(trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello; momento d inerzia dell anello I A = MR 2 )

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1 1 Esercizio Una ruota di raggio R e di massa M può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m, che a sua volta può scivolare su un piano inclinato di un angolo θ 1 e privo di attrito. m M θ 1 θ 2 1. Disegnare le forze che agiscono sul corpo m e scrivere la legge che determina il suo moto [2 punti]; 2. Disegnare le forze che agiscono sul corpo M e scrivere le leggi che determinano il suo moto [6 punti]; 3. Risolvere le equazioni ottenute nei punti precedenti e determinare (in forma simbolica) l accelerazione a del sistema e la forza di attrito F att in funzione di m, M, θ 1, e θ 2 [4 punti]; 4. Determinare i valori espliciti di a e di F att nel caso particolare in cui m = 5 Kg, M = 7 Kg, θ 1 = π/3 e θ 2 = π/6 e commentare se la ruota sale o scende [1 punto]; 5. Determinare il valore minimo del coefficiente di attrito (statico o dinamico?) del piano su cui si trova la ruota, affinché la ruota rotoli senza strisciare (dare espressione simbolica in funzione di F att, M e θ 2 ) [2 punti]; (trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello; momento d inerzia dell anello I A = MR 2 ) SOLUZIONE Osserviamo anzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistema si muove solidalmente, e la velocità e l accelerazione traslatorie (nelle rispettive direzioni) sono le stesse per l anello e per il corpo. Fissiamo un verso convenzionale per l accelerazione del sistema (ad esempio quello di discesa lungo il piano per l anello, e dunque di salita lungo il piano per il corpo, come mostrato in figura 1). 1. Consideriamo le forze che agiscono sul corpo m. Anzitutto scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp1, = m g sin θ 1 F p1, = m g cos θ 1 (1) dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non

2 2 ha effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo. L equazione della dinamica per m, lungo il piano, è la seguente mg sin θ 1 + T = ma (moto traslatorio di m) (2) 2. Consideriamo ora le forze che agiscono su M. Scomponiamo la forza peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano: { Fp2, = M g sin θ 2 F p2, = M g cos θ 2 (3) dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha effetto. Oltre alla forza peso, agiscono anche la tensione T del filo (diretta in maniera opposta a quella su m), e sul disco anche la forza di attrito (dato che il disco rotola) che si oppone al moto. T F att T F p2, F p1, F p2, θ 1 θ 2 Figure 1: moto traslatorio del centro di massa dell anello; Il centro di massa si muove con un moto dettato dalla sommatoria di tutte le forze che agiscono sul corpo, come applicate al centro di massa stesso: Mg sin θ 2 T F att = Ma (4) moto rotatorio dell anello attorno al centro di massa; Si tratta della equazione del moto rotatorio M E = d L E (5) dove M E e L E sono il momento delle forze e il momento angolare rispetto al sistema di riferimento (peraltro non inerziale) del centro di massa dell anello. Qui osserviamo che per come sono dirette le forze, M E e L E sono diretti lungo l asse perpendicolare al foglio (verso entrante), attorno a cui avviene la rotazione.

3 3 Proiettando l equazione vettoriale lungo questa direzione abbiamo M E = dl E (6) L unica forza che applica un momento è quella di attrito (le altre hanno braccio nullo) M E = F att R (7) Il momento angolare lungo l asse ortogonale al piano dell anello (un asse principale) si scrive L E = I A ω dl E = I A α (8) dove I A è il momento d inerzia dell anello, e α è l accelerazione angolare; siccome il moto dell anello è di puro rotolamento, il punto di contatto è istantaneamente fermo, e dunque vale la relazione α = a R (condiz. moto di puro rotolamento) (9) In conclusione, dalle equazioni (6), (7), (8) e (9) ricaviamo che F att R = I A a R 3. Abbiamo dunque ottenuto le seguenti equazioni [(4), (2) e (10)] Mg sin θ 2 T F att = Ma mg sin θ 1 + T = ma a F att R = I A R che costituisce un sistema di tre equazioni per le tre incognite a, F att e T. Risolviamo il sistema di equazioni; portiamo in evidenza T nella seconda equazione e dividiamo la terza equazione per R, e Mg sin θ 2 T F att = Ma T = ma + mg sin θ 1 (12) F att = a I A Sostituendo la seconda e la terza equazione nella prima e otteniamo R 2 (10) (11) Mg sin θ 2 ma mg sin θ 1 a I A R 2 = Ma g(m sin θ 2 m sin θ 1 ) = (M + m + I A R 2 )a a = g M sin θ 2 m sin θ 1 m + M + I A R 2 (13)

4 4 Ricordando ora che il momento d inerzia di un anello vale I A = MR 2 (14) otteniamo che a = g M sin θ 2 m sin θ 1 m + 2M (15) La forza di attrito si può ora valutare dalla terza delle equazioni (12), ricordando anche la (14), ossia: F att = a I A R 2 = = a M = = gm M sin θ 2 m sin θ 1 m + 2M (16) 4. Sostituendo i valori numerici a = 9.81 m s 2 7 Kg sin π 6 5 Kg sin π 3 5 Kg Kg = 9.81 m s = = 0.43 m s 2 (17) Dal segno si deduce che il verso in cui avviene effettivamente il moto è opposto a quello inizialmente scelto per a, e dunque la ruota sale. = Per la forza di attrito F att = a M = = 0.43 m s 2 7 Kg = = 3.00 N (18) in cui il segno meno indica che anche la forza di attrito è diretta in maniera opposta al verso scelto in figura (dunque è diretta verso il basso), come è corretto che sia, in quanto si oppone in ogni caso al moto della ruota (che sale). 5. Siccome nel moto di puro rotolamento il punto di contatto rimane istantaneamente fermo, la forza di attrito che agisce su di esso è una forza di attrito statico. Essa soddisfa dunque la relazione F att µ s F p2, = µ s Mg cos θ 2 (19) dove µ s è il coefficiente di attrito statico. Pertanto il moto è di puro rotolamento se µ s soddisfa µ s F att Mg cos θ 2 (20) ossia il valore minimo vale µ min s = F att Mg cos θ 2 (21)

5 5 (NOTA BENE: E importante notare la differenza tra il presente caso di un anello che rotola senza strisciare ed il caso di un punto materiale che scriscia lungo un piano scabro. Per l anello che rotola senza strisciare la forza di attrito è di tipo statico ed è un incognita. Al contrario, se al posto dell anello avessimo avuto un punto materiale di massa M, la forza di attrito sarebbe stata di tipo dinamico, e sarebbe stata pari a µ d Mg cos θ, dove µ d denota il coefficiente di attrito dinamico.)

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