VETTORE POSIZIONE E VETTORE SPOSTAMENTO

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1 VETTORE POSIZIONE E VETTORE SPOSTAMENTO! r Il vettore rappresenta la posizione del punto P nello spazio. y P 1! Δr! r 1 =!! r r 1! r P x y! Δ r! r!! = r r 1 P rappresenta lo spostamento del punto P fra l istante t 1 e l istante t. x 1

2 VELOCITÀ VETTORIALE La velocità vettoriale del punto P è:!!!! r r1 Δr v = = t t Δt 1 y! r 1 v!! r x La velocità v! rappresenta la velocità media nell intervallo (t 1,t ). Quando l ampiezza dell intervallo Δt diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene la velocità istantanea che è un vettore tangente alla traiettoria.

3 VELOCITÀ VETTORIALE Le componenti della velocità vettoriale lungo gli assi di riferimento rappresentano le velocità dei punti proiezione sugli assi x ed y. y v! y v! v! x x Le proprietà della velocità esaminate nel piano (x,y) si generalizzano al moto nello spazio rispetto agli assi x,y,z. 3

4 VELOCITÀ VETTORIALE Y[m] r Δr r traiettoria X[m] Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli di tempo molto piccoli. Cioè: v istantanea se Δtà 0 STUDIAMO LA DIREZIONE

5 VELOCITÀ VETTORIALE Y[m] r traiettoria X[m] La DIREZIONE del vettore v istantanea è quella della retta tangente alla TRAIETTORIA nel punto considerato.

6 ACCELERAZIONE VETTORIALE L accelerazione vettoriale del punto P è:! a =! v t! v t 1 1 =! Δv Δt v! 1 P P 1 v! v! v! 1! Δv a! L accelerazione rappresenta l accelerazione media nell intervallo (t 1,t ). 6

7 ACCELERAZIONE VETTORIALE Quando l ampiezza dell intervallo Δt diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene l accelerazione istantanea. y a! v! x L accelerazione istantanea è sempre orientata verso la parte concava della traiettoria. L accelerazione è nulla solo e soltanto quando il vettore velocità è costante (moto rettilineo uniforme). 7

8 UNITÀ DI MISURA!r " # $ =! " m # $!v " # $ =! m # % & =! m s 1 # " s " $ $! m #!a " # $ = % s &! % s & = m # % & =! m s # s "% $ & " " $ $ 8

9 MOTO RETTILINEO UNIFORME Se la velocità vettoriale è costante il moto è rettilineo e sono percorsi spazi uguali in tempi uguali, cioè gli spazi percorsi sono proporzionali ai tempi impiegati. Considerando l asse x lungo la direzione del moto e passando dai vettori agli scalari, si ottiene: x = x + o vt dove x o è la posizione iniziale (all istante t=0). Le variabili x e v sono numeri positivi o negativi, secondo le convenzioni già stabilite. 9

10 MOTO RETTILINEO UNIFORME Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo. x x x 1 α La pendenza della retta è la velocità del moto. t1 t t pendenza = x t 1 = x t 1 v 10

11 MOTO RETTILINEO UNIFORME Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo. x = xo + vt spazio (m) tempo (s) velocità (m/s) tempo (s) In tale moto, la velocità è rappresentata da una retta orizzontale nel grafico velocità-tempo. 11

12 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 1

13 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO In un moto rettilineo con accelerazione costante lungo l asse x, la velocità è: v = vo + Lo spazio percorso è dato da at x = v m x = x = x o o + v m t vo + v = vo vot + at 1 at x o è la posizione iniziale (t=0) v o è la velocità iniziale (t=0) 13

14 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO x o = 150 m v o = 4 m/s 500 a = 10 m/s 0 spazio (m) tempo (s) velocita` (m/s) tempo (s) accelerazione (m/s^) tempo (s) 14

15 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO x o = 400 m v o = - 75 m/s a = 8 m/s spazio (m) tempo (s) velocita` (m/s) accelerazione (m/s^) tempo (s) tempo (s) 15

16 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 400 x o = 150 m v o = 50 m/s a = - 8 m/s spazio (m) tempo (s) velocita` (m/s) tempo (s) accelerazione (m/s^) tempo (s) 16

