I primi elementi.

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1 CAPITOLO 1 I primi eementi 1. GEOGEBRA Geogebra eá un software di matematica dinamica prodotto da un gruppo diretto da Markus Hohenwarter in cui geometria e agebra condividono o stesso ambiente di avoro. La versione base e tutti gi aggiornamenti sono de tutto gratuiti e si trovano su sito Ciccando sua voce Downoad ne'eenco sua sinistra dea pagina di apertura de sito si puoá scaricare i software agendo su comando GeoGebra WebStart Viene cosõá garantito 'utiizzo de'utima versione disponibie e si crea in modo automatico un'icona su desktop per accedere a programma anche quando non si eá connessi aa rete. GeoGebra utiizza Java ed eá quindi necessario che su computer sia stato precedentemente instaato questo programma; nea pagina di GeoGebra c'eá comunque a possibiitaá di accedere a sito per o scaricamento gratuito. Una vota che GeoGebra eá stato instaato, su desktop compare 'icona Con un doppio cic su di essa si accede aa pagina principae de programma (figura a pagina seguente). In essa distinguiamo: a barra dei menu (Fie, Modifica, Visuaizza, ecc) a barra degi Strumenti di Disegno rappresentati da undici icone, con i pusanti Annua e Ripristina su ato destro a finestra di Agebra nea parte sinistra (Vista Agebra) a finestra di Geometria con un sistema di riferimento cartesiano ortogonae nea parte destra (Vista Grafica) a barra di Inserimento nea parte inferiore dea pagina. Con GeoGebra si possono costruire punti, rette, segmenti, poigoni, cerchi e associare ad essi coordinate ed equazioni; viceversa, si possono inserire coordinate di punti ed equazioni di curve ae quai vengono associate e corrispondenti rappresentazioni geometriche in un sistema di riferimento cartesiano ortogonae. Di uno stesso oggetto si ha in questo modo una visuaizzazione agebrica e una visuaizzazione geometrica. Le due finestre di Agebra e di Geometria sono coegate fra oro e ogni modifica che viene fatta in una dee due produce un effetto di aggiornamento su'atra. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 1

2 Ciascuna icona dea barra degi strumenti di Disegno ha un piccoo triangoo nea parte inferiore di destra; ciccando su di esso si apre 'eenco degi strumenti di costruzione disponibii. Nee esercitazioni che faremo con GeoGebra, per indicare un comando seezionabie daa riga dei menu, scriveremo i nome de menu e i comando separati da una barra; per esempio: Fie/Nuovo Per indicare un particoare strumento useremo a notazione che indica, ne'ordine, i numero progressivo di icona e o strumento grafico separati da un trattino orizzontae; per esempio, riferendoci ancora aa figura precedente, scriveremo: 3-Segmento tra due punti Per seezionare uno strumento basta ciccare su di esso; una vota fatta a sceta, a fianco dea barra degi strumenti viene indicato i nome deo strumento e una breve guida su come si utiizza. I disegno che compare in ogni icona eá iniziamente reativo a primo strumento dea ista, ma viene aggiornato ad ogni sceta successiva ed eá sempre riferito a'utimo seezionato. Nea finestra di disegno eá fissato un sistema di assi cartesiani ortogonai che puoá essere mostrato o nascosto attraverso i menu Visuaizza. Normamente sono visuaizzati soo gi assi cartesiani (c'eá un segno di spunta su comando), ma eá anche possibie visuaizzare a grigia (ciccare su comando) in modo da vautare con piuá faciitaá e coordinate dei punti. Tutti gi oggetti che vengono disegnati nea Vista Grafica hanno un nome identificato da un'etichetta; vengono usate ettere maiuscoe de'afabeto per i punti, ettere minuscoe per rette, segmenti e inee in genere, ettere greche per gi angoi, tutte in ordine progressivo. La visibiitaá dee etichette si puoá regoare con i comando scegiendo poi 'opzione desiderata. Opzioni/Etichettatura 2 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 Esercitazione 1. Punti, segmenti, rette Rappresentiamo tre punti A, B, C ne fogio di disegno, quindi tracciamo: 1. i segmento AB 2. a retta AC 3. a semiretta BC di origine B. In questa esercitazione conveniamo che nea pagina video siano attive a Vista Grafica e a Vista Agebra. Per disegnare un punto si deve: seezionare o strumento 2-Nuovo punto; ciccare in un punto dea finestra grafica. Osserviamo che a posizione de mouse viene segnaata dae coordinate cartesiane de punto su cui si trova in que momento; tai coordinate non vengono piuá indicate quando si eimina i riferimento cartesiano da menu Visuaizza. Seezioniamo dunque i tre punti richiesti; ad essi viene dato i nome A, B, C. Rispondiamo adesso ae richieste. 