1. Determinare il trinomio invariante del seguente sistema di vettori applicati:

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1 Università di Pavia Facotà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Edie/Architettura Correzione prova scritta Esame di Meccanica Razionae 13 febbraio Determinare i trinomio invariante de seguente sistema di vettori appicati: v 1 = e z appicato in P 1 O (2,,1), v 2 = + 4e z appicato in P 2 O (1, 1,), v 3 = e z appicato in P 3 O (,2,3). I risutante de sistema proposto è R = 3 + 2e z ed i momento risutante rispetto ad O è M O = 4 8 2e z per cui i trinomio invariante richiesto è I = Trovare a torsione dea curva p(t) O = (t 3 t) (t2 +3sin t) +(2cos t t3 3 )e z ne punto corrispondente a t =. Derivando rispetto a parametro t più vote, otteniamo p (t) = (3t 2 1) (2t+3cos t) (2sin t+t 2 )e z, e p (t) = 6t (2 3sin t) 2(cos t+t)e z, p (t) = cos t 2(1 sin t)e z, da cui si ricava, per sostituzione diretta, e quindi p () = p () = 2e z e p () = e z per cui, daa definizione di torsione, si ha p () p () = 3 2 e z τ =

2 2 3.Da una amina quadrata omogenea di massa 3m e ato 4 viene asportato un quadrato di ato 2 coocato come in figura che viene riposizionato con un ato adiacente a queo de quadrato di partenza. Per a amina così ottenuta determinare i momento centrae di inerzia nea direzione. La amina ottenuta dopo a trasposizione de bocco quadrato si può vedere come composta da un rettangoo di ati 2 e 6 e massa 9 4m formato dai tre quadrati sottostanti e da quadrato soprastante, di ato 2 e massa 3 4m. Appicando i teorema di composizione abbiamo aora I G, = m m2 = 7m 2, dove manca i termine proporzionae aa massa ridotta de sistema, da momento che i centri di massa de rettangoo e de quadrato sono aineati ungo. 4.Inunpianoverticae,un astaab dimassatrascurabieeunghezza2recaagiestremiaeb duemasse2m e 4m, rispettivamente, ed è ibera di ruotare attorno a proprio centro C fisso. Su asta è ibero di scorrere un aneino P di massa m attratto verso A e C da due moe ideai di costanti eastiche 4mg/ e mg/. Introdotte e coordinate ϑ ed s indicate in Figura, determinare: espressione de energia cinetica totae T de sistema; espressione de energia potenziae totae V de sistema; i vaori di ϑ ed s nea configurazione di equiibrio stabie e e corrispondenti pusazioni ω dee piccoe osciazioni. A ϑ P C s g B Introdotto i versore e 1 diretto come A C ed i versore e 2 ad esso ortogonae, orientato in modo che sia e 1 e 2 = e z, abbiamo P C = se 1 e dunque, grazie ae formue di Poisson, abbiamo v P = ṡe 1 +s ϑe 2 ; Poiché i punti A e B descrivono una circonferenza di raggio centrata in C ed i oro raggi vettori ruotano entrambi con veocità angoare ϑe z, abbiamo v A = ϑe 2 = v B per cui energia cinetica de sistema è T = m 2 (ṡ2 +s 2 ϑ2 )+3m 2 ϑ2.

