Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 8 Giugno Problema 1. Si consideri un punto materiale di massa unitaria soggetto ad un potenziale

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1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 8 Giugno 018 Problema 1 Si consideri un punto materiale di massa unitaria soggetto ad un potenziale V (x) = x x4 Schematizzare lo spazio delle fasi calcolando i punti di equilibrio. Determinare le equazioni delle tangenti alle separatrici. Supponendo di essere in un sistema rotante con velocitá angolare ω e asse di rotazione ortogonale all asse x e passante per l origine, scrivere la LAgrangiana e determinare il valore di ω in modo che il punto di equilibrio x = 0 diventi instable. Calcolare i nuovi punti di eqilibrio stabili. I punti di equilibrio sono x = 0 punti ellittico e x = ±a punti iperbolici. Le equazioni delle rette tangenti alle separatrici sono y (x ± a) = 0 Lo spazio delle fasi si determina dalla curve di livello dell energia E = ẋ + x x4 Se siamo nel sistema rotante la velocit assoluta diventa da cui la Lagrangiana v = ẋˆx + x ω ˆx L = ẋ + x ω x + x4 La condizione di stabilitá per l origine richiede ω < 1. Nel caso ω > 1 l equazione ] x [(1 ω ) x = 0 1 a

2 mostra che esiste solo un punto iperbolico per x = 0. Problema Si consideri un punto materiale di massa m vincolato su un toro in posizione verticale di equazione x = a sin θ y = (R + a cos θ) cos φ z = (R + a cos θ) sin φ soggetto alla forza peso diretta lungo z. 1) Scrivere la Lagrangiana del sistema; ) scrivere l Hamiltoniana del sistema; ) discutere l esistenza di soluzioni con φ = 0. Calcoliamo la velocitá del punto ẋ = a θ cos θ ẏ = a θ sin θ cos φ (R + a cos θ) φ sin φ ż = a θ sin θ cos φ + (R + a cos θ) φ cos φ da cui la Lagrangiana L = m [ ] (R + a cos θ) φ + a θ mg(r + a cos θ) sin φ La Hamiltoniana del sistema si scrive p φ H = m(r + a cos θ) + p θ + mg(r + a cos θ) sin φ ma Abbiamo quindi φ = H p φ = ṗ φ = H φ p φ m(r + a cos θ) = mg(r + a cos θ) cos φ che risultano soddisfatte per φ = ±π/ e φ = 0. Il sistema si riduce ad un pendolo H ± (θ, p θ ) = p θ ± mg(r + a cos θ) ma

3 Problema Si consideri un sistema meccanico formato da un asta di massa m a lunghezza l con un estremo fissato su una guida sinusoidale di equazione (x, a sin(kx)) Utilizzando l ascissa x dell estremo vincolato e l angolo θ di inclinazione dell asta 1) Scrivere la Lagrangiana del moto; ) scrivere la Lagrangiana delle piccole oscillazioni nell intorno di una posizione stabile e scrivere l equazione per le frequenze delle piccole oscillazioni; ) supponendo che l estremo vincolato si muova a velocitá costante x = v 0 t con g/a > v 0k determinare v 0 in modo che la posizione θ = 0 sia instabile (ricordare la risonanza parametrica). Chiamiamo x l ascissa dell estremo vincolato e θ l angolo di inclinazione dell asta rispetto alla verticale, il centro di asta dell asta ha coordinate (x + l sin θ, a sin(kx) l cos θ) da cui possiamo calcolare l energia cinetica del centro di massa T CM = m (ẋ (1 + a k cos (kx)) + lẋ θ(cos θ + ak cos(kx) sin θ) + l θ ) L energia cinetica dell asta nel sistema del centro di massa si scrive T a = ml θ 6 da cui applicando il teorema di Köning otteniamo l energia cinetica del sistema T = m mentre l energia potenziale é ) (ẋ (1 + a k cos (kx)) + lẋ θ(cos θ + ak cos(kx) sin θ) + 4l θ V (x, θ) = mg(a sin(kx) l cos θ) Le posizioni di equilibrio stabile sono θ = 0 kx = π/ + πn; scegliamo n = 0 per semplicitá. La Lagrangiana delle piccole oscillazioni si scrive L P O = m ) (Ẋ + lẋ θ + 4l θ mgak X mglθ

4 dove X = x + π/, da cui l equazione per le frequenze delle picole oscillazioni ( ) ω det gak ω l ω l 4l /ω = 0 gl Sostituiamo nella Lagrangia x = v 0 t ed eliminiamo delle derivate totali rispetto al tempo L = m ( ) v 0(1 + a k cos (kv 0 t)) + lv 0 θ(cos θ + ak cos(kv0 t) sin θ) + 4l θ mg(a sin(kv 0 t) l cos θ) ml θ mlav 0k sin(kv 0 t) cos θ + mgl cos θ Linearizzando attorno alla posizione di equilibrio θ = 0 abbiamo L P O = ml θ ml(g av 0k sin(kv 0 t)) θ Si tratta di un oscillatore con frequenza modulata: la condizione di risonanza parametrica é soddisfatta per g/l = kv 0 Problema 4 Si consideri il problema di Keplero sul piano. Scrivere l Hamiltoniana del sistema chiamando p r e p θ i momenti associati alle variabili polari (r, θ). Utilizzando il formalismo Hamiltoniano, si ponga K = p θ (p r, E, r) si scriva in forma canonica le equazioni per (r(θ), p r (θ)) e verificare che le equazioni ottenute equivalgono all equazione dell orbita per u(θ) con u = 1/r. La funzione di Hamilton da cui ottemiamo H = p r m + K = p θ = r p θ mr k r m(e + k r ) p r Le equazioni canoniche associate a K si scrivono dr dθ = K = r p r p r K dp r dθ = K r = K r + mk K 4

5 dove abbiamo usato il fatto che K é un integrale primo del moto. Dalla prima equazione si ottiene 1 dr r dθ = du dθ = p r K da cui d u dθ = 1 dp r K dθ = u + mk K che coincide con l equazione dell orbita per il problema di Keplero. 5