QUANTITA DI MOTO Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006

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1 QUANTITA DI MOTO

2 DEFINIZIONE(1) m v Si chiama quantità di moto di un punto materiale il prodotto della sua massa per la sua velocità p = m v La quantità di moto è una grandezza vettoriale La dimensione della quantità di moto è ML/T La sua unità di misura nel sistema MKS è kg.m/s

3 DEFINIZIONE(2) Nuova formulazione della seconda legge di Newton v(t) m v(t+ t) m v(t+ t) v(t) v a = = t t mv(t+ t) mv(t) p(t+ t) p(t) p ma = = = t t t p ΣF = t

4 DEFINIZIONE(3) Impulso Consideriamo un punto materiale soggetto ad una forza F durante un intervallo di tempo t, allora p = F t Il prodotto della forza per l intervallo di tempo durante il quale essa è applicata F t si chiama impulso. Per la seconda legge di Newton, l impulso è uguale alla variazione di quantità di moto prodotta dalla forza Questa formula è utile nei casi in cui non si conosce la forza ma si può misurare la variazione di quantità di moto

5 F DEFINIZIONE(4) Impulso t t 1 t 2 Consideriamo il caso di una forza non costante che agisce nell intervallo di tempo (t 1,t 2 ). Qual è l impulso di questa forza?

6 F DEFINIZIONE(5) Impulso t 1 t t+ t t 2 t Nell intervallo (t,t+ t) se t è piccolo possiamo considerare la forza costante e l impulso è F(t) t

7 F DEFINIZIONE(6) Impulso L area è uguale a p t 1 t 2 t L impulso totale nell intervallo (t 1,t 2 ) è ΣF(t) t ed è uguale all area sotto alla curva della forza

8 F DEFINIZIONE(7) Impulso L area è uguale a p F media t t 1 t 2 La forza media è F media = p / (t 2 -t 1 ) ed è uguale ad una forza costante che, applicata durante lo stesso intervallo di tempo (t 1,t 2 ), produce lo stesso impulso

9 SISTEMA A DUE CORPI (1) Il concetto di quantità di moto è molto utile nello studio dei sistemi con molti corpi Per sistema si intende un insieme di corpi (punti materiali) sul quale poniamo l attenzione e del quale vogliamo studiare l evoluzione nel tempo Un sistema deve essere ben delimitato (dobbiamo essere in grado di dire quali punti materiali appartengono al sistema e quali no)

10 SISTEMA A DUE CORPI (2) Un punto materiale appartenente al sistema è soggetto a forze esercitate da altri punti materiali che possono appartenere o no allo stesso sistema Una forza che agisce su di un punto materiale appartenente al sistema è detta: 1) interna se è generata da un altro punto materiale appartenente al sistema 2) esterna se è generata da un punto materiale non appartenente al sistema

11 SISTEMA A DUE CORPI (3) Esempio Sole Terra Luna Sistema = Terra + Luna le forze esercitate dal Sole sulla Terra e sulla Luna sono forze esterne le forze esercitate dalla Terra sulla Luna e dalla Luna sulla Terra sono forze interne

12 SISTEMA A DUE CORPI (4) Esempio Sole Terra Luna Sistema = Terra le forze esercitate dal Sole sulla Terra e dalla Luna sulla Terra sono forze esterne le forze esercitate dal Sole sulla Luna e dalla Terra sulla Luna non sono forze che agiscono sul sistema

13 SISTEMA A DUE CORPI (5) m 1 v 1 m 2 v 2 DEFINIZIONE: La quantità di moto totale di un sistema a due corpi è la somma vettoriale delle quantità di moto dei due corpi: P = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 Questa definizione si generalizza al caso di tre o più corpi. Nel caso di N corpi con masse m 1, m 2,, m N, e velocità v 1, v 2,, v N, la quantità di moto totale del sistema è P = p 1 + p p N = m 1 v 1 + m 2 v m N v N

14 SISTEMA A DUE CORPI (6) m 1 v 1 m 2 v 2 Possiamo generalizzare a questo sistema, la seconda legge di Newton? Ovvero, possiamo trovare una legge, valida per il sistema a due corpi, simile a quella che vale per un singolo punto materiale? p ΣF = t

