Corso di Dinamica e Modellistica degli Inquinanti Anno 2017 Modelli di riferimento per la dispersione di inquinanti in aria

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1 Corso di Dinaica e odellistica degli Inquinanti Anno 7 odelli di riferiento per la dispersione di inquinanti in aria Equazione di conservazione Consideriao un sistea di riferiento fisso centrato in corrispondenza della sezione eissiva e con assi x, y e z orientati rispettivaente secondo la direzione principale del vento, la direzione trasversale e verticale. La conservazione della assa di una specie conservativa scritta con riferiento ad un generico volue di controllo dx dy dz è : dc dt +udc dx +vdc dy +wdc dz K d C x dx +K d C y dy +K d C z dz dovec,[kg/ 3 ],èlaconcentrazionedellaspecie, u,v,w sonolecoponentidelcapodivelocità, [/s], e K x, K y e K z sono i coefficienti di dispersione turbolenta nelle tre direzioni, [ /s]. Il terine a sinistra dell equazione rappresenta la derivata sostanziale, ovvero la variazione della assa all interno di un volue di controllo che si sposta Lagrangianaente, alla stessa velocità del flusso. Con riferiento a questo volue di controllo, l unico eccaniso che prouove il trasferiento di assa è la dispersione in assenza di trasforazione chiico/fisica. Adottando un un sistea cartesiano solidale al volue di controllo x,y,z, l equazione nel sistea di riferiento obile diventa DC Dt K d C x dove D /Dt indica la derivata sostanziale. dx +K y d C dy +K z d C dz Capo di concentrazione prodotto da rilascio discreto puff Se all istante t il volue di controllo contiene una quantità doscreta di assa kg puff, la concentrazione è nulla altrove e il doinio non è deliitato doinio non confinato, la soluzione analitica dell equazione che descrive la variazione di concentrazione di specie nello spazio e nel tepo è data da odello di Roberts, eissione discreta: C puff x,y,z,t 8π t.5 exp x + y + z 3 K x K y K z.5 4t K x K y K z dove lecoordinate x,y,z rappresentanoladistanzadiunpuntorispettoall origine delsistea obile, solidale al volue di controllo. Se è noto il capo di oto coponenti di velocità del vento nelle tre direzioni, l equazione 3 può essere riscritta con riferiento al sistea di assi Cartesiano fisso centrato sulla sezione di eissione del puff considerando il oto relativo tra i due sistei cartesiani: x x + y y + z z + u dt 4 v dt 5 w dt 6 Per condizioni di vento prevalente i.e. stabile in direzione e intensità per intervalli di tepo significativi, nel sistea di riferiento definito x parallelo alla direzione prevalente si ha v u,, e l equazione del puff nel sistea di riferiento fisso diventa: C puff x,y,z,t 8π t.5 exp x ut + y + z K x K y K z.5 4t K x K y K z 7 C puff,unit 8 Nell equazione8, C puff,unit èilcapodiconcentrazioneassociatoadunaeissionediassaunitaria i cioè la funzione di risposta unitaria del sistea. L equazione 3 e le equazioni 4 che descrivono lo spostaento relativo del riferiento obile rispetto al sistea fisso danno origine alla

