a = a = costante v x = v t = v x a x = Δv Δt = v v x x t

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1 Moto uniformemente accelerato(1) Se un corpo si muove con accelerazione costante il suo moto si dice uniformemente accelerato a = a = costante In un moto uniformemente accelerato Ø L accelerazione media e quella istantanea sono uguali in ogni istante Ø La velocità cresce o decresce con la stessa rapidità per tutto il tempo. SE: v =v x (0) è la velocità della particella all istante t=0 v x =v x (t) è la velocità della particella al generico istante t a x = a 0 = cost è l accelerazione costante in t v x a x = a 0 = Δv Δt = v v x x t 0 t 0 a 0 t = v x v v t v x = v + a 0 t Equazione di una retta di intercetta v e pendenza a 0

2 Moto uniformemente accelerato(2) v x = v + a 0 t In un moto uniformemente accelerato: Ø la velocità v x ad un instante t è la somma della velocità all istante iniziale v e della variazione di velocità (a 0 t) dovuta alla presenza di un accelerazione Ø La velocità è la derivata rispetto al tempo dello spostamento : v = dx dt Ø Lo spostamento è l integrale della velocità: x(t) = v x dt + c = ( v + a 0 t) dt + c = costanti v dt " # $# + a tdt 0 " # $# + c = v t a 0 t2 + c v dt a 0 tdt

3 Moto uniformemente accelerato(2) # # " # # $ # x(t) = x 0 + v t a 0 t2 x(t) = x 0 + v 0 t a 0 t2 v x (t) = v + a 0 t a x = a 0 = costante x(t = 0) = c c = x 0 Eq. di una parabola nel grafico x-t Eq. di una retta nel grafico v-t Retta parallela all asse delle t nel grafico a-t NB: nel caso particolare di a=0 si ritorna al caso di moto rettilineo uniforme infatti: x(t) = x 0 + v t a 0 t2 = x 0 + v t v x ( t ) = v + a t = v 0 = costante x 0 0 0

4 Caduta libera del grave Caso particolare di moto uniformemente accelerato g = Accelerazione gravitazionale, costante sempre diretta verso il suolo ( centro della terra) g = 9.81m s 2 Approssimazione: assenza della resistenza dell aria un corpo qualsiasi lasciato cadere da una certa altezza, con velocità iniziale nulla, raggiungerà il suolo sempre nello stesso tempo, indipendentemente dalla sua massa e forma

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6 Caduta libera del grave(2) y y(t) = y 0 + v 0 t gt2 v y (t) = v 0 + gt a y = +g y y(t) = y 0 + v 0 t 1 2 gt2 v y (t) = v 0 gt a y = g NB: nella caduta del grave stiamo facendo due assunzioni che sono in realtà delle approssimazioni: 1) Stiamo trascurando la resistenza dell aria 2) Siamo considerando g costante ( in realtà g diminuisce allontanandosi dalla superficie della terra, a 10 km di altezza essa vale circa 9.77 m/s 2 poiché in realtà g=(gm terra )/R 2 dove G è una costante universale, M è la massa della terra e R è la distanza dal centro della Terra Il valore che usiamo noi è l accelerazione gravitazionale al livello del suolo dove R è proprio il raggio della Terra.)

7 Esempio y Una pietra è lanciata dal punto A di un edificio con una velocità iniziale v y0 di 20 m/s. L edificio è alto 50m e la pietra sfiora il bordo dell edificio quando torna giù. a)determinare il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la sua altezza massima. b)determinare l altezza massima al di sopra dell edificio c)determinare il tempo impiegato dalla pietra per ritornare al livello del lanciatore d) Determinare la velocità in quell istante e)determinare la velocità e la posizione della pietra quando t=5.00s f)determinare la posizione della pietra per t=6.00 s La pietra (assimilabile ad una particella) sale arriva al punto B e comincia a riscendere verso il basso perché l accelerazione gravitazionale è sempre diretta verso il suolo. (approssimazione assenza resistenza dell aria => moto uniformemente accelerato) t B =? v y + at gt v B gt B = 0 gt B t B g = s = 2.04s y B =? y = y 0 + v y0 t at2 = y 0 + v y0 t 1 2 gt2 ( ) m 1 2 y B = y A + v y0 t B 1 2 gt 2 = B ( ) 2 m = 20.4m

8 Esempio(continua).. a)determinare il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la sua altezza massima. t B = 2. 04s b)determinare l altezza massima al di sopra dell edificio y B = 20. 4m c)determinare il tempo impiegato dalla pietra per ritornare al livello del lanciatore d) Determinare la velocità in quell istante e)determinare la velocità e la posizione della pietra quando t=5.00s f)determinare la posizione della pietra per t=6.00 s y = y C + v t 1 0 y0 2 gt2 = 0 v y0 t 1 2 gt2 = t v y0 1 2 gt t = 0 C =? soluzioni: 1) t=0, 2) t = 2 v y0 g Istante in cui la pietra è in A = s = 4.08s v C =? Questa dovreste saperla al volo v C gt C v D =? v C gt C = 20.0m s m s = 20.0m s v D gt D = 20.0m s m s = 29.05m s y D =? y D = +v y0 t 1 2 gt2 = m m = 22.6m y E =? y D = +v y0 t gt2 = m m = 50m 2 NB: y E verrebbe -56m ma dopo 50 metri ha raggiunto il suolo => non può andare più giù

9 Moto in due dimensioni In natura molti dei moti si sviluppano su un piano, sono cioè moti bidimensionali. Esempi di moti bidimensionali sono: Ø Moto di un proiettile => la traiettoria è una parabola; Ø Moto dei pianeti intorno al sole => la traiettoria è un ellisse; Ø Moto di un elettrone in un campo elettrico uniforme; y e x Ø Moti di un cavallino da giostra => moto circolare uniforme

10 Moti in due dimensioni-vettori posizione, spostamento e velocità media Espandiamo quanto appreso per il moto unidimensionale al moto di una particella nel piano xy Ragioneremo quindi in termini di vettori SPOSTAMENTO, VELOCITÀ MEDIA, VELOCITÀ ISTANTANEA, ACCELERAZIONE MEDIA, ACCELERAZIONE ISTANTANEA in analogia con quanto visto nel caso unidimensionale in cui trattavamo con la sola componente x di tali vettori VETTORE POSIZIONE VETTORE SPOSTAMENTO r xî + yĵ Δ r r f r i Durante il moto variano nel tempo r t ( ) = x ( t ) î + y ( t ) ĵ Il moto della particella è definito se il vettore è noto in ogni istante r ( t) Δr ( t) = r ( t) r ( t) f i VETTORE VELOCITÀ MEDIA Δ v Δ r Δt y i ˆj Poiché la velocità media è data dal rapporto del vettore spostamento con uno scalare (Δt) anche la velocità media è un vettore ed è diretta come Δr y f ˆj x iˆ i x f iˆ

11 Moto in due dimensioni- vettore velocità istantanea (1) NB: Poiché lo spostamento non dipende dal percorso effettuato per andare dalla posizione all istante iniziale A alla posizione all istante finale B anche la velocità sarà indipendente dal percorso tra i due punti e quindi anche nel moto bidimensionale la velocità media sarà nulla se il punto iniziale e finale coincidono Prendiamo una traiettoria bidimensionale e consideriamo un punto materiale che dalla posizione A sulla traiettoria si sposta in un intervallo di tempo Δt nella posizione B. Se pensiamo di ridurre sempre di più l intervallo di tempo, la posizione raggiunta dal punto in tale intervallo si avvicinerà sempre di più ad A ed la direzione del vettore spostamento si approssimerà sempre di più a quella della tangente alla curva in A Nel limite di Δt 0 si ottiene il vettore velocità istantanea: VETTORE VELOCITÀ ISTANTANEA v lim Δt 0 Δ r Δt = d r dt Derivata del vettore posizione rispetto al tempo

12 Moto in due dimensioni- vettore variazione della velocità istantanea NB:Il vettore velocità istantanea è diretto, in ogni punto della traiettoria come la tangente alla traiettoria in quel punto e nel verso del moto Quando un punto si muove sul piano xy il vettore velocità varia istante dopo istante in modo da rimanere sempre tangente alla traiettoria y A v i v i r i B v f v f Δ v = v f v i rf O x Δ v = v f + ( v i ) v f Si introduce quindi il vettore: v i Vettore Variazione della velocità istantanea Δ v = v f v i

13 Moto in due dimensioni-vettore accelerazione istantanea Si definisce : Vettore accelerazione istantanea Attenzione a lim Δ v Δt = d v dt Δt 0 Derivata del vettore velocità rispetto al tempo L accelerazione può variare la velocità in modi differenti, modificando il modulo della velocità e/o la direzione e/o il verso. Nei moti rettilinei l unica cosa che poteva variare era il valore numerico della velocità ed il suo segno