15 SISTEMA A DUE CORPI (7) m 1 v 1 m 2 v 2 Esprimiamo la variazione della quantità di moto totale in funzione della variazione delle singole quantità di moto P = P(t+ t) P(t) = p 1 (t+ t) + p 2 (t+ t) [p 1 (t) + p 2 (t)] = [p 1 (t+ t) p 1 (t)] + [p 2 (t+ t) p 2 (t)] = p 1 + p 2 Da cui ricaviamo, dividendo per t: P p 1 p 2 = + t t t

16 SISTEMA A DUE CORPI (8) m 1 F 1est F 12 F 21 Ai due corpi del sistema possiamo applicare la seconda legge di Newton: p 1 / t = F 1ris = F 12 + F 1est p 2 / t = F 2ris = F 21 + F 2est Dalla precedente relazione abbiamo: P/ t = p 1 / t + p 2 / t = F 12 + F 1est + F 21 + F 2est Ma per la terza legge di Newton, F 12 = - F 21, quindi: P/ t = F 1est + F 2est, ovvero m 2 F 2est P/ t = Σ F esterne

17 SISTEMA A DUE CORPI (9) Abbiamo ottenuto la seguente generalizzazione della seconda legge di Newton: La variazione della quantità di moto totale di un sistema a due corpi, nell unità di tempo, è uguale alla somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema Questa legge si generalizza ulteriormente ad un sistema con un numero qualsiasi di punti materiali perché le forze interne si annullano sempre a due a due in virtù del terzo principio della dinamica

18 SISTEMA A DUE CORPI (10) m 1 F 12 F 21 m 2 F 1est F 13 F 23 F 2est F12= - F21 F 31 F 32 F 13 = - F 31 m 3 F 3est F 32 = - F 23

19 SISTEMA A DUE CORPI (11) Ad esempio per tre corpi avremmo: p 1 / t = F 1ris = F 12 + F 13 + F 1est p 2 / t = F 2ris = F 21 + F 23 + F 2est p 3 / t = F 3ris = F 31 + F 32 + F 3est La variazione della quantità di moto totale: P/ t = p 1 / t + p 2 / t + p 3 / t = F 12 + F 13 + F 1est + F 21 + F 23 + F 2est + F 31 + F 32 + F 3est Ma per la terza legge di Newton, F 12 = - F 21, F 13 = - F 31, F 32 = - F 31, quindi: P/ t = F 1est + F 2est + F 3est, ovvero P/ t = Σ F esterne

20 SISTEMA A DUE CORPI (12) In forma generale, possiamo formulare la generalizzazione del secondo principio della dinamica ad un sistema con molti corpi: La variazione della quantità di moto totale di un sistema, nell unità di tempo, è uguale alla somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema P/ t = Σ F esterne

21 SISTEMA A DUE CORPI (12) Un importante corollario della legge precedente è il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO Se la somma di tutte le forze esterne che agiscono su di un sistema è uguale a zero, la quantità di moto del sistema è costante P/ t = Σ F esterne = 0 P = costante Osserviamo che P è un vettore quindi, in questo caso, P x = costante P y = costante P z = costante

22 SISTEMA A DUE CORPI (13) DEFINIZIONE: Se la somma di tutte le forze esterne che agiscono su di un sistema è uguale a zero, si dice che il sistema è isolato Il principio di conservazione della quantità di moto si può anche enunciare così: La quantità di moto di un sistema isolato è costante OSSERVAZIONE: affinché un sistema sia isolato non è necessario che su di esso non agisca alcuna forza, è sufficiente che la somma delle forze che agiscono sia nulla

23 SISTEMA A DUE CORPI (14) Consideriamo un sistema isolato a due corpi. Dalla relazione P/ t = p 1 / t + p 2 / t, poiché P/ t = 0, otteniamo p 1 / t = - p 2 / t Ovvero, la variazione della quantità di moto nell unità di tempo di un corpo è uguale e contraria alla variazione della quantità di moto nell unità di tempo dell altro corpo In realtà ci aspettavamo già questo risultato perché p 1 / t = F 12, p 2 / t = F 21, e F 12 = - F 21 questa considerazione mostra che partendo dal principio di conservazione della quantità di moto si ottiene la terza legge di Newton

