Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica Anno Accademico 2015/2016 Meccanica Razionale

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1 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica Anno Accademico 15/16 Meccanica Razionale Nome... N. Matricola... Ancona, 7 giugno Un corpo rigido piano è formato da due aste AC e BC, di ugual massa M e lunghezza L, saldate ad angolo retto nell estremo comune C. La figura si muove nel piano verticale O(, y), con il punto C libero di scorrere senza attrito sull asse y e la figura è libera di ruotare attorno a C. Infine, due molle di ugual costante k > collegano gli estremi A e B con le loro proiezioni ortogonali H e K rispettivamente sull asse y e sull asse. Una forza costante di modulo F agisce inoltre sul punto B, diretta parallelamente all asse y e rivolta verso il basso. Scegliendo quali coordinate lagrangiane i parametri s (la distanza con segno di C da O considerata positiva quando C sta sotto di O) e θ (l angolo che l asta CB forma con la direzione orizzontale) come indicati in figura, si chiede di: scrivere le posizioni di A, B e C in funzione di s e θ; scrivere l espressione vettoriale di tutte le forze agenti sul sistema, specificandone il punto di applicazione; scrivere le forze generalizzate di Lagrange; deteminare le configurazioni di equilibrio utilizzando le forze generalizzate di Lagrange; determinare le reazioni vincolari nelle configurazioni di equilibrio mediante le equazioni cardinali della statica. y O K A k > H s k > L,M C P d L,M θ B F

2 Svolgimento. Coordinate dei punti: C O s ĵ ) A O A C + C O L ( î sin θ + ĵ cos θ s ĵ B O B C + C O L (î cos θ + ĵ sin θ) s ĵ P O P C + C O d ] [î d (cos θ sin θ) + ĵ (sin θ + cos θ) s ĵ dove d è la distanza di P da C ed è uguale a [î cos ( π 4 + θ ) + ĵ sin ( π 4 + θ )] s ĵ Forze applicate al sistema: d L 4 F ka k L î sin θ F kb k (s L sin θ) ĵ F B F ĵ forza elastica applicata al punto A forza elastica applicata al punto B forza costante applicata al punto B F p M g ĵ forza peso applicata al centro di massa P Φ Φî Forze generalizzate di Lagrange: reazione vincolare applicata al punto C Q s F ka A s + (F kb + F B ) B s + F p P s k L î sin θ ( ĵ) + [k (s L sin θ) ĵ F ĵ] ( ĵ) + ( M g ĵ) ( ĵ) F k (s L sin θ) + M g Q θ F ka A θ + (F kb + F B ) B θ + F p P θ k L î sin θ [L ( î cos θ ĵ sin θ)] + [k (s L sin θ) ĵ F ĵ] [L ( î sin θ + ĵ cos θ)] + +( M g ĵ) { d [î ( sin θ cos θ) + ĵ (cos θ sin θ)] k L sin θ cos θ + [k (s L sin θ) F ] L cos θ M g d (cos θ sin θ) Le configurazioni di equilibrio si trovano risolvendo il sistema Q s Q θ F k (s L sin θ) + M g k L sin θ cos θ + [k (s L sin θ) F ] L cos θ M g d (cos θ sin θ) Dalla prima equazione ricaviamo k (s L sin θ) F M g

3 che, sostituita nella seconda, dà k L sin θ cos θ + M g L cos θ M g d (cos θ sin θ) Sostituendo il valore di d e semplificando otteniamo M g (3 cos θ + sin θ) k L sin θ cos θ Si tratta di un equazione trigonometrica che non si riesce a risolvere a mano. Ovviamente, se qualcuno fosse arrivato correttamente fino a questo punto avrei dato punteggio pieno all esercizio.

