Introduzione MOTO V T T OIN RTRE I DIMENSIONI g. bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.)

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1 Introduzione La spinta all uomo proiettile è data da una molla o da aria compressa (il rumore ed il fumo sono effetti scenici). Come si fa a piazzare la rete nel punto giusto? La descrizione del moto tramite i concetti di posizione, velocità, accelerazione può essere estesa per trattare il moto in due e tre dimensioni. Sarà indispensabile utilizzare il formalismo vettoriale per esprimere le grandezze e le equazioni cinematiche. I concetti di velocità ed accelerazione vettoriali mostreranno delle nuove proprietà che non hanno corrispondente nella cinematica in una dimensione. La trattazione del moto della particella in tre dimensioni sarà notevolmente agevolata dalla scomposizione delle grandezze vettoriali lungo gli assi cartesiani x,y,z Si tratteranno in dettaglio il moto dei proiettili sottoposti solo alla gravità e quello di un particella in moto lungo una traiettoria circolare.

2 Posizione, velocità ed accelerazione Per descrivere il moto di una particella in due e tre dimensioni è necessario utilizzare il formalismo vettoriale velocità Il vettore velocità risulta tangente alla traiettoria accelerazione Il vettore accelerazione risulta diretto verso la concavità della traiettoria posizione

3 Posizione, velocità ed accelerazione Vettore posizione della particella r = xî + yĵ + z ˆk v! Δr = Δt Vettore spostamento della particella Δr = r 2 r 1 ( r 1 + Δr = r 2 ) nel tempo Δt = t 2 t 1 Vettore velocità media v = r 2 r 1 = Δ r t 2 t 1 Δt Il vettore velocità media esprime la rapidità con cui varia la posizione del punto nell intervallo di tempo Δt Vettore velocità istantanea contiene informazioni sia scalari sia direzionali Δr v = lim Δt 0 Δt = d r derivata di un vettore! v =! dr La velocità istantanea risulta sempre tangente alla traiettoria La velocità istantanea esprime la rapidità con cui varia la posizione del punto in un certo istante

4 Posizione, velocità ed accelerazione Espressione della velocità in componenti cartesiane v = d r = d v x = dx ; ( xî + yĵ + z ˆk ) = dx v y = dy ; v z = dz Vettore accelerazione media a = v 2 v 1 t 2 t 1 î + dy = Δ v Δt Il vettore accelerazione media esprime la rapidità con cui varia la velocità del punto (modulo e direzione) nel tempo Δt ĵ + dz ˆk = v x î + v y ĵ + v z ˆk derivare un vettore derivare le componenti y v 2 dx = v x ; dy = v y ; dz = v z a = Δ v Δt le componenti sono indipendenti (x non dipende da v y o v z ) v 1 Δ v = v 2 v 1 Δ v t v 2 v 1

5 Δv a = lim Δt 0 Δt = d v = d 2 r a x = dv x ; a = dv y y ; Vettore accelerazione istantanea = a 2 xî + a ĵ + a ˆk L accelerazione istantanea esprime y z la rapidità con cui varia la velocità v le componenti sono indipendenti del punto in un certo istante. a = dv z z L accelerazione istantanea risulta diretto verso la concavità della traiettoria e contiene informazioni sul cambiamento della velocità in modulo e direzione Una particella si muove nel piano xy in modo che le sue coordinate varino nel tempo secondo le equazioni x(t)=t 3-32t e y(t)=5t Determinare r, v, a al tempo t=3 s. r = xî + yĵ = (( t3 32t)î + ( 5t 2 +12) ĵ )m r ( 3s) = ( 69î + 57 ĵ )m v x = dx = ( 3t 2 32)ms 1 ; v y = dy = ( 10t )ms 1 v 3s a x = dv x = ( 6t)ms 2 ; a y = dv y ( )ms 1 ( ) = v x î + v y ĵ = 5î + 30 ĵ =10ms 2 a 3s ( )ms 2 ( ) = a x î + a y ĵ = 18î +10 ĵ a non è parallela a v, è diretta verso la concavità