24 URTI (1) Un urto è un interazione tra corpi (punti materiali) limitata nel tempo e nello spazio Nel caso di corpi macroscopici, le forze che si manifestano durante l urto sono generalmente forze elastiche generate dalla deformazione dei corpi durante l urto stesso (es. biliardo) Tali forze sono interne al sistema dei corpi che urtano e non modificano la quantità di moto totale del sistema In particolare, se il sistema dei corpi che urtano è isolato, possiamo utilizzare il principio di conservazione della quantità di moto per studiare gli effetti dell urto sulla velocità dei corpi, anche se non conosciamo in dettaglio le forze che si manifestano durante l urto stesso

25 URTI (2) m 2 v 2 m 2 v 2 m 1 v 1 m 1 v 1

26 URTI (3) Considereremo solo urti unidimensionali prima dell urto m 1 m 2 v1 v 2 x dopo l urto m 1 v 1 m 2 v 2 x Se possiamo trascurare l attrito, il sistema è isolato Supponiamo di conoscere le velocità v 1 e v 2 prima dell urto e, mediante il principio di conservazione della quantità di moto, calcoliamo le velocità v 1 e v 2 dopo l urto

27 URTI (4) La quantità di moto (totale) prima dell urto è uguale a quella dopo l urto: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 Notiamo che le velocità sono grandezze algebriche anziché vettoriali perché l urto è unidimensionale Poiché abbiamo due incognite (v 1 e v 2 ) ed una sola equazione, non possiamo risolvere il problema

28 URTI (5) Urto elastico DEFINIZIONE: un urto è detto elastico se nell urto si conserva l energia cinetica del sistema, ovvero se l energia cinetica prima dell urto è uguale all energia cinetica dopo l urto: (1/2) m 1 v 12 + (1/2)m 2 v 22 = (1/2) m 1 v 12 + (1/2)m 2 v 2 2 Nel caso di un urto elastico abbiamo un sistema di due equazioni con due incognite e possiamo risolvere il problema

29 URTI (6) Urto elastico m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 (1/2) m 1 v 12 + (1/2)m 2 v 22 = (1/2) m 1 v 12 + (1/2)m 2 v 2 2 m 1 (v 1 v 1 ) = m 2 (v 2 v 2 ) m 1 (v 12 v 12 ) = m 2 (v 22 v 22 ) Dividendo la seconda equazione per la prima otteniamo: v 1 + v 1 = v 2 + v 2 ovvero: v 1 v 2 = v 2 v 1

30 URTI (7) Urto elastico Notiamo che v 2 v 1 è la velocità con cui i due corpi si avvicinano prima dell urto (infatti v 2 v 1 è la velocità di m 2 misurata da un osservatore che si muove con m 1 ), mentre v 1 v 2 è la velocità con cui i due corpi si allontanano dopo l urto (infatti v 1 v 2 è l opposto della velocità di m 2 misurata da un osservatore che si muove con m 1 ) Il risultato precedente: v 1 v 2 = v 2 v 1 ci dice che nell urto elastico la velocità di allontanamento dopo l urto è uguale alla velocità di avvicinamento dei due corpi prima dell urto

31 URTI (8) Urto elastico Abbiamo un nuovo sistema di equazioni: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 v 1 - v 2 = - v 1 + v 2 Moltiplichiamo la seconda equazione per m 2 e sommiamo le due equazioni: (m 1 + m 2 ) v 1 = (m 1 -m 2 ) v 1 + 2m 2 v 2 da cui otteniamo: (m 1 -m 2 )v 1 +2m 2 v 2 v 1 = m 1 + m 2

32 URTI (9) Urto elastico Torniamo al sistema di equazioni: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 v 1 - v 2 = - v 1 + v 2 Moltiplichiamo la seconda equazione per m 1 e sottraiamola dalla prima: (m 1 + m 2 ) v 2 = 2m 1 v 1 +(m 2 m 1 ) v 2 da cui otteniamo: 2m 1 v 1 +(m 2 m 1 ) v 2 v 2 = m 1 + m 2

33 URTI (10) Urto elastico Riassumendo per l urto elastico: (m 1 -m 2 )v 1 +2m 2 v 2 v 1 = m 1 + m 2 2m 1 v 1 +(m 2 m 1 ) v 2 v 2 = m 1 + m 2 Notiamo che queste formule sono simmetriche, ovvero la seconda si ottiene dalla prima scambiando gli indici 1 e 2

