Compito di gennaio 2005

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1 Compito di gennaio 2005 In un piano verticale, si consideri il vincolo mobile costituito da una semicirconferenza di raggio R e centro C, i cui estremi A e B possono strisciare lungo l asse delle ascisse: le coordinate del centro C sono date da x C = (gt 2 /2 e 1. Il baricentro G di un asta omogenea DE di lunghezza 2l e massa m può scorrere lungo la guida semicircolare, mentre l estremo D dell asta è collegato al punto mobile C da una molla di costante elastica k. Scegliendo le coordinate libere θ e ϕ come in figura e prescindendo da ogni attrito, si chiede di determinare: 1 le equazioni del moto; 2 le configurazioni di equilibrio del sistema, discutendone la stabilità; 3 gli integrali primi del moto; 4 date le condizioni iniziali θ(0 = ϕ(0 = 0, θ(0 = ϕ(0 = 0, calcolare il valore iniziale della reazione esercitata dalla semicirconferenza sull asta. y O A C B x θ k2 E G G ϕ D D E G k1 D 1 Equazioni del moto. L energia cinetica T dell asta è: T = 1 2 mv2 G ω j I G, jh ω h, j,h=1

2 dove v G è la velocità del baricentro G, ω è la velocità angolare e I G è la matrice d inerzia dell asta rispetto al baricentro e alla base solidale considerata. Calcoliamo ora i singoli termini che compaiono nell espressione di T. Considerato il triangolo rettangolo CGG e osservato che CG = R, il vettore posizione del baricentro G risulta: x G = G O = (OC + G G e 1 CG e ( 2 1 = 2 gt2 + R sin θ e 1 R cosθ e 2. La velocità di G è la derivata temporale del vettore posizione x G : v G = x G = (gt + R θ cosθ e 1 + R θ sin θ e 2. Il modulo al quadrato di v G è dato dalla somma dei quadrati delle componenti: v 2 G = (gt + R θ cosθ 2 + (R θ sin θ 2 = g 2 t 2 + 2gRt θ cosθ + R 2 θ2 cos 2 θ + R 2 θ2 sin 2 θ = g 2 t 2 + R 2 θ2 + 2gRt θ cos θ. La velocità angolare ω, rispetto alla base solidale { k 1, k 2, k 3 }, è: ω = ϕ k 3 = ω 1 = ω 2 = 0, ω 3 = ϕ. La matrice d inerzia dell asta, rispetto al baricentro e alla base solidale scelta, è: ( I G = m(2l 2 1 diag 0, 12, 1 = ml2 diag(0, 1, 1, da cui segue, in particolare: I G,33 = 1 3 ml2. L energia cinetica T risulta dunque: T = 1 (g 2 m 2 t 2 + R 2 θ2 + 2gRt θ cosθ ml2 ϕ 2. 2

3 L energia potenziale del sistema è data dalla somma di due termini: il primo corrispondente alla forza elastica f el = k(d C, il secondo associato alla forza peso f peso = m g: V = k 2 (D C2 + mgy G. Considerati i triangoli rettangoli CGG, GDD e osservato che CG = R e GD = l, il vettore D C risulta: D C = (G G + D D e 1 (CG + GD e 2 = (R sin θ + l sin ϕ e 1 (R cosθ + l cosϕ e 2. Il modulo al quadrato di D C è la somma dei quadrati delle componenti: (D C 2 = (R sin θ + l sin ϕ 2 + (R cos θ + l cosϕ 2 = R 2 sin 2 θ + 2Rl sin θ sin ϕ + l 2 sin 2 ϕ + R 2 cos 2 θ + 2Rl cosθ cosϕ + l 2 cos 2 ϕ = R 2 + l 2 + 2Rl(cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ = R 2 + l 2 + 2Rl cos(θ ϕ. La componente del vettore posizione G O lungo l asse y è: y G = CG = R cosθ. L energia potenziale risulta quindi: V = k 2 [ R 2 + l 2 + 2Rl cos(θ ϕ ] mgr cosθ. I termini costanti dell energia potenziale possono essere trascurati, pertanto si ha: V = klr cos(θ ϕ mgr cosθ. La lagrangiana L = T V del sistema dato è: L = 1 (g 2 m 2 t 2 + R 2 θ2 + 2gRt θ cos θ ml2 ϕ 2 +mgr cosθ klr cos(θ ϕ. 3

