Cinematica del punto. Moto nel piano. Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

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1 Cinematica del punto Moto nel piano Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un punto materiale che si muove nello spazio descrivendo nel caso più generale una LINEA CURVA come traiettoria Descrizione del moto diventa più complessa Non basta precisare solo il valore numerico dello spostamento, ma occorre specificare: o La direzione del moto o Il verso del moto Posizione e velocità VETTORE POSIZIONE o RAGGIO VETTORE r t = OP = x t u x + y t u y + z t u z r: congiunge l origine con il punto P x, y, z: componenti scalari del vettore lungo gli assi cartesiani, ovvero coordinate del punto P

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Posizione e velocità Consideriamo un punto materiale in movimento dal punto P 1 al punto P 2 Il suo vettore posizione sarà rispettivamente r 1 = r(t 1 ) all istante t 1 e r 2 = r(t 2 ) all istante t 2 = t 1 + Δt o VETTORE SPOSTAMENTO Δr = r 2 r 1 = Δx u x + Δy u y + Δz u z Somma vettoriale degli spostamenti sui 3 assi, come se fossero indipendenti y O r 1 r 2 x P 1 z Δr P 2

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Posizione e velocità Al tendere dell intervallo Δt 0 si ha che Il punto P 2 si avvicina a P 1 Δr tende a coincidere con la direzione della TANGENTE alla traiettoria Tangente P 1 Δr P 2 r 1 (t) r 2 (t + Δt) O

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A VELOCITÀ VETTORIALE Vettore VELOCITÀ MEDIA Posizione e velocità v M = Δr Δt Dato dal rapporto incrementale tra vettore spostamento Δr (spazio percorso) e intervallo di tempo Δt (tempo impiegato a percorrerlo). o Componenti cartesiane v M = Δx u Δt x + Δy Δt u y + Δz Δt u z r 1 Δr r 2 o Modulo: rapporto tra la misura di Δr e quella di Δt o Direzione: Coincide con quella della corda P 1 P 2 o Verso: è quello di Δr

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A VELOCITÀ VETTORIALE Vettore VELOCITÀ ISTANTANEA Posizione e velocità Δr v = lim Δt 0 Δt = dr dt Limite a cui tende la velocità media calcolata su intervalli di tempo sempre più piccoli Coincide con la DERIVATA rispetto al tempo del vettore posizione r o Modulo: limite del rapporto tra le quantità infinitesime Δr e Δt o Direzione: Coincide con quella della corda QP, che risulta TANGENTE alla traiettoria nel punto occupato nell istante considerato o Verso: è quello di Δr

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Per ricavare la DIREZIONE del vettore derivato, si parte dal caso più semplice della derivata di un VERSORE (vettore di modulo unitario) u(t), dipendente dal tempo Istante iniziale u(t), istante finale u t + Δt Δθ angolo tra i versori u(t) e u t + Δt Ricordando la regola del parallelogramma: Δ u = u t + Δt u(t) Al limite per Δt 0: Δ u d u e Δθ dθ d u risulta ORTOGONALE a u(t) Modulo d u = u(t) dθ = dθ Direzione u N (N = normale) Derivata di un vettore d u dt = dθ dt u N Derivata di un versore = vettore con modulo in generale non unitario e direzione ortogonale a quella del versore derivato

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Rappresentazione della derivata del vettore a nella sua forma generale a t = da(t) dt = da dt = da dt Indipendenza dai sistemi di riferimento (che possono anche essere variabili e non fissi) o u: Versore della direzione del vettore a d u u + a dt dθ u + a dt u N o u N : Versore perpendicolare alla direzione del vettore a Primo termine: dipende solo dalla variazione del modulo nel tempo Secondo termine: dipende solo dalla variazione della direzione nel tempo Modulo del vettore derivato a Derivata di un vettore a = da dt 2 + a dθ dt 2

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Posizione e velocità VELOCITÀ ISTANTANEA (coord. Cartesiane) v(t) = dr dt = dx dt u x + dy dt u y + dz dt u z y Tangente = v x u x + v y u y + v z u z v x = dx dt v y = dy dt v z = dz dt v y v φ v x Modulo: v = v = v 2 x + v 2 y + v2 z Traiettoria Direzione rispetto agli assi cartesiani (nel caso di moto 2D nel piano xy) φ: angolo tra il vettore v e l asse x tan φ = v x / v y Date le componenti, è possibile ricostruire la direzione del vettore O x