1. Dopo aver seezionato o strumento 3-Segmento tra due punti, cicchiamo su A e poi su B (o viceversa, 'ordine dei punti che rappresentano gi estremi de segmento non ha importanza); a segmento viene attribuito i nome di defaut a. 2. Con o strumento 3-Retta per due punti, cicchiamo su A epoisuc (anche in questo caso 'ordine dei punti non ha importanza); aa retta viene attribuito i nome b. 3. Con o strumento 3-Semiretta per due punti, cicchiamo prima su B e poi su C (questa vota 'ordine dei punti eá importante e indica che B eá 'origine dea semiretta); aa semiretta viene dato nome c. Osserviamo queo che contemporaneamente accade nea finestra di Agebra. Gi oggetti disegnati sono distribuiti in due gruppi: gi oggetti iberi, ne nostro caso i tre punti A, B, C dei quai vengono indicate e coordinate; gi oggetti dipendenti, ne nostro caso i segmento AB, che viene indicato con a e de quae viene data a unghezza, a retta AC (indicata con b) e a semiretta BC (indicata con c) dee quai viene data 'equazione. Un oggetto eá ibero se non viene costruito in dipendenza da atri oggetti, eá dipendente in caso contrario; i tre punti, che sono stati creati in modo arbitrario, sono quindi iberi, mentre gi atri oggetti sono dipendenti percheâ egati ad A, B, C. Proviamo adesso a spostare i punti. Dopo aver seezionato o strumento 1-Muovi, sposta i mouse su punto A; i puntatore, che normamente ha a forma di una croce, quando punta ad un oggetto si trasforma in una freccia. Per trascinare i punto in un'atra posizione, usa i tasto sinistro de mouse e, tenendoo premuto, sposta A nea nuova posizione. Durante o spostamento e coordinate de punto nea finestra di Agebra vengono aggiornate aa posizione occupata da punto in que'istante e contemporaneamente cambiano anche a unghezza di AB (segmento a) e 'equazione dea retta AC (retta b), mentre non muta 'equazione di CB (retta c) che eá rimasta fissa. Con a stessa procedura eá possibie muovere segmenti e rette. Osserviamo di nuovo a finestra di Agebra. Ciascun oggetto, ibero o dipendente che sia, ha un cerchietto coorato aa sua sinistra; ciccando su di esso i cerchio diventa chiaro e 'oggetto viene nascosto nea vista grafica. Un nuovo cic de mouse o rende di nuovo visibie. Con questa procedura eá possibie nascondere gi oggetti grafici; essi non vengono peroá canceati. Per eiminare un oggetto si deve invece ciccare su di esso e usare i tasto CANC, oppure usare i comando Modifica/Eimina. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 3

4 Se per errore si cancea un oggetto, si puoá usare i comando Modifica/Ripristina oppure usare i pusanti con e due frecce a'estremitaá destra dea barra degi strumenti di disegno: i pusante Annua, annua 'utima operazione fatta. i pusante Ripristina, riesegue 'utimo comando. Si possono anche canceare piuá oggetti in una soa vota: in modaitaá 1-Muovi, riquadrare gi oggetti tenendo premuto i tasto sinistro de mouse e poi usare i tasto CANC. Se vogiamo, possiamo savare i fie con i comando Fie/Sava con nome; 'estensione che caratterizza i fie di GeoGebra eá.ggb. Esercitazione 2. Gi angoi Per questa seconda esercitazione e per quee successive, conveniamo di avorare soo nea pagina grafica escudendo i sistema di riferimento cartesiano in modo da operare ne piano eucideo. Da menu Visuaizza togiamo quindi i segno di spunta daa voce Assi e chiudiamo anche a Vista Agebra. Ne piano eucideo eseguiamo e seguenti costruzioni geometriche: 1 disegniamo un angoo acuto, un angoo ottuso e un angoo concavo 2 disegniamo due angoi opposti a vertice 3 tracciamo e bisettrici degi angoi a punto 2. Punto 1 Per disegnare un angoo si usa o strumento 8-Angoo; a breve spiegazione a ato dea barra degi strumenti indica che si deve ciccare su tre punti oppure su due rette. Se si vuoe definire 'angoo mediante tre punti, dei quai i secondo rappresenta i vertice, non eá necessario che essi siano giaá presenti ne piano, si possono costruire ne mentre con un sempice cic de mouse nea posizione desiderata; se o si vuoe definire mediante due rette o semirette, queste devono invece essere giaá disegnate. Per defaut gi angoi vengono creati con un orientamento antiorario, quindi per disegnare un angoo ABC d che sia acuto oppure ottuso (entrambi sono angoi convessi) si deve prestate attenzione a come vengono posizionati i punti oppure e rette; e figure che seguono e quache prova direttamente con i software possono chiarire i dubbi. Con i punti: ciccando ne'ordine su A, B, C ciccando ne'ordine su C, B, A Con e semirette: ciccando prima su a e poi su b ciccando prima su b e poi su a 4 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 In questa esercitazione useremo i tre punti. Per rendere piuá "visibii" gi angoi si possono poi tracciare i segmenti che uniscono i vertice con gi atri punti (in reataá dovremmo tracciare dee semirette, usiamo segmenti per evitare che i disegni si sovrappongano). Le caratteristiche di un oggetto grafico possono essere modificate attraverso i Menu contestuae che si apre con un cic de tasto destro de mouse su'oggetto. Apriamo questo menu su primo angoo disegnato. La riga in ato eá a descrizione de'oggetto; e voci successive permettono di: ± mostrare o nascondere 'oggetto a seconda se eá presente o meno i simboo di spunta ± mostrare o