Compito di Meccanica Razionale

Transcript

1 Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 7 Luglio 8 (usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio Si consideri il corpo rigido piano descritto in figura, formato da tre aste omogenee di lunghezza l e massa m saldate tra loro agli estremi in modo da formare un triangolo equilatero di vertici P,P,P 3. P 3 P P i) Trovare un riferimento principale di inerzia con origine in P per il corpo rigido descritto in figura e calcolare i momenti principali di inerzia. ii) Dimostrare che il vettore P 3 P non è un autovettore dell operatore di inerzia I P del corpo rigido. Secondo Esercizio Un corpo puntiforme di massa unitaria è soggetto ad una forza centrale F(x) = f(ρ) x ρ, x R3, dove ρ = x ed f(ρ) = +αρ, α >. ρ. Tracciare il ritratto di fase nel piano delle fasi ridotto, con coordinate ρ, ρ, nei casi qualitativamente diversi che si presentano al variare del parametro α e della componente c del momento angolare ortogonale al piano del moto.. Studiare il numero di traiettorie circolari al variare dei parametri α, c e, nel caso α =,c = /, calcolarne il periodo.

2 Terzo Esercizio In un piano verticale si fissi un sistema di riferimento Σ = Oxy, con asse Oy verticale ascendente. Si consideri il sistema meccanico formato da un asta omogenea di massa m, lunghezza l ed estremi A,C. L asta può rotolare senza strisciare su un disco di raggio r = l π, che sta fermo in Σ e ha centro nell origine O. Sull asta agisce la forza di gravità, di accelerazione g e sull estremo C agisce anche una forza di intensità costante F = mg, parallela all asse Oy. Detto P il punto di contatto tra asta e disco, si usi come coordinata l angolo α ( π, π ) che il segmento OP forma con la direzione verticale (vedi figura). Si assuma inoltre che per α = il punto dell asta appoggiato sul disco sia il suo baricentro B. y F C A P α B O x. Calcolare la componente lagrangiana Q α delle forze attive e usarla per scrivere l equazione che caratterizza le configurazioni di equilibrio del sistema.. Ritrovare la condizione dell equilibrio del punto precedente tramite l energia potenziale delle forze attive. 3. Studiare la stabilità degli equilibri trovati.. Scrivere le equazioni di Lagrange per il moto dell asta. 5. Calcolare la reazione vincolare esercitata dal disco sull asta nel punto P negli equilibri trovati.

3 Soluzioni Primo Esercizio i) Sia M il punto medio del segmento P P 3. Un riferimento principale con origine in P ha gli assi lungo ê 3 = (P P ) (P 3 P ) (P P ) (P 3 P ), ê = M P M P, ê = ê 3 (M P ). Sia inoltre h = 3 l l altezza del triangolo equilatero P P P 3. Calcoliamo i momenti principalidi inerziai j relativialle direzioniê j, j =,,3. Dal teorema di Huygens-Steiner si ottiene Sia λ = m l ( ml ) ( I 3 = + ml ml + +mh) = 3 ml. la densità di massa delle aste. I = ml + l Dalla relazione I +I = I 3 si ottiene λ(rsin π 6 ) dr = ml. I = 5 ml. ii) Definisco i versori ortonormali ê = (P3 P) P 3 P,ê = ê 3 ê. Noto che ê = cos(π/6)ê +sin(π/6)ê = ( 3ê +ê ), ê = sin(π/6)ê +cos(π/6)ê = ( ê + 3ê ). Se P 3 P fosse un autovettore di I P si dovrebbe avere Invece si ha ê I P ê =. ê I P ê = ( 3ê +ê ) I P ( ê + 3ê ) = Nella () abbiamo usato ê I P ê = ê I P ê = 3 3 (I I ) = ml. () e ê I P ê = I, ê I P ê = I. Secondo Esercizio. L energia potenziale efficace è V eff (ρ) = logρ α ρ + c ρ (ρ > ). 3

4 Inoltre lim ρ +V eff(ρ) = +, Calcoliamo i punti stazionari di V eff. Si ha V eff(ρ) = ρ quindi V eff (ρ) = se e solo se Per avere soluzioni reali deve valere lim V eff(ρ) =. ρ + αρ = c ρ 3 = ρ 3(ρ αρ +c ), ρ = ± αc. α αc. Se αc < l energia potenziale efficace ha i due punti stazionari αc ρ = + αc, ρ + =, α α che corrispondono ad un minimo e un massimo locale di V eff rispettivamente (vedi figura ) V eff.5 dot Figura : Caso con punti stazionari di V eff. α =,c = /. Se αc = l energia potenziale efficace ha un solo punto stazionario, che è un flesso a tangente orizzontale (vedi figura ) V eff dot Figura : Caso con punto stazionario di V eff. α =,c = /. Se αc > l energia potenziale efficace non ha punti stazionari ed è una funzione descrescente di ρ sulla semiretta positiva (vedi figura 3).

5 V eff dot Figura 3: Caso con nessuno punto stazionario di V eff. α =,c = /.. Ci sonotante orbitecircolariquanti punti stazionaridi V eff sulla semiretta ρ >. Nel caso α =,c = / ci sono traiettorie circolari, di periodi T = π c ρ = π( ), T = π c ρ + = π( +). Terzo Esercizio Le coordinate del baricentro B dell asta sono x B = r( sinα+αcosα), y B = r(cosα+αsinα) e quelle del punto C sono x C = x B +lcosα, y C = y B +lsinα.. La componente lagrangiana delle forze attive è data da Q α = (F mg)rαcosα+flcosα. Gli equilibri sono caratterizzati dalla condizione Q α =. Usando l = πr ed F = mg/ si ottiene mgr cosα(π 3α) =. (). L energia potenziale delle forze attive è V(α) = (mg F)r(cosα+αsinα) Flsinα = 3 mgr(cosα+αsinα) mg πrsinα. Gli equilibri sono caratterizzati dall equazione V α (α) = 3 mg mgrαcosα πrcosα =, che corrisponde a (). 3. Nell intervallo ( π/, π/) abbiamo l unica configurazione di equilibrio α = π 3. Calcoliamo la derivata seconda dell energia potenziale: V α (α) = 3 mg mgr(cosα αsinα)+ πrsinα. 5

6 Valutando questa espressione nell equilibrio si ottiene V α (π 3 ) = 3 mgr >, 8 per cui l equilibrio è stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet.. La velocità del baricentro è data da ẋ B = rαsinα α, ẏ B = rαcosα α. La velocità angolare dell asta è ω = αê 3. Usando il teorema di König si ottiene l espressione dell energia cinetica: T = mr α α + ml 3 α = mr (α + π 3 ) α. Le equazioni di Lagrange sono d L dt α L =, (3) α dove L = T V è la funzione di Lagrange. In questo caso l equazione (3) si scrive mr [ ] α α +(α + π 3 ) α = mg rcosα(π 3α). 5. Scrivo la prima equazione cardinale all equilibrio: mgê +Fê +Φ ê +Φ ê =, da cui si ottiene Φ =, Φ = mg F = 3 mg. 6