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Posizione e velocità VELOCITÀ ISTANTANEA (Coord. Polari) v = dr dt = dr dt u r + r dθ dt u θ = v r + v θ v θ v u r : versore direzione radiale, lungo r u θ : versore direzione ortogonale a u r v r = dr dt u r: Velocità RADIALE Dipende dalla variazione del modulo della velocità v θ = r dθ dt u θ: Velocità TRASVERSA Dipende dalla variazione della direzione del vettore velocità Modulo: u θ ur r θ v r v = dr dt 2 + r dθ dt 2

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Posizione e velocità Vettore POSIZIONE o RAGGIO VETTORE r = r t 0 + න v t dt t 0 t Integrazione esplicita lungo le componenti (moti rettilinei proiettati sugli assi) Resta essenziale la conoscenza delle CONDIZIONI INIZIALI! Il moto in più dimensioni può essere descritto da moti indipendenti lungo gli assi del piano cartesiano. Ogni cambiamento lungo un asse non modifica il moto lungo un altro asse

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 2.1 Un punto materiale si muove in modo che le sue coordinate varino nel tempo secondo le espressioni: x t = 0. 3 t t + 28 y t = t t + 30 Le unità di misura delle coordinate x,y e del tempo sono rispettivamente m e s. Si calcoli: 1. La velocità del punto materiale (in modulo, direzione e verso) al tempo t = 15 s.

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A ACCELERAZIONE VETTORIALE Accelerazione nel moto piano Vettore ACCELERAZIONE MEDIA a M = Δv Δt Rapporto tra la variazione di velocità relativa ad un certo intervallo di tempo e l intervallo di tempo stesso o Esprime la rapidità di variazione della velocità nel tempo Δv v 1 v 2

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Accelerazione nel moto piano ACCELERAZIONE VETTORIALE Vettore ACCELERAZIONE ISTANTANEA Δv a(t) = lim Δt 0 Δt = dv dt y a y a x a Componenti cartesiane a = a x u x + a y u y + a z u z a x = dv x = d2 x a dt dt 2 y = dv y = d2 y dt dt 2 O a z = dv z Traiettoria dt = d 2 z dt 2 x o Per stabilire il moto considerato basta considerare il «moto delle singole componenti» trattate indipendentemente l una dall altra o Ogni componente si tratta come nella cinematica 1D ed il moto risultante è dato dalla composizione dei moti delle varie componenti

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In generale, l accelerazione deve esprimere le variazioni della velocità sia come MODULO che come direzione: Studio di 2 COMPONENTI L accelerazione non può essere parallela alla velocità, anzi sarà diretta verso la concavità della curva che rappresenta la traiettoria a(t) = dv(t) dt = d2 r(t) dt 2 Utilizzando le regole di derivazione dei vettori: a = d dt v u T = dv dt u T + v d u T dt = dv dt u T + v dφ dt u N 1. Termine legato alla variazione del modulo della velocità - u T versore tangenziale alla traiettoria, parallelo alla velocità 2. Termine legato al cambiamento di direzione del moto - u N versore ortogonale alla traiettoria, diretto verso la concavità - dφ dt Accelerazione nel moto piano 1 2 indica quanto rapidamente varia la direzione del vettore velocità

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Accelerazione nel moto piano Si consideri la circonferenza tangente alla traiettoria nel punto P, detta CIRCONFERENZA OSCULATRICE C: Centro di curvatura della traiettoria nel punto P R = CP: raggio di curvatura (non vettore posizione!!) ds: Arco di traiettoria dϕ: angolo sotteso da ds Legame: ds = R dϕ Si può quindi esprimere dϕ dt dϕ dt = dφ ds ds dt = 1 R v come: R ds

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Formula generale per l accelerazione a = dv dt u T + v2 R u N = a T + a N a T Accelerazione tangenziale a N Accelerazione normale o centripeta Diretta sempre verso il CENTRO di curvatura! Modulo: Accelerazione nel moto piano a = a T 2 + a N 2 = dv dt 2 + v2 R 2 Vettore VELOCITÀ v = v t 0 t + න a t dt Integrazione esplicita lungo le componenti t 0

