8.4 Calcolo di tensori di inerzia

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1 1 CAPITL 8. IL CRP RIGID Infatti B I ( u) (P )(P ) [ u (P )] dτ(p ) B (P )(P ) [ u (P )] dτ(p ) B 1 + ρ(p )(P ) [ u (P )] dτ(p ) B B = 1 B I + I Analoga proprietà vale per i oenti di inerzia. 8. Calcolo di tensori di inerzia Sistei piani Esepio 8.5 (Manurio). Consideriao un corpo rigido lineare di lungheza l e un sistea di assi in cui e 1 è diretto coe il corpo e in cui l origine degli assi è situata nel punto edio del segento. Chiaraente si ha: (I G ) 11 =(I G ) 33 z z e quindi, per l Eq. (8.8), (I G ) = G l Riane quindi da calcolare: l (I G ) 11 d l l 3 3 l 1 l 1 = l 1 Questo è l unico sistea per cui un oento principale è nullo. Utilizzando l Eq.(8.), poichè (G ) = (, l, ) si trova: I = I G + l l

2 8.. CALCL DI TENSRI DI INERZIA 11 l 3 = l 3 Esepio 8. (Anello). Consideriao un anello di raggio R e densità unfore ρ e assa. Aiao (I G ) 11 =(I G ) e poichè (I G ) 33 =(I G ) 11 +(I G ) = (I G ) 11, è sufficiente calcolare (I G ) 33. G (I G ) 33 = R =R 3 = R Esepio 8.7 (Laina rettangolare oogenea). Consideriao una laina rettangolare di lati a e. Scegliao assi coordinati allineati ai lati della laina coe in figura. Aiao: (I G ) 11 = a ρ dd G a e analogaente (I G ) = a 3 1 = 1 a ρ dd = a 1 Ricordando che il sistea è piano e gli assi sono principali di inerzia in quanto perpendicolari ad assi di sietria ateriale possiao scrivere la atrice di inerzia 1 a 1 (a + ) 1 Per calcolare la atrice di inerzia rispetto al polo, asta notare che: (G ) = ( a, ),.

3 1 CAPITL 8. IL CRP RIGID e quindi, applicando l Eq.(8.), si trova: I = I G + = 3 a a a a a a + a 3 a + 3 Possiao ora chiederci, a titolo eseplificativo, coe caia la atrice di inerzia della laina rettangolare appena vista, antenendo fisso il polo, a ruotando la ase. Consideriao quindi la situazione in figura. Indichiao con ẽ = { e 1, e } la ase associata agli assi e, e con f = { f 1, f } la ase associata agli assi e. Indichiao con I,f la atrice di inerzia nella ase { f 1, f }, e con I,ẽ la atrice di inerzia nella ase { e 1, e }. Ricordando la forula (.5), possiao scrivere: θ a I,f = RI,ẽ R dove R è la atrice di rotazione che fa passare dalla ase ẽ alla ase f : R ij := f i e j (si veda anche la forula (??)). Poichè: { f1 = cos θ e 1 sin θ e f = sin θ e 1 + cos θ e : ( cos θ sin θ R = sin θ cos θ ) e possiao concludere che: ( ( I = 1 cos θ + a sin θ ) ( 1 a ) ) ( cos θ sin θ,f 1 a ) ( cos θ sin θ 1 a cos θ + sin θ ) È interessante notare che, se la laina è quadrata, allora tutti gli assi nel piano sono principali di inerzia. Esepio 8.8 (Laina triangolare rettangolare). Consideriao una laina triangolare di lati a e. Scegliao assi coordinati allineati ai lati della laina coe in figura. Aiao:

4 8.. CALCL DI TENSRI DI INERZIA 13 (I)11 = e analogaente = d a d ρ G (I ) 11 = a = a L asse perpendicolare alla laina (asse z) è principale di inerzia. : ρ d a d I 13 = I 3 =. Riane quindi da calcolare il oento di deviazione: (I ) 1 = ρ = a 1 ρ d a d I = a a 1 a 1 (a + ) Per deterinare la atrice di inerzia rispetto al aricentro asta usare la forula (8.), ricordando che d = G =( a 3, 3 ) (vedi l esepio 7.): = a 1 a a 1 (a + ) a 18 3 a a 3 18 (a + ) 18 + a a a (a + ) Esepio 8. (Laina circolare). È iediato che (I G ) 11 =(I G ) usando coordinate polari,

5 1 CAPITL 8. IL CRP RIGID G (I G ) 33 drr 3 =ρ R = Poichè (I G ) 33 =(I G ) 11 +(I G ) = (I G ) 11 = (I G ), troviao Esepio 8.3 (Laina seicircolare). Calcoliao la atrice della laina rispetto al polo in figura. tteniao G (I ) 11 = sin θ drr(r sin θ) Analogaente (I ) = cos θ drr(r cos θ) (I ) 33 =(I ) 11 +(I ) = Essendo l asse perpendicolare alla laina principale di inerzia si ha (I ) 13 =(I ) 3 =. riane da calcolare (I ) 1 = sin θ drr 3 sin θ cos θ Questo risultato è in realtà ovvio se si nota che e 1 e e 3 sono perpendicolari ad assi principali di inerzia. Esepio 8.31 (Settore circolare). Calcoliao la atrice della laina rispetto al polo in figura.

6 8.. CALCL DI TENSRI DI INERZIA 15 α R Notiao preliinarente che e 1 e e 3 sono ortogonali a piani di sietria ateriale. sono assi principali di inerzia e quindi anche e lo è. Procediao col calcolo di (I ) 11 e(i ) : (I ) 11 R R 8 = S R dd +α sin θ α +α 1 cos θ α (I ) R S R dd +α [α + sin α] = sin α 1+ α cos θ α +α 1 + cos θ α 1 sin α α : I = 1+ sin α α 1 sin α α Esepio 8.3 (Corona circolare). Consideriao una corona circolare di raggio interno R 1 e raggio esterno R, densità di assa unifore ρ e assa. Allora ρ = (R R 1 ) : R R 1 Chiaraente B = C R \ C R1 in cui i due cerchi hanno asse: = (R R 1 ) 1 = 1 (R R 1 ) B C R C R1 I = I I R = R = (R +R 1 ) R (R +R 1 ) 1 R 1 (R +R 1 ) 1 R1 1 R 1