Forze Centrali e Problema dei Due Corpi

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1 Forze Centrali e Problea dei Due Corpi In questo capitolo studiao il oto di un punto ateriale sottoposto ad una forza centrale. Uno dei risultati più iportanti che verrà presentato è la derivazione delle tre leggi di Keplero. Coe è noto tali leggi descrivono l orbita di un pianeta nel sistea solare. 1 Cineatica Consideriao ora un oto r = rt per cui l accelerazione r è collineare al oto, cioè r r = 0. 1 In tal caso d r ṙ = ṙ ṙ dt }{{} +r r = 0. =0 Di conseguenza r ṙ è un vettore costante. Nel caso in cui il vettore r ṙ si annulli, abbiao la collinearità dei vettori r, ṙ e r e il oto è rettilineo. Nel caso contrario i vettori r e ṙ appartengono al piano per l origine ortogonale al vettore costante r ṙ, quindi il oto è piano. Utilizzando la seconda legge di Newton, si vede che l ipotesi 1 iplica r F = 0, dove F = r è la forza che agisce sulla particella di assa. Ciò iplica che il oento angolare L = r p 3 è costante, dove p = ṙ è la quantità di oto. Il oto è rettilineo se L = 0, entre risulta essere ristretto al piano per l origine ortogonale ad L se L 0. 1

2 cegliendo le coordinate x, y, z tali che L i = L j = 0 e L k > 0, adottiao le coordinate cilindriche r, θ, z tali che x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. Introducendo il versore radiale ê r e quello tangenziale ê θ nel seguente odo otteniao Dunque ê r = x r i + y j = cos θi + sin θj, r ê θ = y r i + x j = sin θi + cos θj, r ẋ = d dt r cos θ = ṙ cos θ r θ sin θ, ẏ = d dt r sin θ = ṙ sin θ + r θ cos θ, ê r = sin θ θi + cos θ θj = θê θ, ê θ = cos θ θi sin θ θj = θê r. ẍ = d dt ṙ cos θ r θ sin θ = r cos θ ṙ θ sin θ r θ sin θ r θ cos θ, ÿ = d dt ṙ sin θ + r θ cos θ = r sin θ + ṙ θ cos θ + r θ cos θ r θ sin θ, entre z = 0. Di conseguenza, essendo r = rê r, ṙ = ṙê r + r θê θ, r = [ r r θ ]ê r + [ṙ θ + r θ]ê θ. 4a 4b Calcoliao ora il oento angolare. i ha L = r ṙ = rê r ṙê r + r θê θ = r θêr ê θ = r θk = Ak, dove A = 1 r θ è la velocità areale. Quindi L = L = Ȧ è il oento angolare.

3 Baricentro e Forze Centrali i considerino due oggetti di assa M e assiilabili, ad esepio, al ole ed un pianeta che ruota intorno ad esso, che iaginereo di scheatizzare con due punti ateriali, le cui posizioni rispetto all origine O di un sistea di riferiento inerziale sono individuate dai due vettori posizione r 1 per il pianeta e r per il ole. Le sole forze agenti sul sistea dei due corpi sono quelle di utua interazione F 1 e F 1, che supporreo essere dirette lungo il segento tra i due corpi e di avere risultante zero. Introduciao le nuove variabili r = r 1 r, R = r 1 + M r, dove r è la posizione relativa del pianeta rispetto al ole e R è la posizione del centro di assa dei due corpi. iccoe R = r 1 + M r è una cobinazione lineare convessa cioè, aventi per coefficienti nueri copresi tra 0 e 1 la cui soa è 1 delle posizioni r 1 del pianeta e r del ole, la posizione del centro di assa R appartiene al segento congiungente dei due corpi. Le posizioni r 1 e r si espriono nelle nuove coordinate nel seguente odo: r 1 = R + M r, r = R r. Rispetto alle nuove coordinate l energia cinetica totale si esprie coe T = 1 ṙ 1 + 1M ṙ = 1 Ṙ + M ṙ + 1M Ṙ ṙ = 1 + M Ṙ + 1 M ṙ = 1 M Ṙ + 1 µ ṙ, essendo M =, µ = M. 3

4 La quantità M rappresenta la assa totale assa del ole più assa del pianeta del sistea, entre µ è la cosiddetta assa ridotta. Nel caso in cui M, abbiao µ < e µ M, che giustifica il terine assa ridotta. Una tale trasforazione si applica anche al oento angolare. Infatti, siano p 1 e p la quantità di oto del pianeta e del ole. Allora L = r 1 p 1 + r p = r 1 ṙ 1 + M r ṙ [ = R + M ] [ r Ṙ + M ] ṙ + M ] [ ] + M [R r Ṙ ṙ = R Ṙ + M + M r ṙ = R Ṙ + M r ṙ = MR Ṙ + µr ṙ = R P + r p, dove P è la quantità di oto del baricentro e p è quella del oto relativo al baricentro. La risultante delle forze, F est., si trasfora nel seguente odo: F est. = r 1 + M r = R + M r + M = R = M R. R r Quindi la risultante delle forze causa un accelerazione del baricentro. Nello studio del problea dei due corpi facciao l ipotesi che il loro baricentro sia fero: Ṙ = 0. cegliendo l origine del sistea di riferiento sul baricentro, l energia cinetica sarà T = 1 µ ṙ ed il oento angolare sarà L = r p, dove p = µṙ. upponiao inoltre che le forze agenti tra i due corpi, F 1 e F 1 = F 1, dipendano soltanto dalla distanza tra loro, cioè da r = r = r 1 r. In 4