2 faiglia di odelli a puff Lagrangiano. Questi odelli perettono di valutare l ipatto prodotto da sorgente discreta in condizioni di capo di oto non unifore nello spazio e tepo dipendente. La assa discreta rilasciata ad ogni istante teporale viene trasportata e dispersa in funzione del capo di vento e dispersione locali e istantanei. L equazione 7 presuppone invece l uniforità nello spazio e la costanza nel tepo della velocità il terine di posizione argoento del prio terine dell esponenziale è stato ottenuto assuendo u indipendente dalla posizione e dal tepo. Il profilo di concentrazione prodotto dal rilascio discreto è Gaussiano nelle tre direzioni dello spazio. Indicato l allargaento del puff nelle tre direzioni con σ x, σ y e σ z, in [], dove σ x K x t 9 σ y K y t σ z K z t l equazione 7 può essere espressa coe odello di Pasquill-Gifford, eissione discreta: C puff x,y,z,t π.5 exp x ut σ x σ y σ z σx + y σy + z Con il passare del tepo, un rilascio discreto di fora inizialente sferica risulterebbe progressivaente traslato nella direzione del vento e allargato nelle tre direzioni dello spazio in isura proporzionale alla radice del coefficiente di dispersione e del tepo trascorso dal rilascio. Capo di concentrazione prodotto da rilascio continuo plue Ogni eissione continua può essere rappresentata coe una sequenza di eissioni discrete nel tepo: t τdτ 3 dove, [kg/s] è il rateo eissivo. L equazione che descrive la conservazione della assa è lineare e vale la sovrapposizione degli effetti, per cui l ipatto di una successione di eissioni discrete può essere calcolato coe soa degli ipatti prodotti dalle singole eissioni. Il capo di concentrazione dovuto ad una sequenza di eissioni è quindi dato da: C plue x,y,z,t k 8π t t k.5 K x K y K z.5 4 k,n exp 4t t k x + y + z K x K y K z dove k è la assa discreta associata ad ogni puff e t k è il tepo di eissione del singolo puff. Passando al continuo, se τ è l istante di eissione di ogni pacchetto di assa discreto C plue x,y,z exp 4t τ τdt 8π t τ.5 K x K y K z.5 5 x + y + z K x K y K z C puff,unit x,y,z,t τdt 6 Nell equazione 6, il terine integrale è un integrale di convoluzione soa di risposte ipulsive opportunaente traslate nel tepo, pesate secondo l entità istantanea del rateo eissivo. Nel caso di i vento prevalente e ii rateo eissivo costante, il capo di concentrazione nel sistea di riferiento fisso centrato sulla sezione di eissione è dato da odello di Roberts, eissione continua: C plue x,y,z exp u 4πx K y K z.5 4x y + z K y K z dove la dipendenza dal tepo sparisce trattandosi di condizioni stazionarie eissione, vento e dispersioni tepo invarianti. Anche in questo caso, l equazione può essere riscritta in funzione 7

3 dell allargaento del pennacchio in direzione trasversale e verticale odello di Pasquill-Gifford, eissione continua coe: C plue x,y,z exp y πuσ y σ z σy + z Le equazioni e 8 basate sull allargaento del puff/plue utilizzano espressioni analitiche per le quantità σ x, σ y e σ z che risultano dipendere dalle i condizioni di stabilità atosferica classi di Pasquill-Gifford, ii dalla distanza x a valle del punto di eissione a cui si valuta l allargaento del puff/plue e iii dalla tipologia di terreno vedi Briggs.pdf. Il capo di concentrazione descritto dall equazione 7 indica i profilo Gaussiano in direzione trasversale e verticale, con assio in corrispondenza di y e z linea centrale/asse del pennacchio e ii variazione della concentrazione lungo x decrescente data da 8 C plue x x 9 Effetto del doinio confinato Nei problei di dispersione atosferica la posizione della sorgente eissiva può essere più o eno elevata rispetto al terreno che rappresenta una superficie non valicabile per il trasporto degli inquinanti. Il capo di concentrazione in corrispondenza del suolo è utilizzato per valutare il potenziale ipatto dell enissione perchè il flusso di deposizione al suolo di inquinanti è controllato dal valore di concentrazione in prossiità della superficie di deposizione. Le curve di ipatto sono quindi ricavate coe isocontorni di concentrazione in corrispondenza del livello del terreno. É opportuno definire un sistea di riferiento con origine in corrispondenza del suolo, anzichè in corrispondenza della sezione eissiva. La trasforazione di coordinate da utilizzare per passare da uno all altro sistea di riferiento è : x x y y z z +H dove H, [] è l altezza della sezione eissiva nel riferiento. Nel sistea con origine sul terreno il capo di concentrazione associato alla sorgente continua risulta: C plue x,y,z exp u 4πx K y K z.5 4x y + z H K y K z Anche in questo caso, l equazione può essere riscritta in funzione dell allargaento del pennacchio in direzione trasversale e verticale odello di Pasquill-Gifford, eissione continua, sorgente elevata coe: C plue x,y,z exp y πuσ y σ z σy + z H Quando l allargaento verticale del pennacchio risulterà superiore ad H, sarà necessario aggiungere alla soluzione il contributo della sorgente virtuale situata a z H. Usando ancora il principio di sovrapposizione degli effetti, la concentrazione di eissione continua da sorgente elevata in doinio confinato risulterà data da: C plue x,y,z exp u y + z H + 4πx K y K z.5 4x K y K z + exp u y + z +H 4πx K y K z.5 4x K y K z exp u y [ exp uz H +exp uz +H ] 5 4πx K y K z.5 4x K y 4x t K z 4x K z 3 3 4