nascondere 'etichetta ± copiare a definizione de'oggetto nea Barra di Inserimento ± rinominare 'oggetto ± eiminaro. Ciccando sua voce ProprietaÁ eá poi possibie definirne e caratteristiche grafiche tramite e varie schede disponibii. In particoare, togiendo i segno di spunta daa voce Consenti angoo concavo dea scheda Fondamentai, tutti gi angoi vengono disegnati convessi indipendentemente da'ordine con cui vengono presi i punti. Usando e varie schede, cerca ora di modificare i coore con cui sono stati definiti gi angoi (scheda Coore), i segni con cui vengono rappresentati (scheda Decorazione), o spessore dee inee e a gradazione de coore (scheda Stie). Le ettere in corrispondenza dei punti o e misure degi angoi, che sono date in gradi, che non sono ben visibii (a vote si sovrappongono a disegno) possono essere poi trascinate con i mouse con o strumento 1-Muovi. A di sotto di ciascuna figura possiamo poi inserire un testo usando o strumento 10-Inserisci testo; dopo aver seezionato o strumento, cicca ne punto dea finestra grafica dove i testo deve essere inserito e digitao nea finestra di diaogo che si apre; attraverso a finestra dee proprietaá de Menu contestuae si possono poi modificare e caratteristiche de testo (nea figura aa pagina successiva abbiamo usato un coore rosso). Punto 2 Per disegnare due angoi opposti a vertice occorre prima disegnare due rette che si intersecano. Successivamente: ± trovare i punto di intersezione con o strumento 2-Intersezione di due oggetti e ciccando prima su una retta e poi su'atra (avvicinando i mouse a un oggetto grafico, questo appare piuá marcato) ± definire i quattro angoi usando a procedura descritta a punto 1. Daa figura ottenuta possiamo fare e seguenti osservazioni: i punti da noi sceti per definire gi angoi sono in coore bu percheâ sono oggetti iberi, i punto di intersezione, che eá un oggetto dipendente, appare in coore nero; Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 5

6 gi angoi opposti a vertice hanno a stessa misura, a conferma de teorema che afferma che angoi opposti a vertice sono congruenti. A figura utimata, usando i menu contestuae, conviene nascondere e ampiezze degi angoi e i punti bu deseezionando e voci Mostra etichetta su'angoo e Mostra Oggetto sui punti. Punto 3 Le bisettrici si costruiscono con o strumento 4-Bisettrice. E' sufficiente ciccare sue due rette che sono servite per a costruzione degi angoi percheâ e due bisettrici vengano entrambe disegnate. Gi strumenti definiti da'utente e i trasporto dei segmenti I programma GeoGebra permette di costruire nuovi strumenti di disegno e di inseriri nea Barra degi strumenti in modo temporaneo oppure permanente. Visto che capita frequentemente di dover trasportare segmenti, per esempio per eseguire confronti, somme o differenze, costruiamo uno strumento che esegua i trasporto di un segmento su una retta. Per eseguire questa costruzione ci serviremo anche di una circonferenza; gi strumenti che riguardano e circonferenze si trovano ne gruppo 6 e sono i seguenti: ± Circonferenza di dato centro: disegna una circonferenza ciccando su centro e su un atro punto che ne definisce i raggio ± Circonferenza dati centro e raggio: disegna una circonferenza ciccando su centro e indicando a misura de raggio ± Compasso: disegna una circonferenza ciccando su un segmento che rappresenta i raggio (o sui punti suoi estremi) e su centro ± Circonferenza per tre punti: disegna a circonferenza che passa per tre punti. Noi utiizzeremo o strumento Compasso. Esercitazione 3. Lo strumento di trasporto dei segmenti La procedura eá a seguente: 1 disegniamo un segmento AB (i segmento da trasportare); 2 disegniamo una retta a (retta su cui deve essere trasportato i segmento); 3 mediante o strumento 2-Nuovo punto, individuiamo un punto C su a (primo estremo de segmento trasportato): ± spostiamo i puntatore sua retta (a retta appare di spessore ingrossato) ± seezioniamo i punto e diamogi nome C (voce Rinomina da Menu contestuae); 4 disegniamo a circonferenza di centro C e raggio AB: ± attiviamo o strumento 6-Compasso ± seezioniamo i segmento AB (eá i raggio dea circonferenza) ± seezioniamo i punto C (eá i centro dea circonferenza); 5 mediante o strumento 2-Intersezione di due oggetti, troviamo i punti E e F di intersezione dea circonferenza con a retta r; 6 disegniamo i segmento CE oppure CF a seconda di come vogiamo orientare i segmento. Abbiamo in questo modo costruito un segmento congruente ad AB. 6 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 Per creare o strumento grafico che esegua in modo automatico i trasporto, utiizziamo i comando Strumenti/Crea nuovo strumento, che attiva una finestra di diaogo con e tre schede Oggetti finai, Oggetti iniziai, Nome e icona. Compiiamo e schede: n Oggetti finai Per inserire i segmento trasportato, supponiamo CE, facciamo cic su triangoino che apre 'eenco degi oggetti e scegiamo i segmento CE e i suoi estremi. n