34 URTI (11) Urto elastico Caso particolare: la massa m 2 è inizialmente a riposo (v 2 = 0) m 1 v1 m 2 prima dell urto x Le formule precedenti diventano: (m 1 -m 2 )v 1 v 1 = m 1 + m 2 2m 1 v 1 v 2 = m 1 + m 2 Notiamo che se m 1 > m 2, v 1 e v 1 hanno lo stesso segno, se m 1 < m 2, v 1 e v 1 hanno segni opposti

35 URTI (12) Urto elastico Caso particolare: la massa m 2 è inizialmente a riposo (v 2 = 0) m 1 m v 2 prima dell urto 1 x dopo l urto m 1 > m 2 m 1 v m 2 1 v 2 x dopo l urto m 1 < m 2 m 1 v 1 m 2 v 2 x

36 URTI (13) Urto elastico Altro caso particolare: le due masse sono uguali (m 1 = m 2 ) Dalle formule dell urto elastico otteniamo: v 1 = v 2 e v 2 = v 1 I due corpi si scambiano le velocità prima dell urto m 1 m v 2 1 v 2 x dopo l urto m 1 v2 m 2 v 1 x

37 URTI (14) Urto anelastico Coefficiente di restituzione Abbiamo visto che nell urto elastico v 1 v 2 = v 2 v 1 la velocità di allontanamento dei due corpi dopo l urto è uguale alla velocità di avvicinamento prima dell urto Nell urto anelastico, l energia cinetica non si conserva. Parte dell energia cinetica che i corpi possiedono prima dell urto viene dissipata durante l urto (ad esempio per produrre una deformazione plastica dei corpi stessi). L energia cinetica dei corpi dopo l urto è inferiore a quella prima dell urto

38 URTI (15) Urto anelastico Coefficiente di restituzione La diminuzione di energia cinetica nell urto anelastico si riflette nel fatto che la velocità allontanamento di dei due corpi è inferiore alla velocità avvicinamento v 1 v 2 < v 2 v 1 In generale possiamo scrivere la seguente formula valida per tutti gli urti: v 1 v 2 = e (v 2 v 1 ) dove e = 1 per un urto elastico, mentre 0 e < 1 per un urto anelastico

39 URTI (16) Urto anelastico Coefficiente di restituzione Il coefficiente e si chiama coefficiente di restituzione. Se conosciamo il valore del coefficiente di restituzione, la precedente formula, unita all equazione della conservazione della quantità di moto ci permette di calcolare la velocità dei corpi dopo l urto m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 v 1 - v 2 = - ev 1 + ev 2

40 URTI (17) Urto perfettamente anelastico Il caso e = 0 caratterizza l urto perfettamente anelastico. Dalla formula precedente vediamo che v 1 = v 2. In questo caso la velocità di allontanamento è nulla e i due corpi restano attaccati dopo l urto L equazione della conservazione della quantità di moto diventa: m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v da cui ricaviamo: m 1 v 1 + m 2 v 2 v = (m 1 + m 2 )

41 URTI (18) Urto perfettamente anelastico Notiamo che la velocità dei due corpi dopo l urto è uguale alla velocità del centro di massa prima dell urto Infatti la posizione dei due corpi dopo l urto coincide con quella del centro di massa (perché sono attaccati), quindi la loro velocità è la velocità del loro centro di massa D altra parte la velocità del centro di massa non cambia per effetto dell urto perché la quantità di moto si conserva (quest ultima osservazione non è limitata al caso dell urto perfettamente anelastico)

42 Il pendolo balistico permette di misurare la velocità di un proiettile. Consiste in un blocco di materiale duttile appeso a due fili ESEMPIO (1) Pendolo balistico v m prima dell urto M

43 Il proiettile urta con il blocco in modo perfettamente anelastico. Calcoliamo la velocità del blocco subito dopo l urto: mv = (m + M) v da cui: v = mv / (m + M) ESEMPIO (2) Pendolo balistico dopo l urto 1 m M v

44 L energia cinetica acquisita dal blocco nell urto permette a quest ultimo di sollevarsi contro la forza peso fino all altezza h (1/2)(m+M)v 2 = (m+m)gh (1/2)[m/(m+M)] 2 v 2 = gh v = [(m+m)/m] (2gh) ESEMPIO (3) Pendolo balistico m M h dopo l urto 2