3 3 I contributi a energia potenziae gravitazionae dei punti A, B e P sono, rispettivamente, 2mg cos ϑ, 4mgcosϑ mgscosϑ, mentre e moe che attraggono P verso A e verso B contribuiscono a energia potenziae con 2mg ( s) 2 ed mg 2 s2 per cui abbiamo che V = 2mgsinϑ+mgssinϑ 4mgs+ 5mg 2 s2, dove abbiamo eiminato un inessenziae costante additiva. Le configurazioni di equiibrio risovono i sistema V s V ϑ = mgsinϑ 4mg + 5mg s = = mgcosϑ( 2+s) = ; a seconda equazione ammette come soe souzioni accettabii ϑ = π 2 e ϑ = 3π 2 in quanto s (,) e quindi non è accettabie a configurazione di equibrio in cui s = 2. Sostituendo i vaori di θ nea prima equazione otteniamo, rispettivamente s = 3 5 ed s = ma quest utima non è accettabie perché rappresenta una configurazione di equiibrio di confine e dunque deve essere trattata con atri metodi. Resta dunque una soa configurazione di equiibrio E 1 da studiare, caratterizzata daa coppia (ϑ,s) ( π 2, 3 5 ). Per questo, vautiamo a matrice hessiana in E 1 osservando che s = 5mg 2 ϑ s = mgcosϑ ϑ 2 = mgsinϑ(2 s); per cui, se si inseriscono i vaori di s e ϑ a equiibrio si ottiene B(E 1 ) = ( 5mg 7 5 mg che è chiaramente definita positiva. Concudiamo che E 1 è configurazione di equiibrio stabie ne senso di Ljapunov, grazie a teorema di Dirichet-Lagrange. Per o studio dee piccoe osciazioni, osserviamo che ṡ = m 2 ϑ ṡ = ϑ 2 = m(s ) e quindi a forma quadratica associata a energia cinetica nea configurazione E 1 è ( ) m A(E 1 ) = m2 Poiché sia A che B sono già diagonai, e radici de equazione det(λa B) = sono λ 1 = 5g ) λ 2 = 35 g 159

4 e e pusazioni dee piccoe osciazioni sono ω 1 = g ω 2 = 35 g In un piano verticae, una catenaria omogenea di peso per unità di unghezza 2p è mantenuta in equiibrio grazie a due forze appicate negi estremi A e B, incinate rispettivamente di π/6 e π/3 su orizzontae. Sapendo che a forza appicata in B ha intensità 3p, determinare i vaore dea tensione ne punto più basso dea catenaria AB; intensità dea forza appicata in A; i disiveo tra i punti A e B. B A g Se centriamo origine di un sistema di assi cartesiani ortogonai centrato ne vertice dea catenaria, con assi paraei ad {, }, equazione dea catenatia si esprime come y(x) = ψ 2p [ ( ) ] 2p ψ x 1 dove ψ è i vaore dea componente dea tensione ungo, costante ungo i fio. Esso si ricava osservando che in B a tensione ha moduo 3p e quindi, vista incinazione de fio in que punto, ψ = 3pcos π 3 = 3p 2 per cui y(x) = 3 [ ( ) ] x 1. I minimo de moduo dea tensione si ha ne punto dove è minima a sua componente ungo, cioè ne vertice, dove a tensione si riduce a ψ = 3 2p. L intensità dea forza in A coincide con i moduo dea tensione de fio in que punto: vista incinazione dea tangente aa catenaria in A, deve essere I disiveo tra i punti A e B è F A = ψ cos π 6 y = y(x B ) y(x A ) = 3 4 = 3p. [ ( ) ( )] x B 3 x A

5 5 e per ottenere i vaori di 4 3x in A e B, deriviamo rispetto ad x a funzion(x), ricavando ( ) 4 y (x) = sinh 3 x e siccom (x) è a tangente trigonometrica de angoo che a retta tangente aa catenaria forma con asse dee ascisse ne punto (x, y(x)), abbiamo y (x A ) = 3 ( 4 ) 3 = sinh 3 x A y (x B ) = ( ) 4 3 = sinh 3 x B, dove i segno negativo rifette i fatto che in A a tangente aa catenaria forma un angoo pari a 5π 6 con asse dee ascisse. Abbiamo aora trovato i vaori di sinh ( 4 3 x) in A e B: utiizzando i egame fondamentae 2 x = 1+sinh 2 x otteniamo aora ( ) 4 3 x A = 2 ( ) x B = 2 sicché y = 3 2 [ ].