CINEMATICA BIDIMENSIONALE

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1 CINEMATICA BIDIMENSIONALE CdL Farmacia Corso (A - E) A.A. 2015/16 1 Dott. Silvia Rainò Università di Bari silvia.raino@ba.infn.it silvia.raino@uniba.it Pagine web: Ufficio: Dipartimento IA di Fisica, R

2 INTRODUZIONE Abbiamo introdotto, nelle precedenti lezioni, le seguenti grandezze fisiche: Tempo Spostamento Velocità Accelerazione Abbiamo ricavato le equazioni per i moti 1D: a) Uniforme b) Uniformemente accelerato Abbiamo introdotto i VETTORI e le operazioni tra essi (somma, differenza, prodotto scalare, prodotto vettoriale) 2

3 INTRODUZIONE Adesso dobbiamo trattare le grandezze fisiche spostamento, velocità e accelerazione come vettori. e ricavare le equazioni del moto In questo modo potremmo studiare il moto dei corpi in sistemi di riferimento nel piano o nello spazio, con più di una dimensione 3

4 INTRODUZIONE I vettori saranno talvolta rappresentati con il grassetto: a = grandezza scalare a = grandezza vettoriale (oppure a) Sui vostri appunti rappresentate le grandezze vettoriali con la freccina sulla lettera. a Ricordiamo che: Grandezza scalare: definita da un solo numero Grandezza vettoriale: definita da: Modulo, direzione e verso; Componenti sugli assi cartesiani. 4

5 VETTORE POSIZIONE Possiamo localizzare un punto materiale nel piano (2D) per mezzo del vettore posizione r y Punto materiale P localizzato dal vettore posizione r: r = r x i + r y j o, equivalentemente, utilizzando per i versori la notazione u i : r = r x u x + r y u y j i r x 5

6 VETTORE POSIZIONE Possiamo localizzare un punto materiale nello spazio (3D) per mezzo del vettore posizione Punto materiale P localizzato dal vettore posizione r: r = r x i + r y j + r z k o, equivalentemente, utilizzando per i versori la notazione u x u y u z : r = r x u x + r y u y + r z u z In questo caso, tutte e tre le componenti nello spazio dei vettori entrano in gioco. 6

7 VETTORE POSIZIONE Il punto materiale si sposta dal punto P (individuato dal vettore r) al punto Q (individuato dal vettore r ) P Scriviamo i vettori posizione r ed r : Q r = r x u x + r y u x + r z u x r' = r x u x + r y u y + r z u z 7

8 VETTORE SPOSTAMENTO Possiamo calcolare il vettore SPOSTAMENTO: r r = Δr P Δr' = (r x -r x )u x + (r y -r y )u y + (r z -r z )u z = Δr x u x + Δr y u y + Δr z u z Q Necessario per descrivere il moto del nostro punto materiale 8

9 VELOCITÀ VETTORIALE MEDIA Possiamo definire la velocità vettoriale come: v = Δr / Δt P v = Δr x /Δt u x + Δr y /Δt u y + Δr z /Δt u z Q Il vettore velocità ha la stessa direzione e verso di Δr La sua intensità (lunghezza della freccia) dipende da quanto rapidamente il punto si sposta. 9

10 VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli di tempo molto piccoli. Cioè: v v ist per Δt 0 P Q 10

11 VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA Studiamo la direzione (in un caso bidimensionale) P v La direzione del vettore velocità istantanea è quella della retta tangente alla traiettoria nel punto considerato. 11

12 ACCELERAZIONE VETTORIALE Analogamente possiamo definire l accelerazione vettoriale come: a = Δv/Δt ATTENZIONE! Il vettore accelerazione a NON ha, in generale, la stessa direzione e lo stesso verso dei vettori velocità e spostamento. Studiamo alcuni casi particolarmente significativi 12

13 VELOCITÀ COSTANTE MOTO RETT. UNIF. Caso più semplice: Il vettore velocità è costante v = cost v 1 = v 2 a = 0 In questo caso, si ricade nel moto rettilineo uniforme v ha la stessa direzione, traiettoria rettilinea! v ha lo stesso modulo, moto uniforme! IMPORTANTE: v = cost v = cost Anche se il modulo della velocità resta costante, possono comunque variare direzione e verso 13