Oggetti iniziai Vengono giaá proposti acuni oggetti; ne nostro caso dobbiamo accettare i punti A e B estremi de segmento dato, eiminiamo invece gi atri usando i tasto contrassegnato con i simboo ; apriamo poi 'eenco degi oggetti e inseriamo, facendo cic su di essi, a retta a e i punto C su a. Questi saranno gi oggetti da usare ne'appicazione deo strumento. n Nome e icona La casea Nome strumento rappresenta i nome che vogiamo dare ao strumento e che compariraá nea Barra degi strumenti. La casea Nome comando indica invece i nome dato a comando che compariraá ne'eenco dei comandi posto a ato dea riga di inserimento (non ci occupiamo per i momento di questi comandi). Digitando "Trasporto di un segmento" nea prima casea, anche a seconda viene compiata con o stesso nome (voendo puoá essere variato). Nea casea Guida rapida strumento possiamo dare indicazioni su come deve essere usato o strumento; tai indicazioni sono quee che compariranno nea riga in ato deo schermo, a ato dea Barra degi strumenti. Scriviamo quindi: "Fare cic sui punti estremi de segmento dato, sua retta e su primo estremo de nuovo segmento". Nea stessa finestra eá possibie scegiere 'immagine de'icona che compariraá nea Barra degi strumenti; si puoá accettare quea proposta oppure scegiere un'immagine presente ne disco de computer (eventuamente una creata con GeoGebra). Dopo aver controato di aver inserito correttamente tutti gi oggetti, facciamo cic su pusante Fine. Se e operazioni sono state eseguite correttamente, a finestra di informazione ci avverte che o strumento eá stato creato correttamente e 'icona sceta eá visibie nea Barra degi strumenti. I nuovo strumento eá ora utiizzabie nea sessione di avoro corrente come quaunque atro predefinito di Geogebra; esso eá ancora accessibie se si apre una nuova finestra grafica con i comando Fie/Nuovo, ma non eá piuá disponibie se si usa i comando Fie/Nuova finestra oppure se, dopo aver chiuso i programma, si apre una nuova sessione di avoro. Per poter utiizzare un nuovo strumento in atre costruzioni eá necessario savaro come fie: ± attiviamo i comando Strumenti/Organizza strumenti ± diamo ao strumento i nome "Trasporto di un segmento" ± facciamo cic su pusante Sava con nome ± diamo a fie i nome "Trasporto segmento" e saviamoo (conviene creare una cartea degi strumenti di Geo- Gebra). I nuovi strumenti vengono savati con estensione.ggt, per distingueri dai fie propri di GeoGebra che, come giaá detto, hanno invece estensione.ggb. A questo punto o strumento, dopo avero eventuamente caricato con i comando Fie/Apri, eá disponibie per quaunque appicazione. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 7

8 2. CABRI Anche Cabri eá un software mediante i quae si possono trattare e figure geometriche. Questo programma si avvia ciccando sua corrispondente icona de desktop oppure seezionando Cabri GeÂometre II Pus da menu Programmi. A'apertura compare una finestra come quea che segue nea quae puoi distinguere a barra dei menu e a barra degi strumenti in ato, a finestra di disegno, che consiste in un vasto spazio a sfondo normamente bianco, nea quae potremo disegnare e nostre figure, a riga dea guida in basso, dove viene indicato o strumento che si sta usando e gi eventuai messaggi richiesti aa guida in inea (attivabie con un cic de mouse su menu "? "). La barra degi strumenti contiene acune icone che rendono possibie 'attivazione di uno degi strumenti grafici di Cabri. Le icone sono raggruppate a seconda dea tipoogia. I primo gruppo eá costituito da una soa icona, quea de Puntatore: in questa modaitaá si puoá agire soo su un disegno giaá reaizzato; seguono gi strumenti di disegno puro con i quai disegnare per esempio punti, rette e circonferenze; ne terzo gruppo si trovano gi strumenti di costruzione di oggetti a partire da atri, per esempio a retta paraea o perpendicoare ad una retta data; abbiamo poi gi strumenti di verifica e di misura con i quai eá possibie per esempio verificare se un punto appartiene ad una certa curva o misurare 'ampiezza di un angoo; infine gi strumenti che modificano 'aspetto di un disegno mediante per esempio 'attribuzione di nomi e coori agi oggetti geometrici. Per seezionare uno strumento si usa i tasto sinistro de mouse (ciccando una vota si attiva o strumento indicato da'icona, ciccando due vote (o una vota su triangoino presente ne'angoo in basso a destra di ciascuna icona) si apre i menu degi strumenti disponibii); i tasto destro non ha funzioni particoari e serve soo per ingrandire o ridurre e icone. Ne seguito quindi, senza piuá specificaro, ci riferiremo sempre a tasto sinistro. Puntatore Rette Costruisci Macro Misura Disegna Punti Curve Trasforma Verifica Visuaizza proprietaá 8 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 Gi oggetti geometrici fondamentai con Cabri Come disegnare un punto e dare nome a un oggetto Da'icona Punti seeziona o strumento Punto, posiziona i mouse sua finestra di