La lezione di oggi. La cinematica Velocità Accelerazione. Il moto del proiettile Salto verticale

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2 La lezione di oggi La cinematica Velocità Accelerazione Il moto del proiettile Salto erticale

3 Meccanica e cinematica! Meccanica: studio del moto gli oggetti! forze esterne! dimensioni! massa! distribuzione della massa! Cinematica (dal greco kinema, moto): studio del moto! indipendentemente da cosa lo ha causato! unidimensionale: moto lungo una linea retta! moto uniforme e accelerato 3

4 ! Posizione, cammino, spostamento! Velocità, accelerazione! Il moto rettilineo uniforme in D! Il generico moto in D! Il moto del proiettile 4

5 Sistema di coordinate cartesiane m direzione origine scala unità di misura erso 5

6 Sistema di coordinate cartesiane m x finale è maggiore di x iniziale x finale > x iniziale x f > x i 6

7 Sistema di coordinate cartesiane m x finale è minore di x iniziale x finale < x iniziale x f < x i 7

8 Posizione m La persona in figura è alla posizione x 3 m 8

9 Cammino CAMMINO (quantità sempre positia) lunghezza complessia del tragitto Casa amico! Casa tua! Drogheria Cammino.1 km km 6.4 km 9

10 Spostamento SPOSTAMENTO (positio o negatio) Cambiamento di posizione (Posizione finale Posizione iniziale) Δx x finale x iniziale Δx x f x i 10

11 Esercizio Un giocatore di scacchi esegue la sua mossa, spostando la regina di 4 caselle erso nord e di caselle erso oest (lato casella.5 cm). N Determinare il cammino totale W E percorso dalla regina e lo spostamento. S cammino totale 6 caselle 6 x.5 cm 15 cm spostamento caselle 4.5 x.5 cm 11.5 cm 11

13 Moto rettilineo. Legge oraria Descrie la posizione di un oggetto in funzione del tempo A fianco è data una rappresentazione grafica di un esempio di legge oraria Questa rappresentazione è utile per introdurre il concetto di elocità Velocità media Δx Δt x t x t 1 1 Unità di misura: m/s 13

14 è la pendenza della retta che unisce due punti sulla cura x(t) Velocità media La elocità è una grandezza ettoriale. Nell'esempio : 6 m 3 s m/s 14

15 Moto rettilineo lungo x Velocità media elocita' media elocita' media Δx Δt spostamento tempo impiegato x f - x i t f - t i Dimensioni: [L T -1 ] Unità di misura (Sistema Internazionale): m s -1 NOTA " Tempo impiegato è sempre > 0 " Spostamento può essere < > 0 " Velocità media può essere < > 0 15

16 Velocità istantanea Δx lim Δt 0 Δt dx dt Il corpo aria la sua posizione in modo continuo da un punto al successio, percorrendo in piccoli interalli di tempo piccole traiettorie. 16

17 Accelerazione media Δ finale iniziale a m Δt t finale - t iniziale - t f f - - t i i accelerazi one media elocita' tempo impiegato -1 [LT ] - [LT ] [T] Unità di misura (Sistema Internazionale): m s - La interpreto come: in 1 secondo, la elocità è ariata di tot metri al secondo 17

18 Accelerazione istantanea Δ a lim Δt 0 Δt d dt d x dt NOTA Quando parleremo di elocità e accelerazione, intenderemo SEMPRE elocità istantanea e accelerazione istantanea. Se si tratta di elocità (accelerazione) media, lo si dee indicare esplicitamente 18

19 Le equazioni del moto uniformemente accelerato x x + 0 t 0 + at; a cost [ + ( + at) ] 1/ at 1/ x x 0 x aumenta con il quadrato del tempo t + 0 at 1 a x x t at 0 aumenta linearmente con il tempo a cost t t 19

20 x Velocità s. spazio 0 + at ) t 0 a x 0 0 t + 1 at x x a + 1 a a a (x x 0 ) 0 ( 0 ) a (x x 0 ) 0

21 Esercizio Un bambino lancia dal balcone una pallina erso l alto, erticalmente, con elocità iniziale di 6 m/s. Determinare:! l altezza massima raggiunta dalla pallina (spazio totale percorso dall oggetto in salita)! il tempo impiegato dalla pallina per raggiungere la massima altezza 1