4 I termini di L che dipendono esplicitamente dal tempo t sono: L tempo = 1 (g 2 m 2 t 2 + 2gRt θ cosθ, e possono essere espressi come derivata totale rispetto a t di una funzione F = F(ϕ, θ, t: L tempo = d dt [ ( ] m 3 g2 t 3 + 2gRt sin θ mgr sin θ = d [F(ϕ, θ, t] mgr sin θ, d t dove il termine sottratto, mrg sin θ, semplifica il termine in più ottenuto dalla derivata totale rispetto a t e non contenuto nella lagrangiana originaria. La lagrangiana L può essere riscritta nel seguente modo: L = 1 ( 2 m R 2 θ l2 ϕ 2 + mgr(cosθ sin θ klr cos(θ ϕ + d F d t. Indichiamo con L ef la lagrangiana efficace ottenuta da L trascurando la derivata totale rispetto al tempo df/dt: L ef = 1 ( 2 m R 2 θ l2 ϕ 2 + mgr(cosθ sin θ klr cos(θ ϕ. La relazione tra L e L ef è quindi L = L ef + d F d t. Due lagrangiane L(q, q, t, L ef (q, q, t che differiscono per la derivata totale rispetto al tempo di una funzione F(q, t generano le stesse equazioni del moto e si dicono equivalenti. Calcoliamo ora le equazioni di Lagrange del sistema dato: d dt d dt ( Lef ϕ ( Lef θ 4 L ef ϕ = 0 L ef θ = 0.

5 Le derivate parziali che compaiono nelle equazioni precedenti sono: L ef ϕ = 1 3 ml2 ϕ, L ef θ = mr2 θ, L ef = klr sin(θ ϕ, ϕ L ef = mgr(sin θ + cosθ + klr sin(θ ϕ. θ Sostituendo nelle equazioni di Lagrange le espressioni ottenute per le derivate parziali, si ha: 1 3 ml2 ϕ + klr sin(θ ϕ = 0 mr 2 θ + mgr(sin θ + cosθ klr sin(θ ϕ = 0. 2 Configurazioni di equilibrio e stabilità. L energia cinetica efficace T ef può essere ottenuta da T trascurando i termini che dipendono esplicitamente dal tempo: T ef = 1 ( 2 m R 2 θ l2 ϕ 2. L energia potenziale efficace V ef può essere ottenuta dall espressione della lagrangiana L ef e dell energia cinetica T ef : da cui segue L ef = T ef V ef = V ef = T ef L ef, V ef = mgr(sin θ cosθ + klr cos(θ ϕ. Le posizioni d equilibrio sono le soluzioni del sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali dell energia potenziale V ef rispetto alle coordinate libere ϕ e θ: V ef = klr sin(θ ϕ = 0 ϕ V ef = mgr(cosθ + sin θ klr sin(θ ϕ = 0. θ Dalla prima equazione si ottiene: ϕ = θ oppure ϕ = θ + π. 5

6 Sostituendo nella seconda equazione le espressioni di ϕ ottenute dalla prima equazione, si ha: V ef = mgr(cosθ + sin θ = 0. θ Dividendo per cos θ i due membri dell equazione precedente e semplificando il fattore costante mgr, si ottiene tanθ = 1 = θ = 3 4 π, π 4. Sostituendo i valori precedenti di θ nella soluzione ϕ = θ e ϕ = θ+π ottenuta dalla prima equazione, si trovano le seguenti configurazioni di equilibrio: I θ = ϕ = 3 4 π ; II θ = 3 4 π, ϕ = 7 4 π ; III θ = ϕ = π 4 ; IV θ = π 4, ϕ = 3 4 π. Per studiare la stabilità delle posizioni d equilibrio trovate, scriviamo la matrice hessiana H dell energia potenziale V ef, cioè la matrice formata dalle derivate seconde parziali di V ef : = klr cos(θ ϕ, ϕ 2 θ ϕ = 2 V ef = klr cos(θ ϕ, ϕ θ = mgr(sin θ cosθ klr cos(θ ϕ. θ 2 La matrice hessiana, in una configurazione (ϕ, θ qualunque del sistema, è: ( klr cos(θ ϕ klr cos(θ ϕ H =. klr cos(θ ϕ mgr(sin θ cosθ klr cos(θ ϕ Dopo aver semplificato i termini opposti, il determinante di H si riduce alla seguente forma: det H = klmgr 2 (sin θ cosθ cos(θ ϕ. Si osservi che nelle posizioni d equilibrio I e III, in cui ϕ = θ, risulta ϕ 2 = klr < 0, 6