4 Il profilo è ancora Gaussiano in direzione trasversale con assio a y, in corrispondenza del piano verticale passante per l asse del pennacchio. In corrispondenza del suolo z, la curva di ipatto è data da: C plue x,y, exp u y exp u H 6 4πx K y K z.5 4x K y 4x K z I valori assii di concentrazione al suolo si hanno in corrispondenza dell asse del pennacchio, y, con legge data da: C plue x,, exp u H exp H u 7 πx K y K z.5 4x K z x 4K z x Questa funzioneè nulla per x e x e positiva, con assio, all interno dell intervallo. Per trovare la posizione del assiodistanza dalla sorgente del punto di assia ricaduta, è sufficiente eguagliare a zero la derivata della funzione: dc plue dx x exp da cui seplificando si ottiene da cui H u 4K z x La posizione del assio di ricaduta è quindi: + x exp + H u x 4K z H u H u 4K z x 4K z x x 8 9 x,ax H u 4K z 3 tanto più lontano dalla sorgente quanto aggiore è l altezza H H e la velocità u del vento; tanto più vicina quanto aggiore è la costante di dispersione verticale. Sostituendo x,ax nella 7 si ottiene il valore del assio di concentrazione: che risulta: C plue,ax exp πuh Kz linearente proporzionale al rateo eissivo, ; K y.5 uh Kz K y.5 3 inversaente proporzionale alla velocità del vento, u, e all altezza dell eissione, H; direttaente proporzionale al coefficiente di dispersione verticale. K z, e inversaente proporzionale al coefficiente di dispersione trasversale, K y. L elevata dispersione verticale prouove l allargaento vericale del pennacchio nelle zone prossie al punto di eissione, con ricaduta potenzialente aggiore; l elevata dispersione trasversale prouove l allargaento orizzontale del pennacchio, con una diluizione aggiore della specie inquinante pria che il pennacchio arrivi al suolo. In terini di odello di Pasquill-Gifford, gli isocontorni di ricaduta al suolo sono dati da C plue x,y, exp y πuσ y σ z σy exp H σ z 3 e la concentrazione al suolo a valle del punto eissivo lungo l asse del plue è data da: C plue x,, exp H πuσ y σ z 33 4

5 Velocità Insolazione Copertura nuvolosa/notturna [/s] forte oderata leggera olto nuvoloso poco nuvoloso < A A-B B E 3 A-B B C E 3 5 B B-C C D E 5 6 C C-D D D D > 6 C D D D D abella : Classi di Pasquill per la descrizione delle condizioni di stabilità atosferica. Effetto della stabilità atosferica Si riporta la abella relativa alle categorie di stabilità atosferica definite da Pasquill che vengono utilozzate per identificare espressioni idonee per i coefficienti di allargaento trasversale e verticale dei pennacchi. Nell equazione 33 la dipendenza della concentrazione al suolo dalla coordinata x è iplicita nei valori di σ y x e per cui non è facile vedere da queste forule l effetto della variazione di velocità sulla posizione del assio. Anche il valore di assia ricaduta non è direttaente valutabile: per una data classe di stabilità valori di σ y e σ z, diinuisce all auentare della velocità ; tuttavia, all auentare della velocità cabia, a parità di grado di insolazione, la classe di stabilità con un progressivo auento dei coefficienti di dispersione trasversale e verticale. Per il coefficiente trasversale, aggiore è σ y e più bassoèil assiodi ricaduta, entre per σ z si ha che, all auentare del paraetro, il plue si allarga di più ed è in grado di interagire pria quando il pennacchio è più concentrato con il terreno. 5