Piano cartesiano. O asse delle ascisse

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1 Piano cartesiano E costituito da due rette orientate e perpendicolari tra di loro chiamate assi di riferimento. Il loro punto di intersezione O si chiama origine del riferimento. L asse orizzontale è detto asse delle ascisse e quello verticale asse delle ordinate. asse delle ordinate O asse delle ascisse Si fissa una unità di misura; non è detto che sia la stessa per entrambi gli assi quindi, per esempio, sull asse delle ascisse l unità di lunghezza può essere rappresentata da un quadratino e sull asse delle ordinate da due quadratini. In fisica, a ciascun asse si dà un nome che indichi la grandezza rappresentata dall asse e, tra parentesi, la corrispondente unità di misura. Per esempio, l asse delle ascisse potrebbe rappresentare il tempo e la corrispondente unità di misura potrebbe essere il secondo, e quindi sull asse si dovrebbe scrivere t(s). Ogni punto del piano è rappresentato da una coppia ordinata di numeri reali i quali vengono detti coordinate del punto, e vengono indicate tra parentesi tonde. Le lunghezze delle distanze del punto dagli assi determinano i valori assoluti delle coordinate. il primo elemento della coppia è detto ascissa del punto e corrisponde, in modulo, alla distanza del punto dall asse delle ordinate. Se la proiezione del punto: è nulla: l ascissa è nulla; si trova sul semiasse negativo dell asse delle ordinate: l ascissa è negativa; si trova sul semiasse positivo dell asse delle ordinate: l ascissa è positiva; il primo elemento della coppia è detto ordinata del punto e corrisponde, in modulo, alla distanza del punto dall asse delle ascisse. Se la proiezione del punto: è nulla: l ordinata è nulla; si trova sul semiasse negativo dell asse delle ascisse: l ordinata è negativa;

2 si trova sul semiasse positivo dell asse delle ascisse: l ordinata è positiva; Per esempio, il punto P ha coordinate (1,2), mentre il punto Q ha coordinate (2,-1) s(m) 1m P O Q t(s) 1s I due assi cartesiani dividono lo spazio in quattro parti o quadranti. Sono ordinati, in senso antiorario, nel modo seguente: II quadrante I quadrante III quadrante IV quadrante Domanda: Qual è la caratteristica delle coordinate dei punti dei vari quadranti?

3 Caso 1: grafico di una retta Grafico di una funzione Supponete di avere un corpo che, al passare del tempo, si sposti in linea retta rispetto all origine di un sistema di riferimento spazio/tempo che avete scelto. Per esempio, una macchina che si muove lungo la direzione Cagliari-Sassari: possiamo considerare positivo il verso da Cagliari a Sassari lo zero del sistema di riferimento spaziale può essere Cagliari lo zero del tempo è considerato l istante in cui parte il cronometro. Cagliari 0 Elmas 10 km Sassari Supponete che il legame tra lo spostamento e il tempo trascorso sia dato dalla relazione s=s 0 +v 0 t (1) dove s 0 è la posizione che il corpo occupa all istante 0 (nel nostro esempio la macchina potrebbe trovarsi a Elmas all istante zero, quindi s 0 =10 km ), mentre v 0 è la velocità costante del corpo. La (1) è una uguaglianza che, dati s 0 e v 0, è verificata per infinite coppie di valori di t e di s. In effetti, è una equazione di primo grado con due incognite. Ad un certo istante t corrisponde uno spostamento s e, viceversa, un certo spostamento s si ottiene in un istante determinato t. Poiché v 0 è costante (è una ipotesi fatta all inizio), il rapporto Δs/Δt è costante. COn il simbolo Δ si intende una differenza tra due grandezze: Δ s è uno spostamento (posizione finale posizione iniziale), mentre Δt è un intervallo di tempo (istante finale-istante iniziale). Disegnare il grafico dello spazio in funzione del tempo significa determinare in un piano cartesiano (con asse delle ascisse corrispondente al tempo e l asse delle ordinate corrispondente allo spostamento) le coordinate degli infiniti punti che soddisfano l equazione (1). Per esempio, se s 0 fosse uguale a 10 chilometri e v 0 fosse uguale a 20 chilometri all ora, la (1) sarebbe: s=10 km+20(km/h)t (2) Un punto del piano che soddisfa l equazione è, per esempio, P(1,30). Infatti, se sostituisco a t il valore 1 e a s il valore 30 ottengo che 30= ossia 30=30 che è, appunto, una uguaglianza vera. Il punto