6 Moto con accelerazione costante In un moto con accelerazione costante (uniformemente accelerato) la accelerazione a rimane costante durante il moto Le tre componenti dell accelerazione a x, a y, a z sono costanti e il moto complessivo è la composizione di tre moti uniformemente accelerati lungo i tre assi cartesiani In generale la traiettoria sarà una linea curva. Il moto dei gravi, trascurando la resistenza dell aria, è un esempio di moto spaziale uniformemente accelerato (su un piano). Velocità della particella a x = dv x Posizione della particella = costante; dv x = a x dv x = a x = a x v x v x0 = a x t v x = v x0 + a x t! v =! v 0 +! at il moto sta in un piano v x = dx x t t ; dx = v dx = v x x = ( v x0 + a x t) x x 0 = v x0 t a xt 2 x = x 0 + v x0 t a xt 2! r =! r 0 +! v 0 t x 0 t 0 v x v x 0 t t 0 t 0 espressione vettoriale t t 0 espressione vettoriale! at 2

7 Moto con accelerazione costante Relazione fra spostamento e accelerazione Si elimina il tempo v x = v x0 + at; x = x 0 + v x0 t a x t 2 Sommando le tre equazioni scalari v 2 x = v 2 x0 + 2a x ( x x 0 ) v x v x = v x0 v x0 + 2a x ( x x 0 ) v v = v x v x + v y v y + v z v z v 0 v 0 = v x0 v x0 + v y0 v y0 + v 0z v z0 a ( r r0 ) = a x (x x 0 )+ a y (y y 0 )+ a z (z z 0 ) v v = v 0 v 0 + 2a r r 0 ( ) espressione scalare

8 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO r = r + v t v = v + at 0 r 0 = posizione all'istante t = 0 v 0 = velocità all'istante t = 0 a = costante at 2 N.B. Una volta fissato il sistema di riferimento dare il segno giusto alle variabili

9 Moto di un proiettile Un esempio di moto ad accelerazione costante è il moto di un proiettile quando si trascuri la resistenza dell aria L accelerazione di gravità g è costante, ha modulo g=9,80 ms -2 ed è diretta verso il basso. La sua direzione definisce la verticale. a y = g; a x = 0 si assume che v 0 sia nel piano xy v z0 = 0; a z = 0 v z ( t) 0 il moto è nel piano xy si assume che il moto inizi nel punto origine degli assi v x0 = v 0 cosφ 0 v y0 = v 0 sinφ 0 x 0 = y 0 = 0; v x0, v y0 condizioni iniziali

10 Moto di un proiettile Componenti della velocità v = v 0 + at La componente orizzontale della velocità si mantiene costante ed è indipendente da g. v x = v x0 + a x t = v 0 cosφ 0 v y = v y0 + a y t = v 0 sinφ 0 gt La componente verticale cambia per effetto della gravità. E la stessa della caduta libera. Vettore velocità Modulo della velocità Direzione della velocità v = v x 2 + v y 2 tanφ = v y / v x Il vettore velocità è in ogni istante tangente alla traiettoria I moti orizzontale e verticale del proiettile sono indipendenti La velocità orizzontale con cui viene lanciato il proiettile non influisce sul moto di caduta

11 Componenti dello spostamento r = r 0 + v 0 t gt 2 Si elimina il tempo fra le due equazioni y = ( v 0 sinφ 0 ) y = ( tanφ 0 ) x x 1 v 0 cosφ 0 2 g " x % $ ' # v 0 cosφ 0 & g ( ) 2 x2 2 v 0 cosφ 0 2 x = x 0 + v x0 t + 1 a 2 xt 2 = ( v 0 cosφ 0 )t y = y 0 + v y0 t + 1 a 2 yt 2 = ( v 0 sinφ 0 )t 1 gt 2 2 Equazione della traiettoria, una parabola Perché l altezza del rimbalzo decresce?