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esempi 1. a = 2 u x Moto uniformemente accelerato sull asse x Moto rettilineo uniforme sugli altri assi 2. a = costante Affinché un vettore sia costante, lo devono essere tutte le sue componenti a x = costante, a y = costante, a z = costante Su ogni asse c è un moto uniformemente accelerato

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto parabolico Moto in 2D di un punto materiale in CADUTA LIBERA, con velocità iniziale v 0 Punto materiale in queste condizioni è detto PROIETTILE L accelerazione è quella di GRAVITÀ g, diretta verso il basso y v o v 0y θ h m 0 v 0x R 4 x Differenza con il moto 1D della caduta libera Velocità iniziale ed accelerazione NON sono tra loro PARALLELI o Il moto avviene NEL PIANO DEFINITO da questi DUE VETTORI (moto 2D)

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto parabolico ACCELERAZIONE a = g = g u y VELOCITÀ INIZIALE v 0 = v 0,x u x + v 0,y u y = v 0 cos θ 0 u x + v 0 sen θ 0 u y VELOCITÀ v 0 = v 0 cos θ 0 u x + v 0 sen θ 0 gt u y Analisi SEPARATA dei moti sugli assi cartesiani ASSE X MOTO RETTILINEO UNIFORME o a x = 0 o v x = v 0 cos θ 0 o x t = x 0 + v 0 cos θ 0 t ASSE Y MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO a y = g v y t = v 0 sen θ 0 gt y t = y 0 + v 0 sen θ 0 t 1 2 g t2

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto parabolico TRAIETTORIA (PARABOLICA) y x = y 0 + tan θ 0 x 1 2 v 0 g x 2 cos θ 0 2 GITTATA ORIZZONTALE Distanza raggiunta dal proiettile lungo l asse x sino a che esso non raggiunge nuovamente la quota iniziale o Valida SOLO SE il proiettile ripassa per la stessa quota iniziale, ovvero se y f = y 0 R = x 0 + 2v 0 2 g sen θ 0 cos θ 0 = x 0 + v 2 0 g sen(2θ 0) Gittata massima R max = v 0 2 g per θ = 45 (infatti sen 2θ = 1)

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto parabolico VELOCITÀ (in funzione della posizione!) v y 2 (y) = v 0 sen θ 0 2 2g y y 0 Avendo sostituito t = v 0 sen θ 0 v y /g ALTEZZA MASSIMA RAGGIUNTA (valida per v y = 0 oppure x = R/2) y max = y 0 + v 0 senθ 0 2 2g

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 2.2 Una nave si trova ad una distanza di 560 m dal forte che difende il porto di un isola. Il forte è dotato di un cannone che lancia proiettili alla velocità v 0 = 82 m/s. 1. Con quale angolo di elevazione (o alzo) si devono lanciare i proiettili per colpire la nave?

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un fucile è puntato orizzontalmente contro un bersaglio alla distanza di 30 m. Il proiettile colpisce il bersaglio 1. 9 cm sotto il centro. Si calcolino 1. Il tempo di volo del proiettile; Esercizio La velocità del proiettile all uscita del fucile.

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un aereo che vola in picchiata a velocità costante con angolo di 37 rispetto l orizzontale sgancia un proiettile alla quota di 730 m dal suolo. Il proiettile colpisce il terreno dopo 5 s. 1. Qual è la velocità dell aereo? Esercizio 2.4

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In un bar, l avventore lancia il boccale della birra lungo il banco. Il barista non si accorge del lancio e il boccale cade verso il suolo. Se il banco è alto m e il boccale cade a 1. 4 m dalla base del banco, si calcolino 1. La velocità iniziale del boccale; Esercizio La velocità nel momento in cui tocca il suolo.

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 2.6 Un calciatore lancia il pallone ad una distanza di 36 m dalla porta. Per fare gol, il pallone deve passare sotto la traversa che è alta m. 1. Sapendo che il pallone parte con angolo 53 e velocità 20 m/s, determinare se il calciatore segna il gol oppure no.

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un proiettile viene lanciato verso l alto da un balcone posto ad altezza m con inclinazione 40 rispetto l orizzontale e velocità iniziale v 0 = 3 m/s. 1. Determinare dove cade al suolo. Esercizio 2.7

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto circolare Moto di un punto materiale la cui traiettoria è una circonferenza o un arco di circonferenza Velocità (vettore tangente alla traiettoria) varia CONTINUAMENTE in direzione Accelerazione centripeta sarà sempre diversa da zero!