disegno dove vuoi segnare i punto (i puntatore eá diventato una matita) e cicca. Puoi dare un nome a punto appena disegnato digitando a ettera corrispondente, per esempio A subito dopo a sua creazione. Si puoá dare i nome ad un punto o a un atro oggetto quasiasi anche in fase successiva seezionando Nomi da'icona Visuaizza. Come disegnare una retta o una semiretta Da'icona Oggetti rettiinei seeziona o strumento Retta. Per disegnare una retta occorre dare un punto e una direzione; cicca quindi in un punto dea finestra grafica (viene disegnato un punto), muovi i mouse fino a che a retta assume a posizione che desideri e poi cicca di nuovo. Anche in questo caso puoi subito dare un nome aa retta digitando a ettera corrispondente, per esempio r. Ao stesso modo si procede per disegnare una semiretta (strumento Semiretta dea stessa icona). Come disegnare un segmento Da'icona Oggetti rettiinei seeziona o strumento Segmento e sposta i mouse nea finestra grafica; cicca una prima vota per rappresentare i punto che eá i primo estremo de segmento, sposta i mouse nea posizione de secondo estremo e cicca. Come disegnare un angoo Non esiste uno strumento specifico per disegnare un angoo e si devono disegnare due semirette aventi 'origine in comune. Seezionato o strumento Semiretta, disegna una prima semiretta, sposta poi i mouse nea sua origine fino a che i puntatore diventa una manina e compare i messaggio Questo punto: ciccando puoi disegnare una seconda semiretta che ha a stessa origine dea prima. Dobbiamo adesso mettere un simboo su'angoo in modo da evidenziare se vogiamo considerare 'angoo concavo o queo convesso definito dae due semirette; per segnare un angoo si devono indicare ne'ordine un punto su un ato, i vertice e un punto su'atro ato. Da'icona Visuaizza seeziona dunque o strumento Segna un angoo, sposta i mouse in un punto quasiasi di un ato de'angoo (i puntatore diventa una matita e compare i messaggio Su questa semiretta) e cicca (viene disegnato un punto); ripeti a stessa operazione su vertice e su un punto de'atro ato. Normamente 'arco viene posto su'angoo convesso ma, una vota attivato o strumento Puntatore, si puoá spostaro su queo concavo trascinandoo con i mouse (tieni premuto i tasto sinistro durante 'operazione); 'immagine de puntatore si trasforma in una mano che trascina durante tutto i processo di spostamento. I segno posto su'angoo eá per defaut un arco, ma si puoá scegiere un simboo diverso con o strumento Aspetto da'icona Disegna. Quando attivi questo strumento si apre a finestra Paette daa quae puoi seezionare i simboo che preferisci. Oggetti iberi e oggetti vincoati Un quaunque oggetto geometrico disegnato con Cabri eá ibero se a sua esistenza non dipende da atri oggetti, eá vincoato in caso contrario. Per comprendere megio i significato di questi termini esegui questa costruzione: disegna due rette in modo che si veda a oro intersezione; attiva o strumento Intersezione di due oggetti da'icona Punti e cicca sue due rette: in corrispondenza de'intersezione viene disegnato un punto, chiamao A; Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 9

10 attiva adesso a modaitaá Puntatore (cicca sua prima icona) e trascina una dee due rette con i mouse: 'operazione eá possibie e dea retta puoi modificare sia 'incinazione, sia a posizione ne piano (osserva che, contemporaneamente, anche i punto A si muove seguendo a retta); a stessa cosa accade se cerchi di muovere a seconda retta: e due rette sono oggetti iberi cerca adesso di trascinare i punto A; 'operazione non eá possibie percheâ A eá vincoato ad appartenere ad entrambe e rette e non eá possibie spostaro: i punto A eá un oggetto vincoato. Come canceare un oggetto La canceazione di un oggetto o di un disegno puoá avvenire soo in modaitaá Puntatore. Per canceare un singoo oggetto da un disegno basta puntare i mouse su'oggetto e poi premere i tasto CANC o "BACKSPACE"; per canceare piuá oggetti o parti di un disegno si devono prima riquadrare gi oggetti con i mouse. Se si vuoe canceare 'intero disegno si puoá usare i comando Seeziona tutto da menu Edita e poi usare i tasto CANC. Forme de puntatore e reativi significati Avrai notato che a forma de puntatore cambia quando si stanno facendo operazioni diverse o ci si trova in modaitaá diverse. Di seguito trovi un eenco con e principai forme de puntatore ed i oro significato. freccia croce matita mano che punta mano che trascina mano aperta mano che afferra ente d'ingrandimento cursore penneo secchio di vernice compare quando i puntatore passa sua barra degi strumenti indica che ci si trova nea modaitaá Puntatore si presenta in due modaitaá :se eá rivota verso 'ato eá attivo uno strumento di costruzione, se eá rivota verso i basso si puoá inserire un punto su'oggetto appena disegnato indica un oggetto seezionabie indica che si sta spostando un oggetto appare quando si usa i tasto CTRL; si usa in abbinamento a testo successivo indica