22 Soluzione Esercizio! Per determinare l altezza massima raggiunta dalla pallina nel suo moto erticale, si prende in considerazione la legge oraria del moto uniformemente accelerato (con s o 0; a -g -9.8 m/s ) 0 0 g t ) 0 g t 1 s 0 t g t g t 1 g t 1 g t 0 g s h max (6 m/s) / ( 9.8 m/s ) 1.8 m 0 -g! Il tempo impiegato dalla pallina a raggiungere l altezza massima si ricaa da: 0 g t ) t 0 g 0.6 s

23 Vettori posizione e spostamento P 1 Vettore Posizione oero sono nel punto P 1 P Vettore Spostamento oero P 1 ado da P 1 a P Δ r r - r f i 3

24 Vettore elocità m Δr Δt " Δt è uno scalare " e sono paralleli" m Δ r lim Δ t 0 Δr Δt La elocità istantanea è tangente alla traiettoria in ogni istante 4

25 Il ettore accelerazione a m a Δ Δt Δ a lim Δ t 0! e sono paralleli... Δ Δt... ma... cosa importantissima... mentre segue il moto, a in generale non lo segue! l accelerazione non è generalmente parallela 5 alla elocità

26 Esercizio Un camion si muoe di moto rettilineo uniforme percorrendo una distanza pari a 110 km in 57 minuti. Determinare la elocità media del camion. spazio percorso Δx 110 km tempo impiegato Δt 57 min (57 / 60) 0.95 h" Soluzione media Δx / Δt 110 km / 0.95 h 116 km/h 6

28 Il moto in due dimensioni! e.g.: il moto del proiettile! Si applica a qualunque corpo sottoposto solo alla forza graitazionale (forza peso)! accelerazione costante! Proiettile "! Generico corpo! Il segreto: Applicare le equazioni del moto unidimensionale lungo i due assi cartesiani 8

29 Moto rettilineo uniforme in D 9

30 Moto rettilineo uniforme in D O 30

31 Moto rettilineo uniforme in D O 31

32 Moto rettilineo uniforme in D A O 3

33 Moto rettilineo uniforme in D A O 0 costante 33

36 Moto rettilineo uniforme in D Condizioni al contorno costante 0.6 ms t 5.0 s d -1 0 t (0.6 ms ) (5.0s) 1.3 m! x y d cos θ (1.3m) (cos 5 d sen θ (1.3m) (sen ) 1. m ) 0.55 m Metodo 1 36

37 Moto rettilineo uniforme in D Condizioni al contorno costante 0.6 ms t 5.0 s x 0 cos θ (0.6 ms ) (cos 5 ) y 0 sen θ (0.6ms ) (sen 5 ) 0.4 ms 0.11ms -1-1! -1 x 0x t (0.4 ms ) (5 s) 1. m -1 y t (0.11ms ) (5s) 0.55 m 0y Metodo 37

38 Moto rettilineo uniforme in D: equazioni generali x x + 0 0x t y y + 0 0y t 38

39 Composizione dei moti: esempio Una persona sta scendendo dalla scaletta di un agone merci. Il agone si muoe di moto rettilineo uniforme con 0.70 m/s, e la persona scende con moto rettilineo uniforme con 0.0 m/s. Quali sono modulo e erso della elocità della persona rispetto al suolo? V ts elocità del treno rispetto al suolo V pt elocità della persona rispetto al treno θ" V ps elocità della persona rispetto al suolo 39

40 Soluzione Esercizio Si esprimono in componenti i ettori elocità del treno rispetto al suolo ( ts ) e della persona rispetto al treno ( pt ): ts (0.70 m/s) î + (0 m/s) ĵ pt (0 m/s) î + (- 0.0 m/s) ĵ Il ettore elocità della persona rispetto al suolo è quindi ps [( ) m/s] 0.70 m/s x, ps î + [(0-0.0) m/s] ĵ 0.0 m/s Modulo e erso di questo ettore sono dati rispettiamente da x, ps y, ps ps ps x, ps + y, ps (0.70) + ( 0.0) -1 y, ps ms θ atan atan atan (-0.857) ms ms -16 o -1 40