4 . Una lamina piana di massa m + M è costituita da un semi-disco di centro O e raggio R privato di due settori circolari OCD e OEF ed apertura, con gli angoli ÔF B ÔAC. Il contorno della lamina, che rimane intero, abbia massa m e la parte interna massa M. Calcolare la matrice d inerzia della lamina nel sistema O(, y, z) mostrato in figura, con l asse z perpendicolare al piano della figura. y D E C R F A O B Svolgimento. Dalle simmetrie della figura si vede subito che la terna proposta è principale d inerzia, quindi non occorre perdere tempo con I 1 come qualcuno ha fatto. Dunque, I 1. Inoltre, I 33 I 11 + I perchè la figura è piana. Inoltre, sempre per le simmetrie, sia per I 11 che per I il contributo del quarto di cerchio di destra e di quello di sinistra sono uguali. Ancora: il contorno è una figura monodimensionale, la parte interna è bidimensionale; i loro contributi vanno quindi calcolati separatamente e sommati solo alla fine. La densità del contorno, µ, è una densità lineare, quella della parte interna, σ, è superficiale. Abbiamo: M σ π R /3 3 M π R m µ π R + R m R (π + ) Parte interna. Notiamo che, per la parte interna, abbiamo I 11 I. Usiamo la proprietà additiva della massa; indichiamo con M 1 la massa del semicerchio pieno e con M la massa della parte vuota, e con D 1 il dominio del semicerchio pieno e D il dominio della parte vuota. Abbiamo M 1 M M M 1 M 3 e quindi M 1 3 M M 1 M

5 Abbiamo quindi: I 11 σ y dm σ y dm D 1 D { R π/ σ (r sin θ) r dr dθ { R σ r 3 dr π/ sin θ dθ R R r 3 dr (r sin θ) r dr dθ sin θ dθ Sappiamo che π/ mentre l altro integrale va calcolato: sin θ dθ 1 4 π sin θ dθ π 4, sin θ dθ zero + (1 sin θ) dθ sin θ d(cos θ) [sin θ cos θ] π/3 + cos θ dθ ( π 3 π 6 ) sin θ dθ da cui Dunque sin θ dθ π 1 I 11 σ R4 4 ( π 4 π 1) σ π R M R I Contorno. Il contorno è costituito dalla semicirconferenza e dal diametro. Il diametro non contribuisce ad I 11 mentre I I 11 per la semicirconferenza. Abbiamo: I 11 µ I π y R dθ µ R π 1 π + m R + µ π 1 π + 1 π + π R R m m R + R (π + ) R3 3 π π + ( π + ) m R 3 (R sin θ) dθ µ R 3 π π 1 π + m R d π [ ] 1 3 R π + m R + µ 3 1 m R + 1 π + R 3 m R Totale. I M R + π 1 π + m R I 1 8 M R + 1 ( π π + + ) 3 I 33 I 11 + I I 1 I 13 I 3 m R

6 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O. Anno Accademico 15/16 Meccanica Razionale Nome... N. Matricola... Ancona, 7 giugno Una semicirconferenza AB, di massa M e raggio R, si muove nel piano verticale O(, y), con il punto medio dell arco C libero di scorrere senza attrito sull asse y e la figura libera di ruotare attorno a C. Infine, due molle di ugual costante k > collegano gli estremi A e B con le loro proiezioni ortogonali H e K rispettivamente sull asse y e sull asse. Una forza costante di modulo F agisce inoltre sul punto B, diretta parallelamente all asse y e rivolta verso il basso. Scegliendo quali coordinate lagrangiane i parametri s (la distanza con segno di C da O considerata positiva quando C sta sotto di O) e θ (l angolo che la corda BC forma con la direzione orizzontale) come indicati in figura, si chiede di: scrivere le posizioni di A, B e C in funzione di s e θ; scrivere l espressione vettoriale di tutte le forze agenti sul sistema, specificandone il punto di applicazione; scrivere le forze generalizzate di Lagrange; deteminare le configurazioni di equilibrio utilizzando le forze generalizzate di Lagrange; determinare le reazioni vincolari nelle configurazioni di equilibrio mediante le equazioni cardinali della statica. y A k > O H K k > R,M s P B C θ F