che si sta spostando a finestra grafica (usata dopo aver premuto i tasto CTRL) compare quando esiste una ambiguitaá, per esempio non si sa a quae oggetto si sta puntando si puoá inserire o modificare un testo si possono cambiare i coori o gi attributi di un oggetto de disegno (comandi de'icona Disegna) si puoá riempire un oggetto con un motivo o un coore (comando Riempimento de'icona Disegna) Esercitazione 1. Gi assiomi con Cabri Quaunque costruzione geometrica si puoá fare percheâ gi assiomi dea geometria eucidea rendono possibie a rappresentazione grafica di oggetti geometrici e ne garantiscono 'unicitaá. Per esempio: disegna due punti, usa o strumento Retta e cicca su di essi; poicheâ vae 'assioma di unicitaá dea retta per due punti, viene disegnata una soa retta che passa per tai punti; usa adesso o strumento Punto su un oggetto da'icona Punti, sposta i mouse vicino aa retta fino a che compare i messaggio Su questa retta e cicca nea posizione in cui vuoi che sia preso i punto sua retta: un punto viene disegnato nea posizione indicata. Con questo strumento si possono considerare infiniti punti sua retta in virtuá de'assioma di ordinamento che permette, in sostanza, di considerare infiniti punti su una retta; 10 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 disegna adesso un punto in uno dei due semipiani definiti daa retta disegnata e un punto ne'atro; disegna poi i segmento che unisce tai punti. Usa adesso o strumento Intersezione di due oggetti da'icona Punti e cicca prima sua retta e poi su segmento (o viceversa): un punto viene disegnato come intersezione dea retta e de segmento. Se ripeti a stessa operazione con un segmento che appartiene interamente ad uno dei due semipiani, non viene evidenziata acuna intersezione. Anche questa operazione eá possibie in virtuá de'assioma di partizione de piano. Atre operazioni possibii sono quee di trasporto di un segmento e di un angoo che sono garantite dagi omonimi assiomi. Per eseguire queste operazioni, Cabri mette a disposizione una macroistruzione che deve essere prima richiamata da una ibreria seguendo questa procedura: apri i menu Fie e attiva i comando Apri cerca a directory dei fie di Cabri II Pus e apri a directory Macro accertati che i tipo di fie visuaizzato abbia estensione mac (seeziona Fie di una macro daa casea Tipo fie) apri Tras seg.mac ripeti a stessa sequenza di passaggi e apri anche i fie Tras ang.mac. Questi due nuovi strumenti si trovano adesso ne'icona Macro e possono essere utiizzati come quasiasi atro strumento di Cabri. Per avere informazioni su oro utiizzo usa i tasto F1 (oppure apri i menu di aiuto e scegi Aiuto); i menu di aiuto apre una finestra nea zona bassa deo schermo dove viene descritto 'utiizzo deo strumento attivo in que momento. Vediamo aora come usare questi due nuovi strumenti. n Per eseguire i trasporto di un segmento: ± disegna un segmento quasiasi ne fogio di avoro ± disegna a semiretta sua quae deve essere trasportato i segmento ('origine dea semiretta eá un estremo de segmento) ± da'icona Macro attiva o strumento Trasporto di un segmento ± nea finestra di aiuto eggiamo "Seeziona un segmento e una semiretta. I segmento viene trasportato sua semiretta" ± cicca prima su segmento e poi sua semiretta. Un atro punto, che rappresenta i secondo estremo de segmento, viene disegnato sua semiretta; se adesso ti avvicini con i mouse a segmento compare una ente con i punto di domanda ed i messaggio Quae oggetto? Se cicchi ti viene chiesto di scegiere fra Semiretta e Segmento (Trasporta un segmento) percheâ adesso a semiretta ed i segmento sono due oggetti diversi. n Per eseguire i trasporto di un angoo: ± disegna un angoo ne fogio di avoro ± disegna una semiretta che dovraá essere i primo ato de'angoo una vota trasportato ± da'icona Macro attiva o strumento Trasporto di un angoo ± nea finestra di aiuto eggiamo "Seeziona tre punti che definiscano un angoo da trasportare. Quindi seeziona una semiretta. L'angoo viene trasportato sua semiretta." ± i tre punti che devono essere seezionati per definire 'angoo sono ne'ordine: un punto su un ato, i vertice, un punto su'atro ato; subito dopo si deve ciccare sua semiretta. L'ordine con cui vengono seezionati i ati de'angoo stabiisce 'orientamento orario oppure antiorario de trasporto; prova a ripetere i trasporto seezionando i punti in ordine inverso per vedere che cosa succede. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 11