4 Q(2, 80), al contrario, non soddisfa l equazione: facendo le sostituzioni otterrei 80= ossia 80=50 che è una uguaglianza falsa. Per disegnare il grafico tengo conto che Δs/Δt è costante: i punti che soddisfano a questa relazione stanno su una retta. Poiché all istante t=0 secondi s=s 0, significa che la retta NON passa per l origine, bensì per il punto A(0,s 0 ) (nel nostro esempio A(0,10)). Per determinare la pendenza è sufficiente determinare un altro punto qualunque. Per fare ciò, assegno a t un valore qualunque (per esempio 2) e determino di conseguenza il corrispondente valore di s: s=10km+20(km/h) 2h=50 km Quindi un altro punto è Q(2,50). Si può allora disegnare la retta: s (km) 10 km Q 1 h A t (h) Tutti gli infiniti punti che stanno sulla retta rossa sono tutti e i soli punti che soddisfano l equazione (2). Questo significa che, per esempio, se volessi sapere dove si trova il punto dopo 3 h, dovrei sostituire t=3h nella (2) e determinare il valore di s che soddisfa l equazione s=10 km+20(km/h) 3h e troverei s=70 chilometri. In effetti, a occhio, sembra proprio che il punto R(3,70) si trovi sulla retta rossa. Se avessi trovato, per esempio, s=100, il grafico mi avrebbe segnalato la presenza di un errore, perché il punto di coordinate (3,100) chiaramente NON appartiene alla retta. Viceversa, se volessi sapere a quale ora arriverei a Sassari, distante 250 chilometri da Cagliari, dovrei sostituire nella (2) a s il valore 250 km e dovrei risolvere l equazione considerando t come incognita. Troverei t=12 h (provare per credere) e, se prolungassi il grafico, troverei che il punto (250,12) effettivamente sta sulla retta. Caso 2: grafico di una parabola Considerate lo stesso scenario di prima (macchina che si sposta in linea retta lungo la direzione Cagliari-Sassari, con lo stesso sistema di riferimento), ma che ora il moto sia uniformemente accelerato.

5 La (1) è sostituita dalla seguente relazione: s=s 0 +v 0 t + (½)at 2 (3) In questo caso, v 0 è la velocità che ha la macchina nell istante 0 del mio sistema di riferimento temporale. Per esempio, se s 0 fosse uguale a 10 chilometri e v 0 fosse uguale a 20 chilometri all ora e a fosse uguale a 8 km/h 2, la (1) sarebbe: s=10 km+20(km/h)t +(1/2)8(km/h 2 )t 2 (2) In questo caso il rapporto tra Δs/Δt NON è costante: man mano che passa il tempo diventa sempre più grande (dopo un certo istante), ossia percorre spostamenti sempre maggiori a parità di intervallo di tempo considerato. Il grafico corrispondente è una parabola, con concavità verso l alto se a è positivo e con concavità verso il basso se a è negativo. Per disegnarla si procede per punti, ma non bastano più 2 punti, ne servono almeno tre. Come potete verificare, se t= 0h, s=10 km (punto B); se t=1h, s=34 km (punto A); se t=2h, s=66 km (punto C).