5 altre parole, la forza F 1, che il ole esercita sul pianeta, dipende soltanto da r: F 1 = frê r, essendo la fr una funzione continua di r e ê r il versore radiale cioè, proveniente dal baricentro. ia Ur una priitiva della fr: fr = U r. Allora r = r = x + y + z e Ur = x Uri + y Urj + z Urk = U { r r x i + r y j + r } z k { x = U r r i + y r j + z } r k = frê r = F 1, dove ê r è il versore radiale con coponenti x/r, y/r e z/r. In altre parole, la forza, che il ole esercita sul pianeta, è conservativa. 3 Forza Gravitazionale econdo la teoria della gravitazione di Newton, due corpi esercitano una forza gravitazionale uno sull altro che è proporzionale al prodotto delle loro asse e inversaente proporzionale al quadrato della distanza tra essi. In altre parole, F 1 = GM ê r r, dove G è una costante universale deterinata sperientalente per la pria volta da Henry Cavendish nel iccoe M = µ = µm, abbiao anche dove F 1 = GµM r = Ur, Ur = GµM. r 5

6 Per trovare l orbita del pianeta intorno al ole, applichiao la seconda legge di Newton nel sistea di riferiento del centro di assa: µ[ r r θ ] = U r, dove µr θ è la forza centrifuga. iccoe la velocità areale A = 1 r θ = L/µ per L il oento angolare, si ha µr θ L = µr = L µr µr. 3 Infine arriviao all equazione differenziale µ r = GµM r + L µr 3. 5 Per risolvere la 5 introduciao la nuova funzione u = 1/r e convertiao le derivate rispetto al tepo in derivate rispetto a θ: In particolare, d dt = θ d dθ = L d µr dθ = Lu µ d dθ. ṙ = d dt r = d 1 dt u = Lu d1/u = L du µ dθ µ dθ, r = Lu d L du = L u d u µ dθ µ dθ µ dθ. ostituendo tali espressioni per r e r nella 5 otteniao Oppure: L u µ d u dθ = GµMu + L µ u3. u θ + uθ = Gµ M. 6 La soluzione generale è la seguente: uθ = Gµ M 1 + ε cosθ θ 0, 6

7 y d r θ O b x a Figura 1: Orbita di un pianeta nel sistea solare. dove ε e θ 0 sono costanti arbitrarie. Di conseguenza rθ = L 1 Gµ M 1 + ε cosθ θ 0. 7 Introducendo le coordinate x e y tali che l asse x positivo ha la stessa direzione della seiretta di angolo polare θ 0 cioè, x = r cosθ θ 0 e y = r sinθ θ 0, risulta x + y + εx = r + εx = r[1 + ε cosθ θ 0 ] = L Gµ M. Eliinando la radice quadrata arriviao all equazione quadratica L x + y = ε Gµ M Gµ M x + ε x. 8 i presentano quattro casi: a. ε = 0: rθ = [ /Gµ M] è costante. Il oto è una circonferenza attorno al baricentro del ole e del pianeta. b. 0 < ε < 1: i ha 1 ε ε L x + y 1 = Gµ M1 ε Gµ M 1 ε, 7

8 oppure: ε x Gµ M1 ε y + = 1, Gµ M1 ε Gµ M 1 ε cioè un ellisse con seiassi a = Gµ M1 ε, b = Gµ M 1 ε, seidistanza dei fuochi d = ε /Gµ M 1 ε e l eccentricità d/a = ε, entre il baricentro è uno dei fuochi. c. ε = 1: In tal caso y = { } L L Gµ M Gµ M x, una parabola con il baricentro nel fuoco. d. ε > 1: In tal caso ε x Gµ Mε 1 Gµ Mε 1 un iperbole con seiassi a = y Gµ M ε 1 = 1, Gµ Mε 1, b = Gµ M ε 1, seidistanza dei fuochi d = ε /Gµ M ε 1 e l eccentricità d/a = ε, entre il baricentro è uno dei fuochi. e. Per ε < 0 abbiao le stesse coniche, poiche la transforazione x, ε x, ε converte la 8 in se stessa. 8

9 Torniao al caso 0 < ε < 1. Il periodo del oto è τ = πab A = πab L/µ = πabµ L. Poichè b = a 1 ε, τ = 4π a b µ = 4π a 4 1 ε µ = a 3 4π µ 1 ε Gµ M1 ε = a3 4π GM. otto l ipotesi che M cioè che M M e µ risultano le tre leggi di Keplero [Astronoia Nova, 1609]: 1. Pria legge di Keplero: Le orbite dei pianeti sono ellissi con il ole che occupa uno dei fuochi. In realtà, le orbite dei pianeti sono ellissi con il baricentro del ole e del pianeta che occupa uno dei fuochi.. econda legge di Keplero: La velocità areale A è costante: A = µ. 3. Terza legge di Keplero: Il rapporto tra il quadrato del periodo τ e il cubo del seiasse aggiore a è una costante che non dipende dal pianeta: τ a 3 = 4π GM 4π GM. 9