Richiami moto circolare uniforme

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1 Esercizi oto piano

2 Richiai oto circolare unifore an Velocità orbitale: Costante in odulo, a non in direzione e erso = R/T = R Con: R= raggio della traiettoria circolare, T=periodo, = elocità angolare Accelerazione centripeta: direzione radiale, punta erso il centro della circonferenza a N = /R = (R) /R = R

3 Esercizio 1 Un satellite gira attorno alla Terra su un orbita circolare con una elocità angolare ω =,55 rad/s e un accelerazione centripeta di a N =4,8 /s. Qual è il raggio R della sua orbita? Qual è la sua elocità orbitale?

4 Soluzione Esercizio 1 ω =,55 rad/s a N =4,8 /s R R a N R R a N R R R R R R a N R 4, 8 / s (, 55 rad / s) 7 R 7, 551, 591 / s 8, / s

5 Esercizio La Luna ruota attorno alla Terra su un orbita quasi circolare di raggio pari a 6 raggi terrestri (R T =64 k) ipiegando 7,3 giorni per copiere un giro. a. Qual è la elocità con cui la Luna percorre la sua orbita [1, 1 /s] b. Qual è l accelerazione centripeta della Luna? [7, 1-4 /s] c. Quante rioluzioni copie in un anno? [13,37]

6 Soluzione R luna =6R T =6*64 k = k= T=7.3 giorni = 7.3*864s= s Velocità orbitale =R luna /T = * / s = 1. 1 /s Accelerazione centripeta a N = /R=(1. 1 /s) / = /s Se la luna copie un giro copleto (rioluzione) in un periodo T=7.3 giorni, in un anno copirà: N=365 giorni/7.3 giorni =13.37 rioluzioni

7 Esercizio 3 Si consideri la ISS e si supponga che essa sia in orbita circolare intorno alla terra ad una altitudine di circa 4 K ad una elocità di circa =775 K/h. Sapendo che il R Terra = 64 K, calcolare : - Periodo dell orbita - Accelerazione centripeta R orb =R terra +h=64k+4k=68k = T = R orb /V = 1.54 h=5544 s =775 k/h = /s a c = /R =( /s) / = 8.7 /s

8 Esercizio 4 (3..14 libro esercizi) Una ruota di raggio r=3 è in rotazione in un piano erticale intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro, con elocità angolare costante. Un sassolino che si troa in un punto A sul bordo esterno della ruota, si stacca dal punto A nell istante in cui il diaetro passante per A è orizzontale (coe in figura). Il sassolino sale quindi erticalente per poi ricadere nello stesso punto A, ipiegando nella salita e nella discesa il tepo ipiegato dalla ruota a copiere un intero giro. Deterinare: La elocità periferica del punto A della ruota; Il tepo che la ruota ipiega a copiere un intero giro La assia distanza erticale raggiunta dal sassolino A O r

9 Soluzione esercizio 4 r r A O T T r Nel oto circolare unifore la elocità orbitale ale: Il sassolino si stacca da A con elocità = e raggiunge in un tepo T 1 il punto di assia altezza doe fin =: fin gt1 T1 T 1 è anche il tepo che il sassolino ipiega a ritornare in A nel oto di discesa, quindi: T T 1 T g g

10 Uguagliando le due espressioni troate per il periodo T: r T T g r rg Nota la elocità si può calcolare il periodo T: T g g rg 3. s s s s 1. 96s s

11 Calcoliao il punto di assia altezza ricordando che il sassolino ipiega un tepo T 1 =T/ per raggiungerlo: 1 1 y T gt s ax s. s. 98s 4

12 Richiai oto parabolico Coposizione di due oti: Asse X: oto unifore x = x + x t Y a = g = 9.8 /s X = y x x Asse Y: oto uniforeente accelerato y = y + Y t - 1 gt Y = Y - gt y Traiettoria = parabola nell ipotesi di x =y = g cos x tg x X

13 Altezza assia Nel punto di assia altezza, y = y = y - gt = da cui si deterina: t ax = oy /g Sostituendo t ax nella legge oraria del oto uniforeente accelerato lungo y: y ax = 1 y g

14 Altezza assia: etodo alternatio Metodo alternatio: troare il assio dell equazione della parabola (traiettoria):. ; ; cos c tg b g a c bx ax y a ac b a y a b x ax ax x tg x g cos 4 cosθ sin cos cos ax ax g g tg y g sen g tg x

15 Gittata La gittata è la distanza lungo l asse X fra il punto in cui il corpo si stacca dal suolo e il punto in cui il corpo tocca nuoaente il suolo. Basta calcolare i punti di intersezione dell equazione della parabola con l asse delle x: GITTATA x x x 1 g sin( ) x

16 In generale : NON USARE IN MODO INDISCRIMINATO LA FORMULA DELLA GITTATA E VALIDA SOLO QUANDO IL CORPO PARTE DA h= e torna in h=! QUESTA DISTANZA NON SI RICAVA CON LA FORMULA DELLA GITTATA