12 Gittata del proiettile # y = 0 x% tanφ 0 $ % ( ) g ( ) 2 x 2 v 0 cosφ 0 & ( '( = 0 x = 0, R = x = 2v 2 0 g sinφ cosφ = v g sin2φ 0 La gittata è massima quando φ 0 =45 Introducendo la resistenza dell aria la traiettoria non è più parabolica e la gittata diminuisce Confronto fra un proiettile lanciato orizzontalmente e un proiettile lasciato cadere I moti verticale ed orizzontale sono indipendenti

13 Tiro ad un bersaglio in caduta libera Nell istante in cui il bersaglio cade il proiettile lascia il sistema di lancio Il proiettile colpisce sempre il bersaglio indipendentemente dalla velocità v 0 di lancio In assenza di gravità il proiettile colpirebbe il bersaglio fermo I due proiettili subiscono lo stesso spostamento verticale dovuto alla gravità Δy=-(1/2)gt 2 Posizione del proiettile Posizione del bersaglio Per avere collisione deve essere r P = r 0P + v 0P t r B = r 0B + v 0B t r P = r B allo stesso tempo t r B = r P r 0B = v 0P t è vera quando t = gt 2 = v 0P t gt 2 = r 0B r 0B v 0P gt 2 gt 2

14 Esempio Un aereo lancia una capsula di salvataggio mentre vola orizzontalmente verso il punto dove è posto il bersaglio alla velocità di 155 km/h e ad un altezza di 225 m. Trovare l angolo α in corrispondenza del quale l obbiettivo è raggiunto φ 0 = 0; y = 225m; y = y 0 + ( v 0 sinφ 0 )t 1 gt 2 2 = 1 gt 2 2 tempo di caduta t = 2y g = 2 ( 225m ) 9,80ms -2 = 6, 78s x = v x0 t = ( 155km/h) ( 1h/3600s) ( 6, 68s) = = 0, 292km = 292m pacco soccorsi α = arctan x y = arctan 292m 225m = 52

15 Il volo di Emanuele Zacchini (1992) v 0 = 26, 5ms 1 = 95, 4kmh 1 x 0 = 0 y 0 = 0 a) Riuscirà a sorvolare le tre ruote panoramiche? Equazione della traiettoria y = ( tanθ 0 ) x y = ( tanθ 0 ) x b) Di quanto sovrasterà la seconda ruota? g ( ) 2 x2 = ( tan53 )( 23m) 2 v 0 cosθ 0 g ( ) 2 x2 = ( tan53 )( 46m) 2 v 0 cosθ 0 v y = 0 v y = ( v 0 sinθ 0 ) gt = 0 t M = v 0 sinθ 0 g y = ( v 0 sinθ 0 )t M 1 gt ( 2 2 M = v sinθ 0 0) 2 g ( = v sinθ 0 0) 2 2g ( 9,80ms 2 ) 23m 2 26, 5ms 1 ( ) 2 ( ) 2 cos53 ( 9,80ms 2 )( 46m) 2 ( ) 2 cos , 5ms 1 ( ) 2 = 20,3m ( ) 2 = 20,3m ( 26, 5ms 1) 2 sin53 = 2 9,80ms 2 ( ) 2 ( ) g ( v sinθ 0 0) 2 = 2g 2 = 22, 9m prima ruota terza ruota

16 Il volo di Emanuele Zacchini (1992) c) Quanto è il tempo di volo? T = 2t M = 2v 0 sinθ 0 g d) A quale distanza dal cannone deve essere posta la rete? = ( ) sin53 ( 9,80ms 2 ) 2 26, 5ms 1 ( ) = 4,3s Salto con lo skateboard R = v 2 0 g sin2θ 0 ( ) 2 ( ) 1 26, 5ms = 9,80ms 2 sin106 = 68,8m e) Accelerazione alla partenza v 2 0 = 0 + 2aL a = v 2 0 2L ( ) , 5ms = 2 2m ( ) =176ms 2 circa 18 g I moti orizzontale e verticale sono indipendenti

17 0 2 -MOTO V T T O I 04 INR TRE DIMENSIONI g. bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.) Dove cade la mela (o la pallina da tennis)?