7 Svolgimento. Notando che AC BC R L, abbiamo per le coordinate dei punti: C O s ĵ ) A O A C + C O L ( î sin θ + ĵ cos θ s ĵ B O B C + C O L (î cos θ + ĵ sin θ) s ĵ P O P C + C O d ] [î d (cos θ sin θ) + ĵ (sin θ + cos θ) s ĵ dove d è la distanza di P da C ed è uguale a [î cos ( π 4 + θ ) + ĵ sin ( π 4 + θ )] s ĵ Forze applicate al sistema: F ka k L î sin θ F kb k (s L sin θ) ĵ F B F ĵ Forze generalizzate di Lagrange: d R R π forza elastica applicata al punto A forza elastica applicata al punto B forza costante applicata al punto B F p M g ĵ forza peso applicata al centro di massa P Q s F ka A s + (F kb + F B ) B s + F p P s k L î sin θ ( ĵ) + [k (s L sin θ) ĵ F ĵ] ( ĵ) + ( M g ĵ) ( ĵ) F k (s L sin θ) + M g Q θ F ka A θ + (F kb + F B ) B θ + F p P θ k L î sin θ [L ( î cos θ ĵ sin θ)] + [k (s L sin θ) ĵ F ĵ] [L ( î sin θ + ĵ cos θ)] + { +( M g ĵ) d [î ( sin θ cos θ) + ĵ (cos θ sin θ)] k L sin θ cos θ + [k (s L sin θ) F ] L cos θ M g d (cos θ sin θ) Le configurazioni di equilibrio si trovano risolvendo il sistema Q s Q θ F k (s L sin θ) + M g k L sin θ cos θ + [k (s L sin θ) F ] L cos θ M g d (cos θ sin θ) Dalla prima equazione ricaviamo k (s L sin θ) F M g

8 che, sostituita nella seconda, dà k L sin θ cos θ + M g L cos θ M g d (cos θ sin θ) Si tratta di un equazione trigonometrica che non si riesce a risolvere a mano. Ovviamente, se qualcuno fosse arrivato correttamente fino a questo punto avrei dato punteggio pieno all esercizio.

9 . Una lamina piana di massa m + M è costituita da un triangolo rettangolo isoscele OAB di base a, privato di due settori trapezoidali CDHK e EF P Q aventi i lati CH, DK, EP e F Q perpendicolari alla base, con CD DE EF a/. Il contorno della lamina, che rimane intero, abbia massa m e la parte interna massa M. Calcolare la matrice d inerzia della lamina nel sistema O(, y, z) mostrato in figura, con l asse parallelo alla base e l asse z perpendicolare al piano della figura. y A C D E F B H Q K P a O a Svolgimento. Dalle simmetrie della figura si vede subito che la terna proposta è principale d inerzia, quindi non occorre perdere tempo con I 1 come qualcuno ha fatto. Dunque, I 1. Inoltre, I 33 I 11 + I perchè la figura è piana. Inoltre, sempre per le simmetrie, sia per I 11 che per I il contributo della metà di destra è uguale a quello di sinistra. Ancora: il contorno è una figura monodimensionale, la parte interna è bidimensionale; i loro contributi vanno quindi calcolati separatamente e sommati solo alla fine. La densità del contorno, µ, è una densità lineare, quella della parte interna, σ, è superficiale. L area del triangolo pieno è a ; l area di ciascun trapezio vuoto è a /4. Abbiamo: σ µ M a / M a m a + a m a (1 + ) Parte interna. Usiamo la proprietà additiva della massa; indichiamo con M 1 la massa del triangolo pieno e con M la massa della parte vuota, e con D 1 il dominio del semicerchio pieno e D il dominio della parte vuota. Abbiamo M 1 M M M 1 M e quindi M 1 M M M

10 Abbiamo quindi: I 11 σ σ D 1 { a y dm σ y dm D a y d dy 3 a/4 a a/4 y d dy { a a a/4 a 3 3 σ d d 3 a/4 3 {( ) ( a 4 σ 3 a4 a ) a M a I σ dm σ dm D 1 D { a a 3 a/4 a σ d dy d dy { a σ (a ) d { a 4 σ 1 a/4 3 a/4 a/4 (a ) d 11 a σ a M a Contorno. Il contorno è costituito dai due lati obliqui e dal lato parallelo all asse. È ovvio che I I 11 per i due lati obliqui e che I 11 m AB a per il lato AB. Inoltre AB a AO OB a m AB µ a m OA m OB µ a Abbiamo quindi (indicando con l una variabile d integrazione che corre lungo il lato OB): I AB 11 m AB a µ a 3 I AB µ a a d µ a3 3 I OB 11 I OA 11 I OB I OA µ a y dl µ a ( ) l dl µ (a ) 3. 6 Complessivamente: Totale. I 11 µ a 3 + µ (a ) 3 I µ a3 3 + µ (a ) ) µ a ( ( ) µ a m a I M a m a I 5 48 M a m a I 33 I 11 + I I 1 I 13 I m a

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