Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Edile/Architettura Correzione prova scritta 3 febbraio 2011

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1 1 Università di Pavia Facoltà di Ingegneria orso di Laurea in Ingegneria Edile/rchitettura orrezione prova scritta 3 febbraio eterminare il trinomio invariante del seguente sistema di vettori applicati: v 1 = 3 e z applicato in P 1 O (,1,0), v = + +e z applicato in P O (1,0,1), v 3 = e z applicato in P 3 O (0,,). IlrisultanteèR = +4 e z mentreilmomentorisultanterispettoado èm O = e z per cui il trinomio invariante ha valore I = 6.. Trovare la curvatura della curva p(t) O = 3(t 3t+1) +(t +5t ) +sin te z nel punto corrispondente a t = 0. erivando ripetutamente rispetto al parametro t abbiamo p (t) = 3(t 3) +(t+5) +cos te z p (t) = 6 + sin te z per cui, posto t = 0 si ha p (0) = e z p (0) = 6 + da cui segue p (0) = 107 e p (0) p (0) = +6 48e z da cui si ottiene κ = a una lamina rettangolare omogenea di massa 3m e lati = l e = 6l vengono asportati due rettangoli congruenti EFG e HIL di lati E = H = l e G = L = l. L I H G F O E etto O il centro di massa di determinare il momento di inerzia della lamina complessiva rispetto all asse passante per O, diretto lungo.

2 È sufficiente sottrarre al momento centrale di inerzia per il rettangolo intero i contributi dei due rettangoli EFG ed IHL utilizzando il teorema di Huygens-Steiner. Osserviamo che la massa di ciascuno dei rettangoli asportati è pari ad m/8 per cui I O, () = ml, mentre ed per cui, in definitiva I O, (EFG) = ml 96 + ml 3 = ml 4 I O, (IHL) = ml ml 18 = 7ml 96 I O, (tot) = I O, () I O, (EFG) I O, (IHL) = ml. 4.Inunpianoverticale,un astaomogenea dimassamelunghezzarhal estremovincolatoamuoversi senza attrito su una circonferenza fissa di centro, raggio R, tangente in O ad una guida orizzontale r. L asta è libera di ruotare attorno ad che a sua volta è attratto da una forza elastica di costante k = mg/r verso il punto r posto sempre sulla verticale per. Introdotte le coordinate ϑ e ϕ indicate in Figura determinare: l espressione dell energia cinetica T di ; l espressione dell energia potenziale totale V del sistema; le pulsazioni ω delle piccole oscillazioni in un intorno della configurazione di equilibrio stabile con verticale. O r ϑ ϕ g etto G il centro di massa dell asta, l energia cinetica si esprime come T = mv G + m 1 R ϕ. Introduciamo i versori e 1 := ed e 3 := ed i versori e ed e 4 tali che e 1 e = e 3 e 4 = e z. Osserviamo che la coppia {e 1,e } ruota con velocità angolare ω 1 = ϑe z mentre la coppia {e 3,e 4 } con velocità angolare ω 3 = ϕe z. Possiamo allora scrivere G = Re 1 + R e 3

3 3 e quindi, grazie alle formule di Poisson, v G = R( ϑe + ϕ e 4). Per definizione di e 1 ed e 3 abbiamo e 1 e 3 = cos(ϕ ϑ) = e e 4 dove l ultima uguagilanza segue dal fatto che e ed e 4 sono mutuamente ortogonali ad e 1 ed e 3. bbiamo allora v G = R [ ϑ + ϕ 4 + ϑ ϕcos(ϕ ϑ)] e quindi 1 T = mr [ ϑ ϕ + ϑ ϕcos(ϕ ϑ)]. Quanto all energia potenziale, essa consta di due termini, uno dovuto alla forza peso e pari a mgr(cos ϑ+ mgr cosϕ) e l altro legato alla forza elastica e pari a 4 (1+cosϑ). In definitiva dunque V = mgr 4 (1+cos ϑ 6cosϑ 4cosϕ). Per rispondere all ultimo quesito determiniamo le configurazioni di equilibrio risolvendo il sistema V ϑ = V ϕ = 0, cioè a dire { mgrsinϑ[ 3 1 cosϑ] = 0 mgrsinϕ = 0 da cui si ottengono quattro configurazioni di equilibrio, caratterizzate dalle seguenti coppie (ϑ, ϕ): E 1 = (0,0) E = (0,π) E 3 = (π,0) E 4 = (π,π). Per studiarne la stabilità, calcoliamo le derivate seconde V ϑ = mgr [cosϑ(3 cosϑ)+sin ϑ] V ϑϕ = 0 V ϕ = mgrcosϕ in corrispondenza delle configurazioni di equilibrio trovate. L analisi della forma hessiana consente di concludere che E ed E 3 sono punti di sella mentre E 4 è un massimo di V e dunque sono configurazioni di equilibrio instabile, per il primo criterio di Ljapunov. l contrario, E 1 ha forma hessiana ( ) mgr 0 = 0 mgr che è definita positiva e dunque corrisponde ad un punto di minimo relativo isolato per V ed è stabile grazie al teorema di irichlet-lagrange. La corrispondente forma quadratica associata all energia cinetica è data da ( ) mr mr = mr. 3 mr

4 4 opo alcune semplificazioni l equazione det(λ ) = 0 si riduce a che è risolta da λ 8 g R λ+3g R = 0 λ ± = ( 4± ) g 13 R cui corrispondono le pulsazioni ω ± = ( 4± 13) g R. 5.La struttura articolata in Figura è formata da tre aste:, di peso trascurabile e lunghezza l, di peso 3p e lunghezza l e E, di peso p e lunghezza l. La struttura è vincolata a terra in due punti ed E alla stessa quota e distanti l tra loro, con un carrello in ed una cerniera in E. erniere interne sono presenti in ed in, punto medio di. In agisce il carico q = 4p. 1 alcolare le componenti lungo ed della reazione vincolare in E. alcolare la coppia reattiva ψe z sviluppata dall incastro in. 3 alcolare il modulo del momento flettente nel punto medio di. q g E onsideriamo l equilibrio dell asta E su cui agisce la reazione a terra Φ E = φ Ex + φ Ey ; il peso p applicato nel centro di massa e la reazione di cerniera in, Φ = φ x + φ y. L equilibrio dei momenti in richiede φ Ex = 0 e l equilibrio delle forze nella direzione richiede allora Φ x = 0. onsideriamo ora l asta su cui agisce una reazione Φ = φ y, il peso 3p applicato nel suo punto medio e la reazione di cerniera in, Φ, che può avere solo componente lungo, visto che un eventuale componente lungo non potrebbe essere equilibrata: dunque Φ = φ y. L equilibrio dei momenti agenti su rispetto al polo impone φ y = 3 p. bbiamo allora Φ = 3 p e, tornando all asta E per richiedere l equilibrio delle forze nella direzione, Φ E = 7 p. Isoliamo l asta su cui agisce il carico q = 4p, la reazione in, Φ = φ x + φ y, la coppia reattiva ψe z sviluppata dall incastro e la reazione Φ = 3 p dovuta alla cerniera in. L equilibrio dei momenti rispetto ad richiede ψ 8pl = 0 per cui 8ple z è la coppia reattiva. Infine, spezzando l asta nel punto medio e considerando il tratto, di peso 3 p e lunghezza l/, ricordando il valore di Φ abbiamo che il momento flettente M f = M f e z nel punto medio di soddisfa l equazione M f 3 4 pl+ 3 8 pl = 0

5 e dunque il modulo del momento flettente è M f = 3 8 pl. 5