18 Moto circolare uniforme Nel moto circolare uniforme la traiettoria è una circonferenza e la velocità è costante in modulo mentre varia continuamente in direzione (esempio: noi sulla terra!) E un tipo di moto estremamente frequente sia in natura che nelle applicazioni tecnologiche Calcolo dell accelerazione Δv è diretta verso il centro della circonferenza triangoli simili v cambia in direzione ma non in modulo Variazione di velocità Δv=v 2 -v 1 Relazioni geometriche 1 2 Δv = vsinθ 2 ; rθ = vδt

19 Moto circolare uniforme Modulo dell accelerazione media Modulo dell accelerazione istantanea ( ) a = Δv Δt = 2vsin θ / 2 rθ / v = v2 r sin( θ / 2) θ / 2 Δt 0 θ 0; θ sinθ (θ in radianti) Direzione dell accelerazione istantanea Relazioni geometriche Δv a = lim Δt 0 Δt = lim v 2 Δt 0 r sin( θ / 2) θ / 2 = v2 r 1 2 Δv = vsinθ 2 ; rθ = vδt L accelerazione istantanea a è sempre parallela a Δv, quindi è rivolta verso il centro della circonferenza. È una accelerazione centripeta.

20 Vettore accelearzione nel moto circolare uniforme Velocità ed accelerazione costanti in modulo e variabili in direzione accelerazione centripeta diretta verso il centro L accelerazione esprime la rapidità di variazione della velocità Dimensioni fisiche della accelerazione! " # [ a] = v2 $ r [ ] = ( L/T ) 2 L = L T 2 = m s 2

21 Vettore accelearzione nel moto circolare uniforme L accelerazione centripeta è determinata dalla variazione in direzione della velocità esempi di relazione fra accelerazione e velocità

22 Esempio La luna gira intorno alla terra in 27,3 giorni. Si supponga che la sua orbita sia circolare di raggio r=3, m. Quanto vale il modulo dell accelerazione della luna? Periodo di una rivoluzione della luna T = 27, 3giorni = 27, s Velocità della luna v = 2πr T ( 8 m) 2π 3,82 10 = 2, s =1018 ms -1 Accelerazione centripeta ( ) 2 a = v2 r = 1018ms 1 3, m = 0, 00271ms 2 = 2, g n g n = 9,80665ms 2 Accelerazione di gravità a livello del mare e a 45 di latitudine

23 Natura vettoriale di velocità e accelerazione Nel moto circolare generico l accelerazione ha due componenti: Una centripeta dovuta alla variazione in direzione della velocità Una tangenziale dovuta alla variazione in modulo della velocità Con il formalismo vettoriale si può ricavare in modo rigoroso e completo la relazione fra velocità ed accelerazione nel moto circolare Moto circolare uniforme in coordinate polari cilindriche versori polari Sistema di coordinate polari cilindriche r e φ r = x 2 + y 2 ; φ = arctan ( y / x) x = r cosφ; y = rsinφ versori cartesiani u φ, u r sono variabili In coordinate polari cilindriche r è costante e φ cresce linearmente con il tempo

24 Natura vettoriale di velocità e accelerazione Relazione fra versori cartesiani e versori polari û r = î cosφ + ĵ sinφ ( ) + ĵ sin ( φ + ( π / 2 )) = î û φ = î cos φ + ( π / 2 ) Velocità della particella (usando i versori polari) Accelerazione della particella (usando i versori polari) dû φ = î d ( sinφ ) v = vû φ + ĵ d ( cosφ ) ( ) a = d v = d vû φ = î = ( î cosφ + ĵ sinφ) dφ = û dφ r sinφ + ĵ cosφ v = costante, positiva o negativa. v = modulo di v u φ non è costante = v dû φ dφ dφ cosφ ĵ sinφ = vettore ortogonale ruotato di +90 v=costante derivata di un versore

