Descrizione matematica della propagazione Consideriamo una funzione ξ = f(x) rappresenatata in figura.

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1 ONDE Quando suoniamo un campanello oppure accendiamo la radio, il suono è sentito in punti distanti. Il suono si trasmette attraverso l aria. Se siamo sulla spiaggia e una barca veloce passa ad una distanza dalla riva, noi avvertiamo l onda che si è prodotta. Quando pigiamo il pulsante della luce, la luce si propaga in una stanza e la illumina. Apparantemente i processi sono diversi ma sono situazioni fisiche che avvengono in un punto dello spazio, si propagano attravesro lo spazio e si avvertono più tardi in un altro punto. Questi processi sono esempi di moto ondoso. Per studiare questo problema più in generale supponiamo di avere un proprietà fisica descritta da un certo campo. Il campo può essere elettromagnetico, le deformazione in una molla (spring), la pressione in un gas, la tensione (strain) in un solido. Supponiamo che la perurbazione in un punto sia dinamica, cioè dipendente dal tempo e che ci sia una perurbazione dello stato fisico in quel posto. Le proprietà fisiche del sistema desrotte dalle equazioni del campo e che dipendono dal tempo hanno come risultato la propagazione di questa perturbazione attraverso lo spazio. Questo disturba le condizioni statiche in altri posti. parlaimo quindi di onda associata ad un particolare campo considerato. Consideriamo ad esmpio la superficie libera di un liquido. Il campo in questo caso è lo spostamento di ciascun punto della superficie relativo allo stato di equilibrio. All equilibrio e in condizioni statiche la superficie libera di un liquido è piana ed orizzontale, Ma se in un punto le condizioni della superficie sono disturbate, ad esempio da una pietra, sappiamo che la perturbazione si propaga in tutte le direzioni sulla superfixcie del liquido. Per determinare il meccanismo di propagazione e la sua velocità, dobbiamo analizzare come il movimento in un punto della superficie influenza il resto. 1

2 Dobbiamo scrivere le equazioni dinamiche del nostro processo. queste equazioni allora ci permettono di ottenere delle informazioni quantitative circa la variazione nello spazio e nel tempo del disturbo. Descrizione matematica della propagazione Consideriamo una funzione ξ = f(x) rappresenatata in figura. Rimpiazzando x con x a, otteniamo ξ = f(x a), e analogamente per x + a: ξ = f(x + a); supponendo a > 0 si ha una traslazione ma non una deformazione della figura. Se a = vt, con t il tempo, otteniamo una curva che cammina, cioè ξ = f(x vt) rappresenta una curva che si muove verso destra con una velocità v chiamata velocità di fase. Analogamente ξ = f(x + vt) rappresenta un curva che si muove verso sinistra con velocità v. Allora un espressione matematica del tipo (18.1) ξ = f(x ± vt) è adeguata per descrivere una situazione fisica che si muove o si propaga senza deformazione lungo l asse x; questo è chiamato movimento ondoso. La quantità ξ(x, i) può rappresentare una gran quantità di grandezze fisiche, come la deformazione di un solido, la pressione di un gas,un campo elettrico 2

3 o magnetico. Un caso particolare si ha quando ξ(x, t) è sinusoidale o una funzione armonica ξ(x, t) = ξ o sin k(x vt) ξ(x + 2π/k vt) = ξ o sin[k(x + 2π/k vt)] = ξ o sin[k(x vt) + 2π] = = ξ o sin[k(x vt)] = ξ(x, t) allora λ = 2π/k è il periodo spaziale della curva in fig. 18.4, cioè la curva si ripete ogni lunghezza λ; tale λ è detta lunghezza dell onda. La quantità k = 2π/λ rappresenta il numero di lunghezze d onda nella distanza 2π ed è chiamato il numero dell onda. (18.4) ξ(x, t) = ξ o sin k(x vt) = ξ o sin(2π/λ)(x vt) rappresenta una sinusoide o onda armonica di lunghezza λ, che si propaga a destra lungo l asse x con velocità v. L equazione (18.4) può riscriversi così: ξ(x, t) = ξ o sin(kx ωt) con ω = kv = 2πv/λ, che dà la frequenza angolare dell onda. Poiché ω = 2πν con ν = frequenza con cui la situazione fisica varia nel punto x, si ha λν = 2πv ω ω 2π = v quindi si ha λν = v, relazione tra lunghezza d onda, frequenza e velocità di propagazione. Se P è il periodo di oscillazione in ogni punto è dato da Allora P = 2π ω = λ v = λ ν ξ = ξ o sin 2πλ(x vt) = ξ o sin 2π(x/λ t/p ) = ξ o sin k(x + vt) = 3

