Nome Cognome Numero di matricola Coordinata posizione. Quarto compito di Fisica Generale 1 + Esercitazioni, a.a Settembre 2018

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1 Noe Cognoe Nuero di atricola Coordinata posizione Quarto copito di isica Generale + Esercitazioni, a.a Settebre 208 ===================================================================== Preesse da leggere olto attentaente pria di coinciare: In ogni riquadro si deve scrivere per la grandezza richiesta la forula ateatica seguita dal suo valore nuerico a partire dai dati forniti per tutte, o anche solo per alcune, delle grandezze fisiche coinvolte. Il procediento per arrivare alla forula finale va scritto nei fogli protocollo distribuiti specificando la nuerazione data nel testo. Se il procediento non è riportato e/o non è coerente con la forula e col valore nuerico scritti nel riquadro, il risultato viene considerato nullo. Si richiede di usare sepre il sistea di unità di isura internazionale SI. I valori nuerici vanno scritti usando le potenze del 0 e si richiede (salvo casi particolari che verranno segnalati) di riportare solo 2 cifre significative, facendo il calcolo coplessivo e arrotondandolo solo alla fine. Si consegnano il foglio del testo, debitaente copilato, e aleno uno, o più, fogli protocollo a scelta individuale. La coordinate della posizione occupata in aula durante il copito viene fornita dalla docente e serve ad individuare copiti tra loro copiati, che verranno annullati. Dove richiesto, per l accelerazione locale di gravità si usi: g = 9.8 s 2 ===================================================================== Problea : Un blocco di assa si trova su un piano di lunghezza l inclinato di un angolo θ rispetto all orizzontale. ra il blocco e il piano è presente attrito con coefficiente dinaico µ D. Sul blocco, che è inizialente fero alla base del piano, agisce una forza orizzontale costante coe disegnato in figura. Siano = 4.8kg, µ D = 0., θ = π 6 e l = 50c. y q l x. Sapendo che dalla base alla soità del piano la forza copie un lavoro L = 20J trovare il odulo della forza. 2. Trovare l istante t f in cui il blocco raggiunge la soità del piano inclinato. 3. Si calcoli il lavoro totale fatto da tutte le forze diverse da agenti sul blocco fino alla soità del piano inclinato. 4. Una volta raggiunta la soità del piano inclinato, il blocco esce dal piano e continua il suo oto sotto l azione della sola forza di gravità. Trovare la velocità con cui tocca di nuovo il suolo.

2 Problea 2: Una olecola biatoica è costituita da due atoi di uguale assa che si uovono in una sola diensione con una energia potenziale U(x) = α α 2x 2 2 x dove x è la loro distanza relativa e le costanti α, α 2 sono entrabe positive. La olecola ha una configurazione di equilibrio stabile, con gli atoi feri a distanza x eq, che deve corrispondere ad un inio dell energia potenziale.. Scrivete le diensioni fisiche delle costanti α ed α 2 e calcolate x eq in funzione di esse. 2. Scrivete l energia potenziale U(x eq ) e l energia totale E(x eq ) della olecola all equilibrio ipotizzando che gli atoi siano feri (E(x eq ) è detta anche energia di legae della olecola). Una olecola biatoica assorbe ed eette energia ad una precisa frequenza, indicando con ciò che gli atoi vibrano a quella frequenza, cioè la olecola si coporta coe un oscillatore aronico. 3. Considerate l energia potenziale U(x) per x olto vicino alla posizione di equilibrio x eq (cioè vicino a x x eq = 0) e sviluppatela in serie di Taylor fino al terine in (x x eq ) 2. Se ponete U(x eq ) = 0, cioè se prendete coe energia potenziale di riferiento quella corrispondente all equilibrio, troverete l energia potenziale di un oscillatore aronico. Calcolate la costante elastica k di questo oscillatore in funzione delle costanti α ed α Date k e la assa di ciascun atoo, scrivete la frequenza ν = ω/2π di oscillazione della olecola. Sapendo che = kg, e che la olecola assorbe ed eette radiazione alla frequenza ν = Hz, calcolate il valore nuerico della costante elastica k con cui sono accoppiati i due atoi di questa olecola biatoica oonucleare e verificatene le diensioni fisiche. 2