42 Generico moto in D con accelerazione costante x x 0 + 0x t + 1 a x t y y 0 + 0y t + 1 a yt x 0x + a x t y 0y + a y t Nota Questo sistema di equazioni permette la soluzione di qualunque problema di cinematica in dimensioni (accelerazione costante) 4

44 Il moto di un proiettile Un proiettile è un qualunque corpo che, aendo una certa elocità iniziale, sia sottoposto esclusiamente al campo graitazionale 44

45 ! Ipotesi: Moto di un proiettile! trascuro la resistenza dell aria (piuma s. ferro)! L accelerazione di graità è costante (quota)! trascuro la rotazione della Terra (missili intercontinentali)! Ho solo accelerazione di graità (sulla Terra g 9.81 ms - ), diretta erso il basso 45

46 Moto di un proiettile L accelerazione è uguale nei casi Relatiità galileiana Caduta di un grae 46

47 Equazioni del moto di un proiettile L ipotesi è che: a x 0 a - g y ms - x y x + 0 0xt 1 y 0 + 0yt gt x 0x - y 0y gt 47

48 Lancio ad angolo 0 o V 0,x x y 0x h t 1 gt 0x y - gt x 0 48

49 La traiettoria è parabolica x 0x t t x 0x t x 0x y h 1 gt y h 1 gt y h 1 g " $ # x 0x % ' & y a + bx parabola 49

50 Domanda: La gittata Doe atterra un proiettile lanciato orizzontalmente,da altezza h e con elocità 0x? Risposta: Posso calcolare la distanza, imponendo la condizione che la y fin del proiettile sia 0 x 0x t 1 y h gt x 0 h 0x 1 t gt x t 0x h g t x t 0x h g h g Gittata: (elocità scalare media) x (tempo di caduta) 50

51 n. 54, pag. M115 Walker Esercizio Un lanciatore del peso lancia il peso con una elocità iniziale di modulo 3.50 m/s da un altezza di 1.50 m dal suolo. Calcolare qual è la gittata del lancio se l angolo è: 1) 0 ) 30 3) 40 o 51

52 Soluzione Un lanciatore del peso lancia il peso con una elocità iniziale di modulo 3.5 m/s da un altezza di 1.5 m dal suolo. Calcola qual è la gittata del lancio se l angolo è: 1) 0 o ) 30 o 3) 40 o Risolo per θ 0 o x (0 cos θ ) t x (3.9 ) t 0 y ( sen θ ) t -1/ (g t ) 1/ (g t ) - (1. ) t t 0.69 s x (3.9 ) t.6 m Per θ 30 o t 0.76 s x.30 m Per θ 40 o t 0.83s x. m 5

53 Lancio con un angolo qualunque e x 0 y 0 0 x 0cosθ y 0senθ - gt Gittata (y0): t 0 sin g x 0cosθ t G 0 cos 0 sin g 0 g sin ( ) y 1 0senθ t gt 53

54 Lancio con un angolo qualunque e con posizione iniziale qualunque Uguale al caso precedente, ma ri-compaiono x 0 e y 0 x 0 y x + cosθ 0 y 0 + 0senθ t gt t 1 x 0cosθ y 0senθ - gt 54

55 Moto parabolico (Moto di un proiettile con e senza aria) 55

56 Esercizio Un delfino salta dall acqua con 0 1 ms -1, erso l allenatrice che è a d 5.50 m e h 4.10 m. Nell istante in cui il delfino esce dall acqua, l allenatrice lascia cadere una palla. Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla. 56

57 Esercizio Soluzione x d 0 d cosθ t y d 0 d senθ t 1 gt x d 0 d cosθ y y d p h 0 d 1 senθ - gt gt Comincio a calcolare θ h 4.10 m θ arctan arctan d 5.50 m o

58 Esercizio Il delfino raggiunge la distanza della palla quando x d d 5.50m x y y d d x d y d p h 0 d 0 d 0 d 0 d cosθ senθ t 1 gt cosθ 1 t senθ - gt gt y y x d y d x 0 d 0 d cosθ 5.50 m d t -1 0 dcosθ 9.6 ms d p h 0 d senθ t 1 gt 1 gt senθ - gt 0.57 s... e questo eento succede al tempo t 0.57 s 58