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto circolare Descrizione del moto lungo la circonferenza di raggio R in termini di: Spostamento (o arco) s t percorso sulla circonferenza Angolo θ t sotteso dall arco percorso o Legame: s t = R θ(t) Calcolo velocità: v t = ds t dt VELOCITÀ ANGOLARE ω dθ dt Vettore VELOCITÀ dθ t = R dt UNITÀ DI MISURA rad/s v = Rω u θ Velocità v proporzionale al raggio R

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A MOTO CIRCOLARE UNIFORME (v e ω COSTANTI) LEGGI ORARIE (coord. polari) o s 0 = s t = 0 e θ 0 = θ t = 0 s t = s 0 + v t θ t = θ 0 + ω t «Uniforme» = Velocità costante in modulo ACCELERAZIONI a = a N = v2 R = ω2 R Si tratta di un MOTO ACCELERATO con accelerazione costante, ortogonale alla traiettoria Accelerazione proporzionale al raggio R a T = 0 Moto circolare

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto circolare MOTO CIRCOLARE UNIFORME (v e ω COSTANTI) LEGGI ORARIE (coord. cartesiane) x t = R cos θ t = R cos ωt + θ 0 y t = R sen θ t = R sen ωt + θ 0 Rappresentano due MOTI ARMONICI di eguale ampiezza e fase iniziale, sfasati tra loro di π/2 o Periodo del moto armonico (tempo necessario per fare UN GIRO COMPLETO) T = 2πR v = 2π ω o Frequenza del moto armonico (NUMERO DI GIRI per unità di tempo) ν = 1 T = ω 2π o Attenzione a non confondere la velocità angolare con la pulsazione!

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto circolare MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME Velocità varia anche in MODULO! Accelerazione centripeta e tangenziale sono entrambe variabili! a n Ԧv a t Ԧa ACCELERAZIONE ANGOLARE LEGGI ORARIE α = dω dt = d2 θ dt 2 = 1 dv R dt = a T R ω t = ω 0 + න α t dt t UNITÀ DI MISURA rad/s 2 t 0 θ t = θ 0 + න ω t dt t 0 t

34 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Moto circolare MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO α = costante, ovvero a T = costante LEGGI ORARIE ω t = ω 0 + α t θ t = θ 0 + ω 0 t + 1 α t^2 2 Accelerazione centripeta: o a N = ω 2 R = ω 0 + αt 2 R

35 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A NOTAZIONE VETTORIALE Moto circolare VELOCITÀ DEL MOTO CIRCOLARE v = ω r ω Dove ω è il vettore velocità angolare Direzione PERPENDICOLARE al piano del moto Verso orario Verso secondo la regola della mano destra ACCELERAZIONE DEL MOTO CIRCOLARE a = α r + ω v a T Modulo: αr a N Modulo: ω 2 R ω Verso antiorario

36 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 2.8 Un pilota di caccia vola ad una velocità di 694 m/s. 1. Qual è l accelerazione di cui risente se percorre una traiettoria circolare di raggio R = 5. 8 km?

37 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un satellite terrestre si muove con orbita circolare alla quota di 640 km sopra la Terra (raggio R T = 6370 km), con un periodo di rotazione di 98 min. Si calcolino: La velocità del satellite; La sua accelerazione centripeta. Esercizio 2.9

38 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A La ruota del luna park ha raggio R = 15 m e compie 5 giri in 1 min. Si calcolino: 1. Il periodo; Esercizio L accelerazione centripeta nel punto più in alto; 3. L accelerazione centripeta nel punto più basso.

39 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A La signora Rossi compie un viaggio Roma Viterbo Roma (216 km complessivamente). Si ferma mezz ora a Viterbo e rientra a Roma 3 ore dopo. La sua velocità media è: a) 72 km/h b) 0 m/s c) 20 m/s d) 86,4 km/h Quesiti di riepilogo (1) e) I dati forniti non sono sufficienti

40 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A La signora Rossi compie un viaggio Roma Viterbo Roma (216 km complessivamente). Si ferma mezz ora a Viterbo e rientra a Roma 3 ore dopo. La sua velocità media è: a) 72 km/h b) 0 m/s c) 20 m/s d) 86,4 km/h Quesiti di riepilogo (1) e) I dati forniti non sono sufficienti

41 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (2) Quale delle seguenti affermazioni relative al moto di un punto materiale è corretta? a) La legge oraria consente di determinare la traiettoria del moto b) La velocità media è una grandezza scalare mentre quella istantanea è vettoriale c) Qualunque sia la traiettoria in un moto uniforme la velocità è costante d) Se in un moto la velocità è costante il moto è rettilineo uniforme e) Se in un moto la velocità varia, esso avviene necessariamente su traiettoria curvilinea.

