Identificare i punti di vertice nell area delle soluzioni ammissibili La soluzione ottima non può essere un punto interno al poligono, perché qualunque sia questo punto esiste una direzione muovendosi verso la quale il valore di Z aumenta. La soluzione appartiene dunque al contorno del poligono. In particolare, è

5 :04 Pagina 415 Le decisioni di breve termine fra alternative diverse 415 Fig L area delle soluzioni ammissibili 1 1 Z = 0 = 0,5 + 1 A B Z = = 0, Z = = 0,5 + C 1 1 possibile dimostrare che uno dei punti di vertice del poligono è la soluzione ottima. Nell esempio i punti di vertice sono, A, B e C (identificabili sul grafico o ricavabili per via algebrica dall intersezione delle rette di vincolo): le loro coordinate e il valore della funzione obiettivo corrispondente sono riportate in Tabella Il punto di ottimo è ovviamente quello in corrispondenza del quale il valore di Z è più alto. 4. Scegliere il punto (la soluzione) che determina il massimo valore della funzione obiettivo Il punto B (produrre 30 unità di X e 30 unità di Y alla settimana) corrisponde al mix che genera il più alto margine di contribuzione ( ) e rappresenta dunque la soluzione ottima. Si può accettare questa affermazione considerando la funzione obiettivo come un fascio di rette parallele rappresentabili nell esempio come: = 0,5 + Z (dove Z = Z/0). All aumentare di Z le rette si allontanano dall origine, come mostrato in Figura La coppia di valori che massimizza la funzione obiettivo è in uno dei punti di vertice del poligono in quanto: (1) al di fuori di esso non sono rispettati i vincoli e (2) le rette del fascio che attraversano il poligono di ammissibilità hanno Z sicuramente inferiore al valore ottimo.

6 :04 Pagina Capitolo 14 Punto di vertice Z = A B C Tabella 14.2 I punti di vertice. L algoritmo del simplesso L approccio grafico non è evidentemente utilizzabile quando i prodotti siano più di due (non possiamo purtroppo ancora disegnare spazi n-dimensionali e anche tre sole dimensioni rendono la ricerca grafica del punto di ottimo troppo complicata). Come detto, problemi di programmazione lineare che coinvolgono più di tre incognite possono però essere risolti ricorrendo all algoritmo del simplesso e ad appositi software di soluzione.

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