59 Esercizio Al tempo t 0.57 s il delfino si troerà ad un altezza... x y y d d x d y d p h 0 d 0 d 0 d 0 d cosθ senθ t 1 gt cosθ 1 t senθ - gt gt x y d x d y d p h 0 d 0 d 1 0 d cosθ gt cosθ t senθ - -1 o 1 - yd (1.0 ms )sen(36.7 ) (0.57 s) (9.81ms ) (0.57s) 4.10 m m.50 m Al tempo t 0.57 s il delfino si troerà ad un altezza di.50 m gt 59

60 x y y d d Esercizio Al tempo t 0.57 s la palla si troerà ad un altezza... x d y d p h 0 d 0 d 0 d 0 d cosθ senθ t 1 gt cosθ 1 t senθ - gt gt x y d d x d y d 0 d 0 d 0 d 0 d cosθ senθ t cosθ 1 t senθ y p 4.10 m (9.81s ) (0.57s) 4.10 m m Al tempo t0.57 s la palla si troerà ad un altezza di.50 m gt gt.5 m 60

61 Moto circolare uniforme (1) Un oggetto che si muoe lungo una traiettoria circolare con elocità costante in modulo è in moto circolare uniforme. Il ettore elocità aria continuamente la propria direzione. # Quindi l oggetto è sottoposto ad accelerazione. # Il ettore accelerazione è diretto erso il centro della circonferenza! accelerazione centripeta Il tempo impiegato a descriere una circonferenza di raggio r è detto periodo 61

62 Moto circolare uniforme () θ y P x P Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati 6

63 Moto circolare uniforme (3) Modulo dell accelerazione centripeta Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati 63

64 Moto circolare uniforme (4) L accelerazione è effettiamente diretta erso il centro della circonferenza. Infatti: Quindi θφ! il ettore accelerazione ha direzione radiale ed è riolto al centro. Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati 64

65 Accelerazione radiale e tangenziale! In generale, la elocità cambia per intensità e direzione lungo la traiettoria! Vettore elocità: sempre tangente alla traiettoria ˆ τ! Vettore accelerazione può essere espresso come: a a r + a t a r n ˆ + a t ˆ τ a t d dt a r R Accelerazione tangenziale Accelerazione radiale ˆ τ con ersore tangenziale ersore normale alla traiettoria, diretto erso il centro di curatura n ˆ La dimostrazione è nelle slide seguenti (non c è nel testo) Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di curatura della traiettoria nei punti A, B e C 65

66 Accelerazione radiale e ( ) a d dt d ˆ τ dt tangenziale d dt ˆ τ + d ˆ τ dt d ˆ τ dt % ' dφ & dt sinφ ( * i ) ˆ % + ' dφ & dt cosφ ( * ) ˆ j dφ [ ( sinφ)ˆ dt i + ( cosφ ) ˆ j ] dφ n dt ˆ y C ˆ τ ( cosφ) i ˆ + ( sinφ) ˆ j n ˆ * cos $ φ + π '-, & % )/ + ( ˆ. i + * sin $ φ + π '-, & % )/ + ( ˆ j. ( sinφ)ˆ i + ( cosφ) ˆ j a d dt ˆ τ + dφ n dt ˆ Ora occorre dimostrare che dφ/dt/r. ˆ n φ" ˆ τ x 66

67 Accelerazione radiale e tangenziale (1) ds Rdφ dφ () ds 1 R dφ dt dφ ds ds dt dφ ds R Quindi, sostituendo la () nell espressione ricaata per l accelerazione, si ottiene: a d dt ˆ τ + dφ n dt ˆ d dt ˆ τ + n R ˆ y C dφ" R Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare dsdt! arco di circonferenza dsrdφ# φ+dφ" a d dt ˆ τ + R ˆ n ˆ n φ" ˆ τ x 67

68 Questo argomento non è presente nei testi consigliati Moto armonico (1) Nel moto circolare uniforme la elocità angolare è costante: In un periodo T iene descritto un angolo giro, quindi La proiezione del punto P sull asse x (o y) descrie un moto armonico: θ y P x P 68

69 Moto armonico () 69

70 Moto relatio unidimensionale Se i due sistemi di riferimento si muoono a elocità costante l uno rispetto all altro, si ha: L accelerazione del punto materiale P è la stessa nei due sistemi di riferimento 70

71 Moto relatio bidimensionale deriando rispetto al tempo, si troa: Se è costante, allora: 71