42 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (2) Quale delle seguenti affermazioni relative al moto di un punto materiale è corretta? a) La legge oraria consente di determinare la traiettoria del moto b) La velocità media è una grandezza scalare mentre quella istantanea è vettoriale c) Qualunque sia la traiettoria in un moto uniforme la velocità è costante d) Se in un moto la velocità è costante il moto è rettilineo uniforme e) Se in un moto la velocità varia, esso avviene necessariamente su traiettoria curvilinea.

43 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In un moto curvilineo uniforme i due vettori velocità e accelerazione sono: a) Entrambi nulli b) Perpendicolari c) Paralleli Quesiti di riepilogo (3) d) Nulla l accelerazione e diversa da zero la velocità e) L accelerazione ha sia una componente tangenziale che una centripeta

44 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In un moto curvilineo uniforme i due vettori velocità e accelerazione sono: a) Entrambi nulli b) Perpendicolari c) Paralleli Quesiti di riepilogo (3) d) Nulla l accelerazione e diversa da zero la velocità e) L accelerazione ha sia una componente tangenziale che una centripeta

45 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In 20 s la velocità di uno sciatore aumenta da 72 km/h a 90 km/h. Qual è la sua accelerazione? a) 4 m/s 2 b) 0. 9 m/s 2 c) 11 m/s 2 d) m/s 2 e) 2. 5 m/s 2 Quesiti di riepilogo (4)

46 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In 20 s la velocità di uno sciatore aumenta da 72 km/h a 90 km/h. Qual è la sua accelerazione? a) 4 m/s 2 b) 0. 9 m/s 2 c) 11 m/s 2 d) m/s 2 e) 2. 5 m/s 2 Quesiti di riepilogo (4)

47 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (5) Nel diagramma è riportata la velocità di un'auto in funzione del tempo. Che cosa rappresenta l'area del trapezio? a) La velocità del corpo dopo 60 secondi b) L'accelerazione del corpo al tempo t = 60 s c) Lo spazio percorso dal corpo in 60 secondi d) La velocità media del corpo e) Fisicamente non rappresenta niente

48 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (5) Nel diagramma è riportata la velocità di un'auto in funzione del tempo. Che cosa rappresenta l'area del trapezio? a) La velocità del corpo dopo 60 secondi b) L'accelerazione del corpo al tempo t = 60 s c) Lo spazio percorso dal corpo in 60 secondi d) La velocità media del corpo e) Fisicamente non rappresenta niente

49 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (6) Un disco ruota di moto circolare uniforme intorno al suo centro. I tre punti A, B, C hanno uguali: a) Frequenza e velocità tangenziale b) Velocità angolare e accelerazione centripeta c) Velocità angolare e periodo d) Velocità tangenziale e periodo e) Velocità tangenziale e accelerazione centripeta

50 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (6) Un disco ruota di moto circolare uniforme intorno al suo centro. I tre punti A, B, C hanno uguali: a) Frequenza e velocità tangenziale b) Velocità angolare e accelerazione centripeta c) Velocità angolare e periodo d) Velocità tangenziale e periodo e) Velocità tangenziale e accelerazione centripeta

51 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (7) Quale delle seguenti affermazioni relative al moto armonico di un punto materiale è errata? a) La velocità è nulla agli estremi di oscillazione b) L accelerazione è massima agli estremi di oscillazione c) L accelerazione è proporzionale allo spostamento d) L accelerazione e la velocità hanno sempre lo stesso segno e) Il punto materiale accelera quando si muove verso il centro

52 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (7) Quale delle seguenti affermazioni relative al moto armonico di un punto materiale è errata? a) La velocità è nulla agli estremi di oscillazione b) L accelerazione è massima agli estremi di oscillazione c) L accelerazione è proporzionale allo spostamento d) L accelerazione e la velocità hanno sempre lo stesso segno e) Il punto materiale accelera quando si muove verso il centro

53 Richiamo calcolo derivate Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A