6 Caso 3: grafico di un moto rettilineo uniforme e di un moto uniformemente accelerato Vogliamo ora studiare i moti di due oggetti che hanno moti indipendenti, uno rettilineo uniforme e l altro uniformemente accelerato. Un unico grafico che riporti il comportamento di entrambi gli oggetti può aiutare a risolvere problemi complessi. Esempio: prima di tutto si deve stabilire il sistema di riferimento spazio-temporale. COme al solito, intendiamo che la direzione del moto è quella che unisce Cagliari e Sassari, il verso del sistema è positivo da Cagliari a Sassari, e lo zero del sistema spaziale è sistemato a Cagliari. Le due auto si muovono in base alle leggi orarie seguenti: macchina A: s=80km -10(km/h)t. Per semplicità non indichiamo le unità di misura, quindi: s=80-10 t (eq.a) macchina B: s=30+1,5 t +2 t 2 (eq.b) Il grafico relativo alla macchina A è una retta con pendenza negativa, mentre il grafico di B è una parabola: Cosa ci dice questo grafico? le due auto si incontrano a circa 51 km da Cagliari dopo circa 3 ore dalla partenza del cronometro (punto A del grafico). Per valutare esattamente le coordinate del punto A bisogna uguagliare la s dell eq. A e la s dell eq. B: t= 30+1,5 t +2 t 2 Si deve perciò risolvere una equazione di secondo grado. Provate a risolverla e analizate i valori ottenuti: perché ci sono due soluzioni distinte? a quali s corrispondono?

7 la macchina A arriva a Cagliari dopo circa 8 ore. Per valutare esattamente il momento dell arrivo bisogna risolvere l equazione eq.a sostituendo a s il valore 0, e ricavando il corrispondente valore di t: ossia t=8 0= t Problema 1: Data la situazione dell esempio precedente: 1. determinare in quali istanti le due auto sono distanti 19 km. 2. dove si trovano le due auto quando sono distanti 19 km Impostazione della soluzione: Dal grafico e dalle equazioni del moto si può notare che le due auto inizialmente sono distanti 50 km. SUccessivamente, fino a circa 3h (per la precisione, 2.89 h) si avvicinano, dopodiché si allontanano nuovamente. Chiedere in quali istanti si trovano ad una distanza di 19 km significa determinare in quali istanti la distanza dall origine dell auto A meno la distanza dall origine dell auto B vale 19 km (o, anche, vale -19 km, nel caso in cui B sia davanti ad A). Le espressioni delle due distanze sono date, rispettivamente, dall eq. A e dall eq. B. Quindi: (80-10t)-( 30+1,5t +2 t 2 )=19 (eq.p1) (80-10t)-( 30+1,5t +2 t 2 )=-19 Queste sono equazioni di secondo grado in t e, ciascuna, avrà due soluzioni reali e distinte: a quali punti corrispondono (tenete conto che la parabola continua anche per t<0 )? Una volta determinati i due valori di t che ci interessano, si sostituiscono questi valori alla espressione dello spostamento. Problema 2: Due nuotatori A e B partono nello stesso istante, rispettivamente, dal blocco di partenza e da 3.0 metri più avanti. Percorrono una vasca da 50m. Il nuotatore A ha una velocità costante di 2,0 m/s, mentre B ha una velocità costante di 1.8 m/s. 1. Disegnare il grafico che rappresenti la situazione 2. Determinare il tempo di arrivo dei nuotatori 3. Determinare, se esiste, il momento in cui A sorpassa B 4. Determinare, se esiste, il momento in cui A è davanti a B di 3.0 m Impostazione della soluzione: 1. Poiché la velocità è costante, le equazioni del moto dei due nuotatori sono del tipo s=s 0 +v 0 t. Bisogna scegliere un sistema di riferimento (per esempio, lo zero del tempo si ha alla partenza, lo

8 zero dello spostamento coincide con la posizione del blocco di A). Per determinare l inclinazione della retta si prendono due istanti qualunque e si determina il corrispondente spostamento. 2. Il tempo di arrivo corrisponde all istante in cui lo spostamento rispetto all origine è 50m 3. Il momento del sorpasso si ha quando A si trova dove si trova B, ossia entrambi si trovano nello stesso punto rispetto all origine del sistema di riferimento 4. La differenza tra la posizione di A e quella di B deve essere pari a 3.0. SI imposta quindi un equazione del tipo: spostamento di A- spostamento di B=3.0m Questa è un equazione in cui compare solo t. Bisogna poi verificare che il valore di t ottenuto non sia superiore al tempo impiegato per arrivare al traguardo. Se così fosse significherebbe che quella distanza si sarebbe ottenuta oltre l arrivo (e così è, in effetti ;-) )