12 Si puoá anche vautare a unghezza di un segmento o 'ampiezza di un angoo con gi strumenti Distanza o unghezza e Misura de'angoo de'icona Misura; appicare questi strumenti a due segmenti o a due angoi puoá servire per vautare a oro congruenza (i concetto di misura verraá affrontato in modo rigoroso in un'area tematica successiva). Prova adesso a modificare a unghezza de segmento AB trascinando uno degi estremi e a modificare 'ampiezza de'angoo di vertice V trascinando uno dei suoi ati: come eá prevedibie, anche i segmento e 'angoo trasportati variano di conseguenza. Torniamo adesso su concetto di oggetto ibero e di oggetto vincoato. Nea precedente esperienza hai potuto variare a unghezza di AB e 'ampiezza de'angoo di vertice V percheâ questi sono oggetti iberi; puoi anche trascinare sia i segmento AB che 'angoo V b in un'atra posizione ne piano, ma non puoi variare a unghezza di OP o 'ampiezza di V b0 percheâ questi sono oggetti vincoati aa costruzione fatta. Puoi invece trascinare i punto O, e quindi anche a semiretta su cui giace OP, percheâ O eá stato sceto iberamente ne piano; per o stesso motivo puoi anche trascinare i vertice V 0, e quindi 'angoo V b0. ESERCIZI 1. Disegna due segmenti consecutivi e due segmenti adiacenti. 2. Disegna un segmento AB e trova i suo punto medio indicandoo con M; trova poi i punti medi dei segmenti AM e MB e indicai rispettivamente con P e Q. Verifica che i quattro segmenti che si ottengono sono congruenti. 3. Disegna quattro punti A, B, C, D non aineati e traccia: a. da A edac e rette paraee a BD; b. da B edad due rette incidenti ae due paraee a BD; c. trova i punti di intersezione di tutte e rette disegnate. 4. Disegna tre segmenti AB, BC, ecd che siano adiacenti e congruenti; trova i punto medio M de segmento AD e verifica che eá anche punto medio di BC. 5. Disegna due angoi consecutivi e definisci poi 'angoo somma. 6. Disegna due angoi adiacenti; traccia e oro bisettrici e verifica che sono perpendicoari. 7. Disegna due angoi opposti a vertice e verifica che sono congruenti. 8. Disegna due segmenti e, utiizzando o strumento di trasporto dei segmenti, costruisci a oro somma e a oro differenza. 9. Disegna un segmento AB e una retta r; prendi un punto C su r e costruisci i segmento CD 4AB. 10. A differenza di Cabri, Geogebra non ha uno strumento per i trasporto degi angoi; creane uno che permetta i trasporto di un angoo (in senso antiorario) quando eá assegnato un ato. 11. Disegna due angoi e, utiizzando o strumento di trasporto di un angoo, costruisci 'angoo somma e 'angoo differenza. 12. Dato un angoo, costruisci un angoo di ampiezza 2 avente un ato su una semiretta assegnata. 12 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

13 Approfondimento Le iusioni ottiche Le immagini che seguono sono state tratte da diversi siti Internet che si occupano di questo argomento e vogiono essere uno spunto di rifessione sua necessitaá de dimostrare in geometria percheâ cioá che i nostro occhio percepisce o i nostro cerveo eabora, spesso, non corrisponde aa reataá. MAGGIORE, MINORE O UGUALE? PARALLELO O NO? DIRITTO O CURVO? Quae dei tre omini eá piuá grande? Quae fra e due sfere centrai eá piuá grande? CERCHI O SPIRALI La inea nera centrae eá un cerchio anche se non o sembra. CHE COSA VEDI? E' una giovane donna o una vecchia megera? E' una spirae o sono cerchi concentrici? Quante zampe ha 'eefante? Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 13

14 1 In figura sono rappresentati due pezzi di fio di ferro. Ognuno eá composto di segmenti aventi tutti unghezza di 10cm. Uno dei due pezzi viene parziamente sovrapposto a'atro in modo che essi vengano ad avere un tratto in comune. Quanti possono essere a massimo i segmenti che compongono tae tratto? a. 7 b. 5 c. 4 d. 3 e. 1 b: Š 2 Un angoo AOB d viene trisecato dae semirette OP e OQ; anche 'angoo BOC d (suppementare di AOB) d viene trisecato dae semirette OR, OS. Quanto vae 'angoo QOR? d a. 45 b. 60 c. 90 d. dipende da'angoo d AOB e. a costruzione non si puoá fare b: Š Giochi, regoe e assiomi Quasiasi gioco, che sia di societaá o di carte, a dama o gi scacchi, ha i suoi "pezzi" e e sue "regoe" con cui giocare; si possono poi costruire dee strategie per vincere. Per esempio, per giocare a dama si devono avere (i termini primitivi): una scacchiera, formata da 64 casee, 32 bianche e 32 nere, disposte in fie di 8 casee a coori aterni; e pedine, 12 bianche e 12 nere, che si dispongono sue casee nere in 3 fie di 4 pedine ciascuna a partire da bordi opposti. Bisogna poi conoscere quai sono e regoe de gioco (gi assiomi) che possiamo pensare ripartite in gruppi. n Regoe su movimento dei pezzi: ogni pedina, sia bianca che nera, puoá muovere soo in avanti sue casee scure spostandosi di una casea aa vota; i due giocatori effettuano aternativamente e oro mosse una aa vota; i primo a muovere eá i giocatore con e pedine bianche. n Regoe di presa: quando una pedina de giocatore di turno incontra una pedina di coore diverso con una casea ibera ae sue spae si eá obbigati a catturara (si dice che si mangia a pedina avversaria) passando sopra questo pezzo ed occupando a casea ibera immediatamente successiva; e pedine possono catturare i pezzi avversari muovendo soo in avanti e si possono catturare da una a tre pedine con una soa mossa; 14 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