17 Tepo di olo Tepo di olo : tepo ipiegato dal punto ateriale per percorrere la distanza pari a quella della gittata. Poiché lungo x il oto è unifore con elocità costante x = cos, da x = x * t olo = (V cos* t olo : Tolo = x / V cos x

18 Esercizio 5 Da una fontana da irrigazione l acqua fuoriesce con una elocità di odulo = 17 /s e forante un angolo di = 58 sopra l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, deterinare: a) il tepo ipiegato a raggiungere la assia altezza b) la assia altezza c) il tepo di olo d) la distanza del punto di ipatto dall origine

19 Soluzione esercizio 5 a) Sia t * è il tepo ipiegato a raggiungere la assia altezza. Nel punto di assia altezza : V y (t * ) = V y -gt* = t * = V y /g = V sen /g = 1.47 s b) Il punto di assia altezza può essere deterinato dalla legge oraria del oto lungo y (uniforeente accelerato) al tepo t*: y ax = y(t*) = y t*-1/gt* = sent*-1/gt* = =17 sen(58 ) / 9.8 (1.47) = 1.6

20 Soluzione esercizio 5 c) Il tepo di olo corrisponde al tepo ipiegato dal proiettile (nel nostro caso il getto d acqua) a ritornare al suolo, perciò coincide con il tepo ipiegato a percorrere un tratto pari alla gittata. y= => y t** -1/ gt** = => y /g = t**=14.4/9.8=.95s d) Noto il tepo ipiegato a ritornare al suolo, si può calcolare lo spazio percorso lungo x: x = x t**= 17cos(58).95= Oppure, dalla forula della gittata, calcolare direttaente x = V sin()/g=17 sen( 58 )/9.8 6

21 Esercizio 6 Un aereo da soccorso ola ad una elocità = 36 k/h alla quota costante di h = 49. Quale distanza x, isurata sull orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall aereo?

22 Soluzione esercizio 6 La elocità iniziale ha SOLO la coponente orizzontale, che riane costante. x= x t con x = 36 k/h =1 /s E necessario deterinare t * = tepo ipiegato dal pacco a raggiungere il suolo Condizioni iniziali: y =h, oy =, y fin = y=h-gt / =h-g t * / t * =h/g t * = (h/g) 1/ =1 s x = x t*= x (h/g) 1/ = 1*1=1

23 Esercizio 7 Un cannone con un angolo di tiro di 45 gradi si troa a 5 dalla base di un uro alto 1. A che elocità dee essere sparato il proiettile per colpire un oggetto posto sulla soità del uro? Se il uro iene abbattuto, a che distanza ricade il proiettile al suolo e a che elocità?

24 Soluzione esercizio 7 y () Condizioni iniziali: =45 d=5 = x fin h=1 = y fin x fin y fin d xt cos45t 1 yt gt sen45t x () 1 gt x = y = cos45 =sen45 = tg45 = sen45 1 cos45 1

25 Indico con t, il tepo di arrio alla soità del uro: d h cos45t sen45t d t cos45 1 h tg45d 1 gt gd cos 45 Incognite: t, gd cos 45 d tg 45 h s

26 y y () x x P Il uro iene abbattuto. Ora le condizioni iniziali sono: =45 =78.3 /s y P x fin x () Inoltre: x = y = cos45 =sen45 = tg45 = 1 sen45 1 cos45

27 Indichiao con tc il tepo ipiegato dal proiettile a tornare al suolo nel punto P. Dalle leggi orarie lungo x e y, ricordando che y P = si ha: x P xt cos45t c 1 1 yp ytc gtc sen45t c gtc Incognite: x P e t C Dalla seconda equazione deterino t c (escludo la soluzione t= che coincide con l istante di lancio del proiettile) t c sen45 g s s s

28 Noto t c deterino anche lo spazio percorso lungo x: 1 x P cos45t c s 11. 3s 65 Per calcolare la elocità con cui il proiettile ipatta al suolo deo conoscere le due coponenti x e y : x y x y da cui segue: cos45 c 55.3 gt sen s s s fin x y / s s s

29 Esercizio 8 Dei sacchi di edicinali engono trasportati su dei rulli per poi finire nel carico di un caion per il loro trasporto. Sapendo che il rullo è 1.5 più alto della base del carico e che i sacchi cadono alla base del carico ad una distanza pari a 1.8 dalla fine del rullo, si deterini: a) il tepo di caduta di un sacco; b) la elocità del sacco nell istante in cui inizia a cadere dal rullo c) il odulo della elocità del sacco un attio pria di giungere al suolo a) T,463 s b) o 3,89 /s c) 5,98 /s

30 y () Condizioni iniziali: h=1.5 d=1.8 h Deterinare: Tepo di caduta t c Velocità iniziale Velocità finale f d x(). e ora continuate oi!