14 MOTO RETTILINEO NON UNIFORME Il vettore velocità è costante in direzione e verso ma non in modulo. Q v 2 P v 1 Che direzione ha il vettore accelerazione? 14

15 MOTO RETTILINEO NON UNIFORME Ha la direzione di Δv! Questo accade in ogni caso In questo caso, però, l accelerazione ha anche la stessa direzione del vettore velocità v Ciò accade sempre nei moti rettilinei Il moto è contenuto lungo una retta, in un unica direzione v 2 Dv=Dv u T Q v 1 a=dv/dt=dv/dt u T P Caso di un auto che accelera su un rettilineo 15

16 CASO GENERALE Se invece il vettore accelerazione, in qualche istante t, non ha la stessa direzione del vettore velocità: L accelerazione fa cambiare direzione al vettore velocità, oltre che il suo modulo Di conseguenza, il moto non è più rettilineo: la traiettoria cambia direzione Studiamo i casi più importanti di moto curvilineo, limitandoci a casi di moti nel piano (in due dimensioni): Moto circolare uniforme Moto parabolico (o del proiettile) 16

17 17 Cinematica unidimensionale

18 RICHIAMI DI MATEMATICA Equazione della parabola y = ax 2 + bx+c a>0: concavità rivolta verso l alto a<0: concavità rivolta verso il basso c=0: la parabola passa per l origine c 0: la parabola interseca l asse y nel punto di coordinate (0,c) 18

19 RICHIAMI DI MATEMATICA Parabola con concavità verso il basso (a<0) Come trovare i punti x 1 e x 2 di intersezione con l asse delle x? Poniamo y = 0 e risolviamo l equazione di secondo grado per trovare le due soluzioni x 1 e x 2 ax 2 + bx+ c = 0 La parabola passa per l asse x (con y = 0) nei punti x 1 e x 2 19

20 ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ a = g = 9.8 m/s 2 SUPERFICIE TERRESTRE L accelerazione di gravità è diretta verso il centro della Terra ed ha il valore (modulo) di g = 9.8 m/s 2 Negli esercizi di cinematica/dinamica si trascura la curvatura terrestre e si assume che g sia semplicemente diretta verso il basso. 20

21 MOTO DEL PROIETTILE a = g = 9.8 m/s 2 a = g = 9.8 m/s 2 SUPERFICIE TERRESTRE Un punto materiale parte dall origine del sistema di riferimento con velocità iniziale v 0 inclinata di un angolo θ sull orizzontale. Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale. Osserviamo che l accelerazione è presente solo nella direzione y. Scriviamo separatamente le equazioni orarie del moto del punto materiale su asse x ed asse y. 21

22 MOTO DEL PROIETTILE a = g = 9.8 m/s 2 a = g = 9.8 m/s 2 SUPERFICIE TERRESTRE Che tipo di equazioni orarie governano il moto del punto materiale? asse X: non c è accelerazione: equazione del moto rettilineo uniforme asse Y: c è accelerazione g: equazione del moto rettilineo uniformemente accelerato 22

23 MOTO DEL PROIETTILE a = g = 9.8 m/s 2 a = g = 9.8 m/s 2 SUPERFICIE TERRESTRE Osserviamo che, dopo la scomposizione dei moti sui due assi: Otteniamo due moti unidimensionali (e rettilinei), molto più semplici da trattare I due moti avvengono INDIPENDENTEMENTE (ognuno non influenza l altro) e possiamo studiarli separatamente 23

24 ATTENZIONE!!!! L accelerazione è indipendente dalla direzione della velocità.

25 MOTO DEL PROIETTILE Dalle due equazioni orarie e dall equazione della traiettoria si possono ricavare numerose caratteristiche salienti sul moto. Ad esempio: Quanto tempo il proiettile resta in aria? Qual è la massima altezza raggiunta? A che distanza tocca Terra? 25

26 MOTO DEL PROIETTILE a = -g = -9.8 m/s 2 ATTENZIONE! Il vettore g è opposto al verso positivo dell asse y! Scomponiamo il vettore v 0 nelle due componenti lungo gli assi x ed y: v 0x =v 0 cosq v 0y =v 0 senq 26

27 MOTO DEL PROIETTILE a = g = 9.8 m/s 2 Scriviamo ora le equazioni del moto per i tipi di moto sugli gli assi x ed y: Moto rettilineo uniforme (v costante) Moto rettilineo unif. accelerato (a costante) 27