15 quando una pedina, ne corso dee sue mosse, raggiunge a base avversaria, diventa una dama; e pedine non possono catturare e dame; e dame possono muovere in quasiasi direzione e possono catturare pedine e dame avversarie. Ne'enunciazione dee regoe sono state menzionate e dame; una dama si reaizza mediante a sovrapposizione di due pedine deo stesso coore (eá una definizione). La partita si concude quando uno dei due giocatori riesce a catturare tutti i pezzi de'avversario o a rendere impossibie i oro movimento, oppure quando 'atro giocatore abbandona a partita. Una partita puoá concudersi in paritaá quando nessuno dei due giocatori riesce a catturare tutti i pezzi avversari. Otre a conoscere e regoe de gioco, per poter vincere occorre avere pratica e conoscere acune tattiche di gioco. Gi appassionati amano misurarsi con e partite giaá impostate che si trovano sue riviste enigmistiche; in questi casi si presenta 'evouzione di una partita in un certo stadio e si chiede come deve agire i giocatore di turno, di soito i bianco, per poter vincere in un predeterminato numero di mosse. Nea partita iustrata daa figura a ato (dove e pedine bianche muovono da basso verso 'ato) occorre trovare a strategia per far si che i giocatore che opera con e pedine bianche vinca in quattro mosse. "I bianco muove e vince in quattro mosse" eá queo che, ne gioco dea dama, potremmo chiamare un teorema. La "dimostrazione" di questo teorema eá 'eenco dee mosse che i bianco deve fare per vincere; ne nostro caso: - H4 va in G3 i nero risponde con F4 in F8 (e mangia E5 ed E7) - C5 va in D4 i nero risponde con C3 in G7 (e mangia D4 e F6) - G3 va in H2 i nero risponde con E1in G3 (e mangia F2) - H2 in H6 e vince a partita. La situazione infatti si presenta come nea figura a ato e quaunque mossa faccia i giocatore nero, a partita per ui eá persa. Ma con a stessa scacchiera e con gi stessi pezzi, cambiando soo e regoe, si possono fare atri giochi, come queo che segue. I pezzi che si muovono sua scacchiera sono: e pedine e dame (sovrapposizione di due pedine) i napoeoni (sovrapposizione di tre pedine). e sono disposti come nea figura in basso. Le regoe de gioco sono e seguenti: e pedine muovono soo in avanti e dame e i napoeoni muovono in ogni direzione si possono mangiare i pezzi avversari se sono di pari grado o secondo a gerarchia napoeone, dama, pedina una pedina diventa dama quanto raggiunge a postazione di una dama avversaria una dama diventa napoeone quando raggiunge 'angoo de napoeone avversario. La partita si concude con a vittoria di uno dei due giocatori o in paritaá ae stesse condizioni dea dama. Utiizzando gi stessi termini primitivi (scacchiera e pedine) e cambiando gi assiomi, si possono inventare giochi differenti. La stessa cosa accade con i giochi di carte: si usa sempre a stessa composizione de mazzo per fare tantissimi giochi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI 15

16 Anche a geometria eá una specie di gioco, un po' diverso daa dama, dagi scacchi o dai giochi di carte, dove peroá ci sono regoe da rispettare e strategie da mettere in atto. Siano punto, retta e piano i termini primitivi di geogame. Intendiamo i punto in senso eucideo, ma a retta e i piano saranno per i nostro gioco oggetti diversi: con i termine piano intendiamo 'insieme dei punti posti in un reticoo (iimitato) come nea figura a sinistra con i termine retta intendiamo un insieme di punti come quei nea figura a destra. Rispondi ai quesiti aiutandoti con dei disegni che puoi costruire usando a prima figura sopra. 1 La regoa per due punti passa una e una soa retta puoá ancora essere considerata un assioma di geogame? Come possiamo definire una semiretta? 2 Ne piano di geogame definiamo segmento AB 'insieme dei punti che appartengono a una retta e che sono compresi fra A e B; per essi possiamo dare una definizione anaoga a quea che abbiamo dato in geometria eucidea di segmenti consecutivi e segmenti adiacenti. Disegna in questo piano: a. quache segmento b. due segmenti consecutivi c. due segmenti adiacenti. 3 La regoa definita da'assioma di partizione de piano puoá ancora essere considerata un assioma di geogame? Per dare a risposta disegna una retta e verifica se a proprietaá indicata da questo assioma eá ancora vera. 4 Ne piano di geogame, cosõácome nea geometria eucidea, definiamo angoo a parte di piano deimitata da due semirette aventi 'origine in comune e diamo anaoghe definizioni di angoi consecutivi e angoi adiacenti. Disegna in questo piano: a. quache angoo b. due angoi consecutivi c. due angoi adiacenti. 5 Nea geometria eucidea due rette che non hanno punti di intersezione si dicono paraee e da queo che hai studiato ae scuoe medie sai che per un punto si puoá condurre una soa paraea a una retta data. Se definiamo in modo anaogo e rette paraee ne piano di geogame, questa proprietaá eá ancora vera? 1 si 3 no 5 no, esistono piuá rette che sono paraee a una retta data 16 Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA