ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI.

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1 ESERCIZI SULL DINMIC DI CRPI RIIDI. Risoluzione mediante equazioni di Lagrange, equilibrio relativo (forze aarenti), stazionarietà del otenziale U; stabilità dell equilibrio e analisi delle iccole oscillazioni. Esercizio n.7 - terza risoluzione alternativa Il sistema è raresentato dalla massa untiforme m q, dal disco di massa M e raggio R che rotola senza strisciare sul iano inclinato di un angolo α sull orizzontale e dal filo che scorre arallelamente al iano inclinato e su un erno liscio (B). B M, R α C q Determinare il moto del sistema mediante le equazioni di Lagrange. Il sistema è caratterizzato da un grado di libertà: come coordinata libera si sceglie la osizione x del eso q. s n x t k α C q

2 2 Come visto in recedenza, la rotazione del disco e la osizione s del baricentro lungo il iano inclinato diendono linearmente da x: = ẋ 2R = x 2R ṡ = R = ẋ 2 s = s x 2 Essendo inoltre il sistema conservativo, è ossibile definire il otenziale U delle forze alicate: Û = qx+( sin α) s = sin α x + sin αs e, eliminando i termini costanti (inessenziali er la definizione di U), si uò assumere: U = sin α x L energia cinetica T del sistema è data dalla seguente esressione: T = 2 m qẋ 2 + µ q = 2 g I 2 C = q 2 g ẋ2 + 8 M ẋ 2 = 2 8g " µ µ 2 2 MR2 ẋ # 2 = 2R (8q +) ẋ2 La lagrangiana del sistema è dunque data dall esressione seguente L = T + U = 2 8g (8q +) ẋ2 + sin α x e l equazione del moto: d µ L L ẋ x = (8q +) ẍ 8g sin α = Con alcuni assaggi algebrici si ricava: 8q 4 sin α ẍ = g 8q + equazione che coincide con quelle ricavate in recedenza con i vari metodi e che, risolta e assegnate le condizioni iniziali, fornisce la legge oraria del moto del eso q. La legge oraria del disco si ricava dalla relazione: = ẋ 2R = ẍ 2R = g 8q 4 sin α 2R 8q + che deve essere risolta mediante integrazione e assegnazione delle condizioni iniziali su.

3 Esercizio n.2 Un asta esante di massa M e lunghezza L è vincolata ad un unto fisso mediante una cerniera sferica liscia che le ermette di ruotare liberamente nello sazio. M, L Suonendo che l asta sia modellata come elemento rigido mono-dimensionale, ricavare le equazioni del moto del sistema. Il vincolo in ermette all asta due rotazioni. Come coordinate libere si scelgono le rotazioni e ϕ raresentate nella figura seguente. ϕ M, L M, L

4 4 Essendo il vincolo liscio e la forza eso conservativa, il moto uò essere determinato mediante le equazioni di Lagrange. s Q /L Sia s l ascissa che misura la distanza del generico unto Q dell asta dall origine ( s L). Il otenziale U è il lavoro comiuto dal carico distribuito er unità di lunghezza dell asta L e diende esclusivamente dalla coordinata : U = ³ L z Q ds = ³ L (s cos ) ds = L cos L2 2 = L 2 cos Si noti che lo stesso risultato uò essere ottenuto immediatamente mediante il risultante del carico distribuito, ovvero il eso (alicato nel baricentro ): U = z = L 2 cos nalogamente, l energia cinetica uò essere determinata mediante definizione; indicata con γ la densità di massa dell asta (er unità di lunghezza, γ = M/L) si ottiene: T = 2 γv2 Q ds ³ La velocità del generico unto Q uò essere ricavata a artire dal vettore Q ³ Q = x Q i + y Q j + z Q k =(ssin cos ϕ) i +(ssin sin ϕ) j +(scos ) k ³ d Q ³ v Q = = s cos cos ϕ s ϕ sin sin ϕ i+ ³ + s ³ cos sin ϕ + s ϕ sin cos ϕ j + s sin k da cui, doo alcune semlificazioni: v 2 Q = v Q v Q =