28 MOTO DEL PROIETTILE Per il nostro caso particolare: Il proiettile parte dall origine: x 0 = 0, y 0 = 0 L accelerazione è quella di gravità: a = -g Le equazioni del moto, allora, diventano: x = v 0 x t y = v 0 y t gt 2 Moto rettilineo uniforme (v costante = v 0x ) Moto rettilineo unif. accelerato (a costante = -g) 28

29 MOTO DEL PROIETTILE In sintesi, il moto del proiettile è descritto dalle equazioni orarie: e per le velocità da : ove le velocità iniziali si scompongono in: v 0x =v 0 cosq v 0y =v 0 senq 29

30 MOTO DEL PROIETTILE Equazione della traiettoria: Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava y in funzione di x, determinando così l equazione della traiettoria x = v 0 x t y = v 0 y t gt 2 y = - g 2v 2 0 x t = x v 0 x y = v 0 y x 2 + v 0 y v 0 x x x v 0 x g x2 v 2 0 x 30

31 MOTO DEL PROIETTILE y = - g 2v 2 0 x x 2 + v 0 y v 0 x x Abbiamo trovato un equazione di 2 grado del tipo: y = ax 2 + bx + c cioè l EQUAZIONE DI UNA PARABOLA! La parabola passa per l origine (c = 0) ed ha la concavità rivolta verso il basso (a < 0) 31

32 ALTEZZA MASSIMA Quanto vale l altezza massima raggiunta dal corpo? Quando il corpo raggiunge il punto di massima altezza la sua velocità lungo l asse verticale si annulla! v y = v 0y gt = 0 Da questa relazione possiamo ricavare il tempo impiegato a raggiungere l altezza massima: t=t max t max = v 0y /g E infine, dall equazione del moto lungo l asse y possiamo determinare l altezza massima: y max = v 0 y t max gt 2 max = v 0 y v 0 y 0 y g gv2 y g 2 max = 1 2 v 2 0 y g 32

33 TRAIETTORIA DEL PROIETTILE Scomposizione della velocità sui due assi v x resta costante = v x0, v y decresce costantemente nel tempo Nel punto più alto della traiettoria, v y = 0 Nel punto di atterraggio (per y = 0) si ha v y = v y0 33

34 TRAIETTORIA DEL PROIETTILE La stessa situazione, in una animazione: 34

35 GITTATA La gittata è la distanza lungo l asse x fra il punto in cui il corpo si stacca dal suolo e il punto in cui il corpo tocca nuovamente il suolo. Essa dipende dal valore della velocità iniziale v 0 e dall angolo di inclinazione θ Nel disegno: x = gittata 35

36 GITTATA Dalla definizione, per trovare la formula della gittata basta calcolare, dall equazione della parabola, il valore di x per y=0: Ovvero, mettere a sistema l equazione della parabola con l equazione dell asse x (cioè y=0) y = - y = 0 g 2v 2 0 x x 2 + v 0 y v 0 x x 36

37 GITTATA - g 2v 2 0 x x 2 + v 0 y v 0 x x = 0 Equazione di 2 grado del tipo: ax 2 + bx = 0, le cui soluzioni sono: x 1 = 0 x 2 = b/a Le soluzioni dell equazione sono, nel nostro caso: x 1 = 0 x 2 = v 0 y 2v 2 0 x v 0 x g = 2v 0 x v 0 y g = 2v2 cosqsenq 0 = v2sen(2q) 0 g g 37

38 GITTATA E TEMPO DI VOLO Abbiamo trovato l espressione della gittata: Dx = x 2 - x 1 = v2 0 sen(2q) g x = v 0x t Dx = v 0x t volo t volo = Dx v 0 x 38

39 GITTATA E TEMPO DI VOLO La gittata massima si ha per un angolo di 45 La gittata è la stessa per angoli simmetrici rispetto a 45 Il massimo tempo di volo si ottiene per un angolo di 90 (lungo y) Ciò vale anche per l altezza massima (v Y è tutta lungo y) 39

40 MOTO DEL PROIETTILE ATTENZIONE! Le formule trovate finora si riferiscono a casi in cui l altezza di partenza del proiettile è 0 (y 0 = 0)! Non possono essere usate per situazioni diverse! La distanza R non può essere calcolata con la formula della gittata! R 40

41 MOTO DEL PROIETTILE Angolo di lancio: direzione della velocità iniziale rispetto all orizzontale. In questo caso la componente y della velocità iniziale è nulla (v 0y =0).