3 Soluzione del problea. Prendiao un sistea di assi cartesiani x, y coe in figura. Il lavoro della forza è dato da L = f i l cos θ. Quindi = L l cos θ = 46.9N d s = 2. Oltre alla forza sul blocco agiscono anche la forza di gravità g = g diretta verticalente verso il basso, la forza di attrito dinaico D e la reazione norale del piano N. Dal prio principio della eccanica scriviao: a = + g + D + N Proiettando questa equazione sui due assi otteniao il seguente sistea: { a x = cos θ g sin θ D a y = sin θ g cos θ + N Lungo l asse y non c è oto, quindi a y = 0. Dall equazione lungo y ricaviao la reazione norale N = sin θ + g cos θ La forza di attrito dinaico è diretta lungo il piano inclinato, è opposta allo spostaento ed il suo odulo vale D = µ D N. Nel nostro caso D = µ D ( sin θ + g cos θ) In conclusione a x = cos θ (g sin θ+µ N D ) = cos θ g sin θ µ D( sin θ+g cos θ) = (cos θ µ D sin θ) g(sin θ+µ D cos θ) Dal oento che l accelerazione è costante, il blocco copie un oto uniforeente accelerato partendo fero dall origine degli assi, quindi la legge oraria è: x(t) = 2 a xt 2 = 2 [ ] (cos θ µ D sin θ) g(sin θ + µ D cos θ) t 2 L istante cercato è quello in cui il blocco ha percorso uno spazio l: t f = 3. La forza di gravità copie un lavoro 2l 2l = a x (cos θ µ D sin θ) g(sin θ + µ D cos θ) = 0.69s Il lavoro della forza di attrito vale L g = f i g d s = gl sin θ L D = µ D l( sin θ + g cos θ) Il lavoro della reazione norale del piano è, invece, nullo perchè questa forza è perpendicolare allo spostaento. Si noti che sia il lavoro della gravità che quello della forza di attrito sono negativi, entre l unico lavoro positivo è quello della forza. L g + L D = 4.97 J 3

4 4. La velocità v l con cui il blocco raggiunge la soità del piano inclinato la possiao ottenere sapendo (vedi punto 2) che il oto lungo il piano è un oto uniforeente accelerato con accelerazione a x e conoscendo il tepo t f ipiegato per percorrerlo tutto: v l = a x t f Oppure possiao usare il teorea delle forze vive: da cui 2 v2 l = L + L g + L D v l = In entrabi i casi troviao lo stesso valore nuerico: 2 ( ) L + L g + L D v l =.45 s Una volta lasciato il piano inclinato il oto del blocco sarà di tipo parabolico sottoposto solaente alla forza di gravità. Per trovare la velocità con cui tocca di nuovo terra si potrebbero integrare le equazioni del oto, a è più conveniente iporre la conservazione dell energia: Da cui v f = 2 v2 l + glsinθ = 2 v2 f [ ] 2 vl 2 + 2glsinθ = ( ) L + L g + L D + 2glsinθ = 2.65 /s 4

5 Soluzione del problea 2. Sappiao che U(x) è un energia: [U(x)] = [J] = [kg][] 2 [s] 2 quindi: [α ] = [J][] 2 = [kg][] 4 [s] 2 [α 2 ] = [J][] = [kg][] 3 [s] 2. Per calcolare x eq dobbiao trovare il inio dell energia potenziale, quindi dobbiao annullare la sua derivata pria: du = α dx x=xeq x 3 + α 2 eq x 2 = 0 x eq = α eq α 2 e la x eq trovata è correttaente una lunghezza. 2. All equilibrio l energia potenziale vale: U(x eq ) = α α 2 2 2α 2 α2 2 α = α2 2 2α Trattandosi di un punto di equilibrio, gli atoi sono feri quindi la loro energia cinetica è nulla e perciò E(eq) = U(x eq ) cioè, l energia di legae della olecola è uguale alla sua energia potenziale all equilibrio (cioè al inio dell energia potenziale, che è negativo) 3. Lo sviluppo in serie di Taylor dell energia potenziale nelle vicinanze della posizione di equilibrio fino al terine quadratico è: U(x x eq ) U(x eq ) + du (x x eq ) + d 2 U dx x=xeq 2 dx x=xeq 2 (x x eq ) 2 U(x eq ) + d 2 U 2 dx x=xeq 2 (x x eq ) 2 dove abbiao usato il fatto che du = 0, dato che la posizione di equilibrio è un punto di inio dell energia potenziale. dx x=xeq Ora, poiché l energia potenziale è sepre la differenza rispetto ad un valore di riferiento che poniao a zero, scegliao per questo valore U(x eq ), che pertanto poniao uguale a zero, ottenendo per l energia potenziale della olecola nelle iediate vicinanze della posizione di equilibrio l espressione: U(x x eq ) 2 α2 4 α 3 (x x eq ) 2 che è l energia potenziale di un oscillatore aronico con costante elastica: k = α4 2 α 3 4. Trattandosi di un oscillatore con due asse ed 2 e costante elastica k, sappiao che la sua frequenza di oscillazione è ω = k/µ, dove µ = è la assa ridotta. Nel caso in questione in cui le asse sono uguali si ha µ = /2 e quindi: ν = 2k 2π da cui: k = 2 ω2 = 2 4π2 ν 2 = kg s 2 = N/ 5