7 pertanto l equilibrio è instabile, indipendentemente dal segno del determinante della matrice hessiana. Nelle due posizioni d equilibrio II e IV, in cui ϕ = θ + π, si ha invece ϕ 2 = klr > 0, pertanto occorre studiare il segno del determinante della matrice hessiana per determinare la stabilità delle configurazioni d equilibrio considerate. Sostituendo nell espressione di det H i valori assunti dalle coordinate libere (ϕ, θ nelle due posizioni d equilibrio II e IV, si ha II θ = 3 4 π, ϕ = 7 4 π. det H = 2klmgR 2 < 0 = l equilibrio è instabile. IV θ = π 4, ϕ = 3 4 π. det H = 2klmgR 2 > 0 = l equilibrio è stabile. 3 Integrali primi del moto. La lagrangiana L ef non dipende esplicitamente dal tempo t, pertanto l hamiltoniana H ef = T ef + V ef è un integrale primo del moto. L espressione di H ef in un generico istante t è: H ef = 1 ( 2 m R 2 θ l2 ϕ 2 + klr cos(θ ϕ + mgr(sin θ cosθ. Si osservi che la lagrangiana L ef dipende esplicitamente sia da ϕ sia da θ, pertanto non ammette coordinate libere cicliche, che darebbero luogo ad ulteriori integrali primi del moto (i momenti generalizzati L ef / ϕ e L ef / θ. 4 Valore iniziale della reazione vincolare sull asta. L equazione di bilancio della quantità di moto per il sistema dato è: m a G = R (a + Φ, dove a G è l accelerazione del baricentro dell asta, m è la massa, R (a è il risultante delle forze attive e Φ è la reazione vincolare esercitata dalla semicirconferenza sull asta. 7

8 Le forze attive agenti sull asta sono la forza peso, applicata nel baricentro dell asta, e la forza elastica, applicata nell estremo D dell asta dalla molla fissata in C: R (a = m g k(d C. Sapendo che g = g e 2 e che il vettore D C, calcolato al punto 1, è D C = (R sin θ + l sin ϕ e 1 (R cos θ + l cosϕ e 2, il risultante delle forze attive assume la forma R (a = mg e 2 k[(r sin θ + l sin ϕ e 1 (R cosθ + l cosϕ e 2 ]. All istante iniziale si ha, per ipotesi, ϕ(0 = θ(0 = 0 e ϕ(0 = θ(0 = 0, pertanto R (a risulta R (a = mg e 2 + k(r + l e 2. Utilizzando le condizioni iniziali, le equazioni del moto trovate al punto 1 diventano 1 3 ml2 ϕ 2 = 0 = ϕ = 0 mr 2 θ + mgr = 0 = θ = g R. L accelerazione del baricentro a G è la derivata prima, rispetto al tempo, del vettore velocità v G = (gt + R θ cosθ e 1 + R θ sin θ e 2, calcolato al punto 1: a G = v G = (g + R θ cos θ R θ 2 sin θ e 1 + R( θ sin θ + θ 2 cosθ e 2. Sostituendo nell espressione di a G le condizioni iniziali e i valori ϕ(0 = 0 e θ(0 = g/m trovati dalle equazioni del moto, si ha: a G (0 = 0. L equazione di bilancio della quantità di moto diventa quindi: 0 = mg e 2 + k(r + l e 2 + Φ, da cui segue infine Φ = [mg k(r + l] e 2. 8