42 ESERCIZIO 1 Da una fontana da irrigazione l acqua fuoriesce con una velocità di modulo v 0 = 17 m/s e formante un angolo di θ = 58 sopra l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, determinare: a. Il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza b. La massima altezza c. Il tempo di volo d. La distanza del punto di impatto dall origine a) 1.47 s b) 10.6 m c) 2.94 s d) 26.5 m 42

43 Moto lungo x moto rettilineo uniforme Moto lungo y: agisce l accelerazione di gravità moto rettilineo uniformemente accelerato Dati iniziali: x 0 =0, y 0 =0, a=-g, v 0 =17m/s, q=58 y -g Equazioni utili alla soluzione del problema. Leggi orarie: x = x 0 + v 0 x t y = y 0 + v 0 y t at 2 x = v 0 cosqt y = v 0 senqt gt 2 e velocità: ϑ x v x = v 0 x v y = v 0 y + at v x = v 0 cosq v y = v 0 senq - gt

44 a) Sia t * è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Nel punto di massima altezza : v y (t * ) = v 0y -gt* =0 t * = v 0y /g = v 0 sen q /g = 1.47 s b) Il punto di massima altezza può essere determinato dalla legge oraria del moto lungo y (uniformemente accelerato) al tempo t*: y max = y(t*) = v 0y t*-1/2gt* 2 =v 0 senqt*-1/2gt* 2 = =17m/s sen(58 ) 1.47s-1/2 9.8m/s 2 (1.47s) 2 = 10.6 m

45 c) Il tempo di volo corrisponde al tempo impiegato dal proiettile (nel nostro caso il getto d acqua) a ritornare al suolo, perciò coincide con il tempo impiegato a percorrere un tratto pari alla gittata. y=0 => v 0y t** -1/2 gt** 2 =0 =>t**= 2 v 0y /g t**=2 (14.4m/s)/(9.8m/s 2 )=2.95s d) Noto il tempo impiegato a ritornare al suolo, si può calcolare lo spazio percorso lungo x: x = v 0x t**= 17m/s cos(58) 2.95s=14.4m/s 2.9s 26 m Oppure, dalla formula della gittata, calcolare direttamente Dx = v 0 2 sin(2q)/g=(17m/s) 2 sen(2 58 )/9.8m/s 2 26 m

46 2. MOTO PARABOLICO Un aereo da soccorso vola ad una velocità v = 360 km/h alla quota costante di h = 490 m. Quale distanza x, in orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall aereo? x = 1000 m = 1 Km 46

47 La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che rimane costante (v 0y =0). x= v 0x t con v 0x = 360 km/h =100 m/s y h v 0 =v 0x Condizioni iniziali: - x 0 =0 - y 0 =h - v oy =0 - v 0x =100m/s x

48 SOLUZIONE ESERCIZIO 6 E necessario determinare t * = tempo impiegato dal pacco a raggiungere il suolo y fin (t*)=0 y(t)=h-gt 2 /2 Dunque, all istante t*: 0=h-g t * 2 /2 t *2 =2h/g t * = (2h/g) 1/2 =10 s x(t*) = v 0x t*= v 0x (2h/g) 1/2 = =100m/s*10s=1000m

49 ESERCIZIO 3 Un cannone con un angolo di tiro di 45 si trova a 500 m dalla base di un muro alto 100 m. A che velocità deve essere sparato il proiettile per colpire l oggetto posto sulla sommità del muro? Se l oggetto si sposta e viene mancato, a che distanza ricade il proiettile al suolo e a che velocità? a) v = 78.3 m/s b) x = 625 m c) v = 78.3 m/s 49

50 ESERCIZIO 4 Un giocatore di baseball lancia la palla con una inclinazione di un angolo α = 60 sull orizzontale. Dopo t* = 2 s dal lancio la palla sta ancora salendo e la sua velocità ha un inclinazione di θ = 30 sull orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, determinare : a. Il modulo della velocità con cui il giocatore ha lanciato la palla b. La quota della palla, rispetto al punto di lancio dopo t* = 2 s a) v 0 = 34.0 m/s b) h = 39.3 m 50

51 51 Cinematica unidimensionale

52 MOTO CIRCOLARE UNIFORME Moto in cui un punto materiale si muove lungo una circonferenza con intensità della velocità costante Uniforme = Il modulo della velocità è costante v = Ds Dt = 2p R T = wr Dove: T = periodo n = 1/T = frequenza (num. di giri nell unità di tempo) w = 2p T 52

53 MOTO CIRCOLARE UNIFORME Sistema di riferimento dedicato: 53

54 MOTO CIRCOLARE UNIFORME La traiettoria è una circonferenza. Il vettore velocità è costante in modulo ma non in direzione e verso, dato che la traiettoria non è rettilinea Il vettore Δv punta verso l interno della traiettoria, in particolare verso il centro del cerchio (senza dimostrazione) a = Dv Dt u N Conseguentemente, anche il vettore accelerazione punta verso il centro della circonferenza (e NON è nullo) 54

55 MOTO CIRCOLARE UNIFORME Se il vettore velocità è costante in modulo ma non in direzione e verso, possiamo scrivere per il modulo della velocità: v 1 = v 2 = v Inoltre, se θ è piccolo, si può approssimare la lunghezza del vettore Δv a quella di un arco di circonferenza Δs (di raggio v), e quindi: Δv Δs = v θ, dunque θ = Δv/v Δs 55

56 MOTO CIRCOLARE UNIFORME Ciò ci aiuta a calcolare il modulo dell accelerazione: Se infatti scriviamo: θ = arco(ab)/r= vδt/r (dalla relazione s = vt per moti unifomi) Dalle relazioni per θ: θ = Δv/v θ = vδt/r vδt/r = Δv/v a = Δv/Δt = v 2 /R

57 MOTO CIRCOLARE UNIFORME a D Dt v 2 v un u 2 N R Ru detta accelerazione centripeta N Quella centripeta è l unica componente dell accelerazione in un moto circolare uniforme, ed è legata alla variazione della direzione della velocità istantanea Nessuna componente in direzione tangenziale u T 57

58 MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME Nel caso di moto circolare non uniforme anche il modulo della velocità varia. Esiste dunque un altra componente della accelerazione, chiamata accelerazione tangenziale: a T = Δ v /Δt u T Legata alla variazione del solo modulo della velocità 58

59 MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME Si può quindi scrivere, complessivamente, l accelerazione vettoriali come la somma delle due componenti a = D v Dt u T + v2 R u N Con: Acc. Tangenziale = descrive la variazione del modulo di v Acc. Centripeta = descrive la variazione della direzione di v 59

60 MOTO CURVILINEO In caso di una traiettoria non circolare: a = D v Dt u T + v2 R u N L accelerazione vettoriale istantanea può essere calcolata punto per punto approssimando localmente la traiettoria ad una circonferenza con un certo raggio di curvatura R 60

61 MOTO CURVILINEO OSSERVAZIONE FINALE: L accelerazione vettoriale è dunque la somma vettoriale delle sue due componenti tangenziale e centripeta: a = a T + a N = D v Dt u T + v2 R u N a = a T 2 + a N 2 = D v Dt u T + v2 R u N 61

62 ESERCIZIO 1 La Luna ruota attorno alla Terra su un orbita quasi circolare di raggio pari a 60 raggi terrestri (R T = 6400 km) impiegando 27,3 giorni per compiere un giro. a. Qual è la velocità v con cui la Luna percorre la sua orbita b. Qual è l accelerazione centripeta della Luna? c. Quante rivoluzioni compie in un anno? a) 1, m/s b) m/s 2 c) 13,37 62

63 ESERCIZIO 2 Si consideri la ISS e si supponga che essa sia in orbita circolare intorno alla terra ad una altitudine di circa R = 400 km ad una velocità di circa v = km/h. Sapendo che R T = 6400 km, calcolare: Periodo dell orbita Accelerazione centripeta T = 2πR orb /v = 2π(R+R T )/v = 1.6 h a c = v 2 /R = (2πR orb )/T) 2 /R orb = 4π 2 *(R+R T )/T 2 = 8 m/s 2 a) T = 1.54 h b) a c = 8.7 m/s 2 63