25 Natura vettoriale di velocità e accelerazione Accelerazione della particella nel moto circolare uniforme a = û r v dφ = û r v 2π T = û 2π r v 2πr / v = û v 2 r r accelerazione centripeta velocità angolare Moto circolare generico v = vû φ Il modulo di v può variare ( ) a = d v = d vû φ accelerazione tangenziale = v dû φ + û dv φ = û v 2 r r + û dv φ accelerazione centripeta

26 Natura vettoriale di velocità e accelerazione Scomposizione dell accelerazione in un moto circolare generico Modulo dell accelerazione a = a R 2 + a T 2 a = û r v 2 r + û φ dv = û r a R + û φ a T v varia in modulo e direzione variazione della direzione di v variazione del modulo di v Se il modulo della velocità è costante a T =0. Se il moto è rettilineo a R =0 Anche l accelerazione in un moto curvilineo qualsiasi può essere scomposta in componenti centripeta e tangenziale. In questo caso il raggio r è il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato

27 Sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio Il moto è un concetto relativo. Una particella osservata da due sistemi di riferimento in moto relativo l uno rispetto all altro apparirà animata da moti diversi. Entrambe le descrizioni sono equamente legittime. In ambito cinematico la scelta del riferimento è determinata unicamente da criteri di comodità. il riferimento O trasla e non ruota Particella in moto osservatore fisso osservatore mobile v S'S Le locuzioni fisso e mobile sono convenzionali E importante stabilire una relazione fra le descrizioni della posizione, velocità e accelerazione della particella P vista dai due riferimenti

28 Sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio Relazione fra le posizioni r PS = r S! S + r P S! v S'S Relazione fra le velocità d r PS = d r S! S Relazione fra le accelerazioni d v PS = d v S! S + d r P S! v assoluta Se il moto relativo dei due riferimenti è rettilineo uniforme a S S =0 a PS = a P! S + d v P S! a assoluta v di trascinamento v PS = v S! S + v P S! a PS = a S! S + a P S! a trascinamento v relativa a relativa gli osservatori vedono diverse posizioni PENDOLO DI e velocità ma la stessa accelerazione FOUCAULT

29 Esempi v PS = v S! S + v P S! La bussola di un aereo indica che è diretto verso est; il suo misuratore di velocità rispetto all aria indica 215 km/h. Un vento spira verso Nord alla velocità di 65 km/h. a) Qual è la velocità dell aereo rispetto alla terra? b) Se il pilota desidera andare verso est quale direzione deve prendere? La particella in moto è l aereo (P) Sistema fisso: la terra (T) Sistema mobile: l aria (A) v PT = v AT + v PA velocità del vento v PT = 2 v PA 2 + v AT = Se il pilota vuole andare verso Est v PT deve essere diretta ad Est. = ( 215kmh 1 ) 2 + ( 65kmh 1 ) 2 = 225kmh 1 α = arctan v AT = arctan 65kmh 1 =16,8 1 v PA 215kmh v PT = 2 v PA 2 v AT = ( 215kmh 1 ) 2 ( 65kmh 1 ) 2 = 205kmh 1 β = arcsin v AT = arcsin 65kmh 1 =17, 6 1 v PA 215kmh

30 Esempi v PS = v S! S + v P S! Un pipistrello rileva la presenza di un insetto mentre i due stanno volando alle velocità v PT e v IT rispetto al terreno. Quale è la velocità dell insetto rispetto al pipistrello v IP? v IT v PT v IT = ( 5, 0ms 1 )cos50 î + ( 5, 0ms 1)sin50 ĵ v PT = ( 4, 0ms 1 )cos130 î + ( 4, 0ms 1)sin130 ĵ v IT = v PT + v IP v IP = v IT v PT v IT v TP =-v PT v IP = ( 5, 0ms 1 )cos50 î + ( 5, 0ms 1)sin50 ĵ ( 4, 0ms 1 )cos130 î ( 4, 0ms 1)sin130 ĵ ( 6, 7ms 1 )î + ( ) 1,8ms 1 ĵ v IP v IP = ( 6, 7ms 1 ) 2 + ( 1,8ms 1 ) 2 = 6, 9ms 1