5 5 e l energia cinetica: T = ³ 2 γ 2 + ϕ 2 sin 2 s 2 ds = 6 ML2 ³ 2 + ϕ 2 sin 2 Le equazioni del moto si ottengono dalla definizione della lagrangiana: ½ d L d L = ϕ ϕ L L = L = T + U = 6 ML2 ½ ³ 2 + ϕ 2 sin 2 + L 2 cos d ML2 ϕ sin 2 = ML2 6 ML2 ϕ 2 2sincos L sin = 2 da cui si ricava il sistema di equazioni differenziali del moto, la cui integrazione deve essere generalmente effettuataervianumericadooaverassegnatolecondizioni iniziali [ () =, () =, ϕ () = ϕ, ϕ () = ϕ ]: ½ ϕ sin 2 = ML 2 = ϕ 2 sin cos g sin () 2 L Tra i vari moti ossibili (che si differenziano er le differenti condizioni iniziali) ve ne sono alcuni articolari er cui: ½ ϕ (t) =Ω = cost. (t) = = cost. (2) ovvero l asta ruota con velocità angolare Ω costante attorno all asse verticale y mentre l angolo di aertura rimane costante. Per un osservatore solidale col iano che contiene l asta e l asse z l asta aare fissa, ovvero in "equilibrio relativo". Questa considerazione verrà successivamente utilizzata er utilizzare altri arocci risolutivi. Sostituendo le (2) nel sistema () si ottengono i valori er assegnata velocità angolare Ω: ½ = ML2Ω sin2 sin Ω 2 cos 2 g L = = 2 = π cos = 2 g L Ω 2 dovelaterzasoluzioneèvalidasoloerω 2 sufficientemente elevato: g 2 L Ω 2 Ω2 g 2 L Metodo alternativo er la ricerca delle configurazioni di "equilibrio relativo" Le soluzioni articolari (2) determinate in recedenza definiscono, er un osservatore solidale col iano che contiene l asta e l asse z, l asta come in "equilibrio relativo". Tale osservatore non è erò inerziale: queste configurazioni articolari ossono essere determinate con l equilibrio solo se si introducono le forze d inerzia

6 6 che, essendo l osservatore solidale con l asta, si riducono alle sole forze centrifughe (f Ω = γω 2 r,conr = x 2 + y 2 = s sin ). s Ω Q γ Ω 2 r Il risultante delle forze centrifughe è: F Ω = f Ω ds = γ Ω 2 sin sds= M Ω 2 L 2 sin = M Ω2 r e va alicato alla quota z Ω : M = f Ω zds= γ Ω 2 sin cos z Ω = 2L cos s 2 ds = F Ω µ 2L cos ovvero nel baricentro del triangolo delle forze f Ω. Ω Ω M Ω 2 r

7 L equilibrio (relativo) dell asta si ottiene imonendo l annullarsi del momento risultante risetto al olo : ª M = L µm 2 sin + Ω 2 L 2 2 sin L cos = 7 = ML µ 2 2 sin L Ω2 cos g = cioè le stesse configurazioni ricavate in recedenza. = 2 = π cos = 2 g L Ω 2 Secondo metodo alternativo er la ricerca delle configurazioni di "equilibrio relativo" Le configurazioni di equilibrio ossono essere determinate anche mediante la stazionarietà del otenziale U. Infatti, quest ultimo è definibile oiché le forze centrifughe ammettono un otenziale: considerando una singola massa untiforme m in moto rotatorio uniforme con velocità angolare Ω attorno all asse z, illavorol Ω comiuto da una forza F = m Ω 2 r er uno sostamento radiale r è dato da: L Ω = Z r Z r Fdr= m Ω 2 rdr= 2 m Ω2 r 2 = 2 I z Ω 2 = U Ω ( r) e diende solo dalla osizione r e non dal ercorso di integrazione. Le configurazioni di equilibrio del sistema rendono stazionario il otenziale comlessivo Û dato da: Û = z + 2 γ Ω2 r 2 ds = L 2 cos + 2 γ Ω2 = 2 M gl cos + L2 (sin )2 Ω 2 (s sin ) 2 ds = Si noti che il otenziale Û oteva anche essere calcolato direttamente come: Û = z + 2 I z Ω 2 in cui il momento d inerzia risetto all asse di rotazione è: I z = ML2 (sin ) 2 La stazionarietà del otenziale fornisce la stessa equazione di equilibrio ricavata in recedenza dû d = gl 2 M sin +2 L2 sin cos Ω2 = µ ML 2 2 sin L cos Ω2 g =