Esercizi di Formulazione

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1 Politecnico di Milano, Corso di Modellistica e Siulazione Esercizi di Forulazione 1 Il sisografo 1.1 il problea di un sisografo perfettaente orizzontale coe quello rappresentato in - gura. Il odello deve perettere di calcolare l'apiezza delle tracce disegnate sulla carta a seguito di un'oscillazione ipressa sulla struttura ospitante il sisografo stesso. 1.2 la soluzione I odelli eccanici coe il sisografo possono essere interpretati coe sistei dinaici tepo-continui utilizzando i siboli dell'analisi dei sistei per rappresentare le leggi che ne governano il funzionaento. Per convenzione, si introduce una coppia di variabili di stato (posizione, x 1, e velocità, x 2 ) per ogni assa indipendente con cui si può scheatizzare il eccaniso. Nello schea in gura è evidenziata l'unica assa sottoposta alla forza di richiao di una olla (di costante elastica, che dipende dal ateriale della olla e dal nuero e dalla fora delle spire) e all'attrito tra sfera e piano (caratterizzato da una costante h che dipende sostanzialente dai ateriali ipiegati). Il odello per calcolare la posizione della sfera (y), data la posizione dell'edicio nel quale si trova il sisografo (u), può essere allora forulato coe segue, scegliendo convenzionalente coe direzione positiva degli spostaenti e delle forze quella verso destra, e ricordando: il legae tra spostaento (s), velocità (v) e accelerazione (a): ds dt = v e dv dt = a la legge di Newton (a = F i ); 1

2 la legge di Hoo (F e = s); e ipotizzando che l'attrito volvente esercitato tra sfera del pennino e carta del rullo sia proporzionale alla velocità di scorriento (F a = hv) trascurando inoltre la lunghezza della olla a riposo, si ottiene: dx 1 dt = ẋ 1 = x 2 = v (1.1) dx 2 dt = ẋ 2 = (x 1 u) + hx 2 = a y = x 1 (1.2) Le (1.1), ottenute eettuando il bilncio tra le forze esercitate sulla assa, rappresentano la transizione di stato del sistea (essendo tepo-continuo si tratta di equazioni dierenziali), entre la (1.2) ne costituisce la trasforazione di uscita. Coe si può notare, oltre alle variabili di stato (x 1 e x 2 ), di ingresso (u) e di uscita (y), sono presenti solo dei paraetri (, h, ). Tutte le equazioni scritte sono inoltre lineari, si può quindi forulare il odello anche in fora atriciale: ẋ = Ax + bu y = c T x dove x1 x = x 2 1 A = h c T = 1 b = Dal punto di vista della classicazione, inne, il odello ottenuto è a paraetri concentrati (l'unica variabile indipendente è il tepo), deterinistico (le sue realizzazioni sono sepre uguali a se stesse non essendo presenti coponenti aleatorie che ne disturbino la dinaica), invariante (struttura e paraetri sono costanit nel tepo), proprio (l'ingresso non agisce direttaente sull'uscita), oltre ad essere lineare tepo-continuo di ordine 2. 2

3 2 Il treno 2.1 il problea clipart-library.co/clipart/ ht di una locootiva che traina un vagone lungo binari perfettaente orizzontali coe quello rappresentato in gura. Con il odello, ipotizzando che il giunto tra locootiva e vagone si coporti coe una olla, si vuole calcolare la posizione della locootiva e la distanza tra locootiva e vagone, in funzione della forza di trascinaento esercitata dalla locootiva. 2.2 la soluzione Anche questo odello eccanico può essere rappresentato coe un sistea dinaico tepo-continuo, introducendo in questo caso due coppie di variabili di stato (posizioni, x 1 e x 2, e velocità, x 3 e x 4 ) rispettivaente per la assa della locootiva ( 1 ) e del vagone ( 2 ). Nello schea in gura, oltre alle asse, sono evidenziatate le 2 forze di richiao (che dipenderanno anche dalla costante elastica ) e gli attriti tra ruote e binario (caratterizzati dalle costanti h 1 e h 2 ). Il odello per calcolare le due uscite (posizione della locootiva, y 1 e distanza tra le due asse, y 2 ), data la forza trainante della locootiva (u), può essere allora forulato coe segue, ricordando le convenzioni, relazioni, ipotesi e leggi già utilizzate nell'esercizio precedente, diventa: ẋ 1 = x 3 (2.1) ẋ 2 = x 4 ẋ 3 = u (x 1 x 2 ) h 1 x 3 1 ẋ 4 = (x 1 x 2 ) h 2 x 4 2 y 1 = x 1 (2.2) y 2 = x 1 x 2 3