17 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO spazio (m) x o = 500 m v o = - 4 m/s a = - 1 m/s tempo (s) velocita` (m/s) tempo (s) accelerazione (m/s^) tempo (s) 17

18 MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ y Fotografia stroboscopica di una mela che cade; gli intervalli di tempo sono uguali. Un oggetto lasciato cadere da una torre cade con velocità crescente e copre distanze via via maggiori ogni secondo. 18

19 MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ y (a) Una palla ed un leggero pezzo di carta vengono lasciati cadere allo stesso istante. (b) Ripetizione dell esperimento con la carta appallottolata (a) Una pietra e una piuma vengono lasciati cadere simultaneamente (a) in aria, (b) nel vuoto. 19

20 MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ y In vicinanza della superficie terrestre tutti i corpi si muovono con la stessa accelerazione g = 9.8 m/s = 980 cm/s y v = = v v o o 1 t gt gt g! y v! o x 0

21 MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ Corpo lanciato verso l alto: raggiunge la massima altezza h=h max quando la velocità è nulla (al tempo t=t max ). v = v h max o gt = v 0 t max max = 0 1 gt t max max = vo = g vo g 1

22 MOTO NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ Le due sfere hanno velocità verticale iniziale nulla: esse cadono in verticale con la stessa legge.

23 MOTO DI UN PROIETTILE Se la velocità iniziale non è lungo la verticale il corpo descrive una parabola. La velocità orizzontale rimane costante, mentre la velocità verticale varia. 3

24 MOTO DI UN PROIETTILE Y a = g = 9.8 m/s v 0 θ SUPERFICIE TERRESTRE X Un punto materiale ha velocità iniziale v 0 inclinata di un angolo θ sull orizzontale. Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale. Si osserva che l accelerazione è presente solo nella direzione Y. Scriviamo separatamente le equazioni orarie del punto materiale su asse X ed asse Y.

25 Y MOTO DEL PROIETTILE () a = g = 9.8 m/s v 0 θ SUPERFICIE TERRESTRE X Che tipo di Equazioni orarie governano il moto del punto materiale? Su asse X non c è accelerazione: equazione del moto rettilineo uniforme. Su asse Y c è accelerazione g: equazione del moto uniformemente accelerato.

26 Y MOTO DEL PROIETTILE (3) a = g = 9.8 m/s v 0 v 0y θ v 0x X Si scompone la velocità iniziale secondo le componenti X e Y. Le due equazioni orarie sono: x = v 0x t y = v 0y t 1 gt v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 senθ

27 Y MOTO DEL PROIETTILE (4) a = g = 9.8 m/s v 0y θ v 0x v 0 X Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava l equazione della traiettoria: t=x/v 0x y = v 0y x/v 0x g(x/v 0x ) /à y = (g/v 0x )x +(v 0y /v 0x )x Equazione di secondo grado del tipo: y = ax +bx+c EQUAZIONE DI UNA PARABOLA!

28 MOTO DEL PROIETTILE (5)

29 MOTO DEL PROIETTILE (6) Dalle due equazioni orarie e dalla equazione della traiettoria si possono ricavare molte caratteristiche salienti sul moto. 1. Quanto tempo il proiettile resta in aria?. Qual è la massima altezza raggiunta? 3. A che distanza tocca Terra?

30 ESERCIZI (1) Problema 1 Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di θ = 58 sopra l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Soluzione Nel punto di massima altezza la componente y della velocità è nulla. Se t * è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza: V y (t * ) = 0 Ma V y = V 0y -gtà 0 = V 0y -g t * à t * = V 0y /g = V 0 sen θ /g

31 ESERCIZI () Problema 1 Un aereo da soccorso vola ad una velocità v = 360 km/h alla quota costante di h = 490 m. Quale distanza x, misurata sull orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall aereo? Soluzione La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che rimane costante. x= V 0x t con V 0x = 360 km/h E necessario determinare t * = tempo impiegato dal pacco a raggiungere il suolo y=h-gt /à 0=h-g t * / à t * =h/g à t * = (h/g) 1/ x = V 0x (h/g) 1/