4 = ξ o sin(kx + ωt) = ξ o sin 2π(x/λ t/p ) (k = 2π/λ, ω = kv = 2π/P ) Allora in conclusione ξ = ξ o sin 2π(x/λ + t/p ) rappresenta un onda armonica o sinusoidaleche si muove lungo la direzione x. Osservando la figura 18.5, noi possiamo osservare la funzione ξ(x, t) al tempo t o, t o + P/4, t o + P/2, t o + 3P/4 e t o + P. Notiamo che la situazione fisica si ripete nello spazio dopo un periodo, infatti λ = v/ν = vp che mostra che possiamo definire la lunghezza d onda come la distanza coperta dal movimento dell onda in un periodo. Allora in un movimento dell onda sinusoidale abbiamo due periodicità: 1) il tempo (dato dal periodo P ); 2) lo spazio (dato dalla lunghezza d onda λ) con la relazione λ = vp Si può dimostrare che l espressione (18.1) può essere riscritta come in: (18.2) ξ(x, t) = F (t ± x/v) dove + indica la propagazione verso sinistra, indica la propagazione verso destra. Allora per un onda armonica si ha ξ(x, t) = ξ o sin ω(t ± x/v) = ξ o sin ω(t ± kx) ANALISI DI FOURIER E MOTO D ONDA Ogni movimento periodico può essere espresso come una composizione di semplici movimenti armonici di frequenza ω, 2ω,..., nω,... o periodi P, P/2,..., P/n,... 4

5 Lo stesso riusltayto si applica al movimento delle onde. Sia ξ = f(x vt) il movimento periodico di un onda, cioè un movimento che si ripete al tempo P, 2P,..., np ; in altre parole ξ = f(x vt) = f(x v(t ± P )) = f(x vt vp ) questo significa che a un dato tempo ξ si ripete quando x cresce o decresce con vp. 2vP,..., nvp,.... Se invece di cambiare t cambiamo x con la quantità x = vp, l onda si ripete nello spazio. Questo vale per il movimento ondoso sinusoidale. Sia ξ = f(x) una funzione periodica nello spazio con periodo λ cioè f(x) = f(x + λ). Allora usando il teorema di Fourier possiamo scrivere ξ = f(x) = a o +a 1 cos kx+a 2 cos 2kx+ +a n cos nkx+ +b 1 sin kx+b 2 sin 2kx+ +b n sin knx con k = 2π/λ, che gioca lo stesso ruolo di ω. Si dimostra che ξ = f(x vt) può essere espressa da ξ = f(x vt) = a o +a 1 cos k(x vt)+a 2 cos 2k(x vt)+ +a n cos nk(x vt)+ + +b 1 sin k(x vt) + b 2 sin 2k(x vt) + + b n sin nk(x vt) + essendo ω = kv quindi ξ = f(x vt) = a o +a 1 cos(kx ωt)+a 2 cos 2(kx ωt)+ +a n cos n(kx ωt)+ + +b 1 sin(kx ωt) + b 2 sin 2(kx ωt) + + b n (kx ωt) + che indica che ogni moto ondoso periodico può essere espresso come la sovrapposizione di moti ondosi di frequenze ω, 2ω, 3ω,, nω,... e lunghezze d onda λ, λ/2, λ/3,, λ/n, 5

6 È importante capire il moto ondoso armonico per comprendere il moto ondoso generale. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL MOTO ONDOSO Investighiamo come determinare quando un campo dipendente dal tempo si propaga come un onda senza distorsione. Dobbiamo ptrovare un equazione differenziale applicabile in tutti i vari tipi di moto ondoso. Ogni volta che noi riconosciamo che un particolare campo, come risultato delle sue proprietà fisiche, soddisfa tale equazione, possiamo essere certi che il campo si propaga attraverso lo spazio con una data velocità e senza distorsione. Viceversa, se osserviamo come risultato di un esperimento, che un campo si propaga nello spazio con una velocità definita e senza distorsione, allora possiamo essere pronti a descrivere il campo con un insieme di equazioni compatibile con l equazione delle onde. L equazione che descrive un moto ondoso con una velocità definita v e senza distorsione lungo l asse positivo delle x (oppure l asse negativo) è 2 ξ (18.11) t 2 = v2 2 ξ x 2 detta Equazione differenziale del moto ondoso. La soluzione generale di (18.11) è data da (18.12) ξ(x, t) = f 1 (x vt) + f 2 (x + vt) allora la soluzione generale della (18.11) può essere espressa come la superposizione di due moti ondosi che si propagano in direzioni opposte. Se abbaimo un onda che arriva lungo l asse x+ e un onda riflessa lungo l asse x dovremo usare la formula generale (18.12) 6

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