4 Anche in questo caso tutte le equazioni scritte sono lineari e quindi si può forulare il odello anche in fora atriciale: ẋ = Ax + bu y = Cx dove x = x 1 x 2 x 3 x 4 y1 y = y 2 = A = = C = h h b = 1 1 Dal punto di vista della classicazione, anche questo odello è a paraetri concentrati, deterinistico, invariante, proprio, lineare tepo-continuo. Rispetto al odello precedente cabia quindi solo l'ordine (4) e il nuero di uscite (2). 3 Il Voano 3.1 il problea del sistea idrico rappresentato in gura, dove i paraetri a 1, a 2 e b rappresentano percentuali delle quantità di acqua uscenti transitanti nei rispettivi tronchi. Il odello, ipotizzando che la quantità di acqua deuente da un certo invaso sia direttaente proporzionale al volue in esso contenuto, deve perettere di calcolare: la quantità di acqua che esce dal sistea; quella che coplessivaente viene ricircolata. 3.2 la soluzione Questo odello può essere rappresentato sia coe un sistea dinaico tepo-continuo, in cui gli archi della rete rappresentano dei ussi, cioè delle portate, sia tepo-discreto, a in questo caso gli archi rappresentano dei volui. Per la sua forulazione occorre introdurre una variabile di stato per ogni invaso presente (4), quindi le transizioni di stato rappresenteranno dei bilanci di assa in ciascun nodo 4

5 della rete. Rispettando le ipotesi di proporzionalità indicate nella traccia, e scegliendo una forulazione tepo-discreta, le equazioni del odello, dopo alcune seplicazioni algebriche, diventano: x 1 (t + 1) = x 1 (t) + u 1 (t) + a 1 1 x 1 (t) + ba 2 2 x 2 (t) 1 x 1 (t) (3.1) x 2 (t + 1) = x 2 (t) + u 2 (t) + 1 x 1 (t)(1 a 1 ) + (1 b)a 2 2 x 2 (t) 2 x 2 (t) x 3 (t + 1) = x 3 (t) + 2 x 2 (t)(1 a 2 ) 3 x 3 (t) x 4 (t + 1) = x 4 (t) + u 3 (t) + 3 x 3 (t) 4 x 4 (t) y 1 (t) = 4 x 4 (t) (3.2) y 2 (t) = a 1 1 x 1 (t) + a 2 2 x 2 (t) In ciascuna delle equazioni (3.1) i terini tra parentesi quadre rappresentano i volui in ingresso nell'intervallo di tepo scelto. Coe si vede, a dierenza dei odelli tepo-continui, nei odelli tepo-discreti anche le equazioni di transizione di stato sono algebriche. Tutte le equazioni scritte sono, anche in questo odello, lineari, e quindi lo si può forulare in fora atriciale: x t+1 = Ax t + Bu t y t = Cx t dove: A = C = 1 1 (1 a 1 ) ba (1 a 1 ) a 2 (1 b) 2 (1 a 2 ) a 1 1 a 2 2 B = Dal punto di vista della classicazione, anche questo odello è a paraetri concentrati, deterinistico, invariante, proprio e lineare. Inoltre è tepo-discreto, di ordine 4, con 3 ingressi e 2 uscite. 5