Esercizi di Fisica Generale Foglio 3. Forze

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1 Esercizi di Fisica Generale Foglio 3. Forze 1. Un corpo di assa viene sospeso da una olla con costante elastica k, coe in figura (i). La olla si allunga di 0.1. Se ora due corpi identici di assa /2 vengono collegati alla olla coe in figura (ii), di quanto si allunghera la olla? Nel caso (i) la forza di gravità F g = g è copensata dalla forza della olla F k = k x. Infatti, fissato un sistea di riferiento che punta verso l alto a = 0 = F k + F g = k x ˆk g ˆk. (1) Dunque x = g = 0.1. (2) k Nel caso (ii) l equazione di stato è ancora per ciascuna delle asse e dunque 2 a = 0 = F k + F g = k x ˆk 1 2 g ˆk, (3) x = g 2k = (4) 2. Si calcoli la costante elastica effettiva delle due configurazioni in disegno. (Molle collegate in serie o in parallelo)

2 Nel caso (a) le due olle si allungheranno di x 1 e x 2. La forza che agisce sulla olla inferiore è la forza di gravità della assa e viene copensata dalla olla con costante k 2. La pria olla invece si allunga per copensare la forza che agisce su di lei dovuta alla seconda olla che si è allungata grazie al peso sottostante. Dunque Una olla equivalente avrebbe costante elastica k tale per cui a ora g = k 2 x 2 = k 1 x 1. (5) k x = g, (6) x = x 1 + x 2 = g k 1 + g k 2, (7) da cui 1 k = (8) k 1 k 2 Nel secondo caso invece la gravità che agisce sul peso è copensata dalla soa delle forze delle olle (che si allungano della stessa quantità x) Dunque la costante elastica effettiva è g = k 1 x + k 2 x. (9) k = k 1 + k 2. (10) 3. Una persona cerca di scalare una corda che è bilanciata all estreità opposta da un peso di assa e vincolata da una puleggia. Inizialente sia la persona che il peso sono feri. La persona dunque cerca di scalare la corda tirandola a se con una forza costante, cercando di raggiungere il peso. Il peso si uove a seguito di questa azione? Se si, in quale direzione e di quanto? L uoo agisce con una certa forza sulla corda e allo stesso odo la corda deve agire sull uoo con una reazione che viene trasessa traite la tensione della corda stessa. Questo iplica che le forze che agiscono sull uoo sono la forza peso e la tensione della corda. Da questo la sua accelerazione sarà a = T g. (11) La tensione si trasette poi al peso all altro estreo della corda ipriendo a sua volta una accelerazione al peso pari a a = T g. (12) Ovviaente la tensione del filo, nel oento in cui l uoo agisce sulla corda stessa con una forza F è aggiore rispetto al caso in cui il sistea è statico (T = F + g). In conclusione, sia l uoo che il peso si coinciano a uovere con una accelerazione verso l alto data dalla forula precedente e dunque percorrono lo stesso tratto verso l alto nello stesso tepo. Page 2

3 4. Una particella di assa entra a età di una regione separata da due piastre che stanno a distanza h tra loro al tepo t = 0 con velocità iniziale v 0 parallela alle piastre stesse. Sulla particella agiscono sia la gravità che una forza che punta verso l alto con odulo F = bt, dove b è una costante positiva, sufficiente a far toccare la piastra superiore alla particella senza che pria abbia toccato quella inferiore. (a) Si disegni il oto della particella; (b) Si calcoli il valore inio di b; (c) Si calcoli quanto tepo ci vuole perchè la particella raggiunga il punto più basso. L equazione di Newton per la particella è a = F g + F b. (13) Se scelgo un sistea di riferiento con l asse x diretto lungo le piastre e l asse y in direzione ortogonale, con y = 0 all altezza della piastra inferiore, l equazione di Newton si scopone coe { ax = 0 (14) a y = bt g Integrando otteniao e di conseguenza v x = v 0 v y = 1 b 2 t2 gt x = v 0 t y = y b 6 t3 1 (16) 2 gt2 dove la distanza tra le piastre è 2y 0. Vogliao ora identificare per quale valore di b il punto di inio è y = 0. Questo significa La dunque è v y = 1 b 2 t2 gt = 0 y = y b 6 t3 1 2 gt2 = 0 b = 2 2 g 3 (15) (17) 3y 0. (18) Page 3

4 Il grafico del oto per = 1 Kg, g = 9.8 s 1 e y 0 = 1 : Moto circolare 1. Si consideri un sistea di due stelle di assa 1 e 2. Si assua che entrabe si uovano di oto circolare unifore attorno al centro di assa del sistea. Se le stelle si trovano sepre alla stessa distanza s tra loro, si calcoli il periodo orbitale. La forza centripeta per entrabe le stelle è data dalla forza di gravità. Dunque a c1 = 1 r 1 ω 2 = G 1 2 s 2, a c2 = 2 r 2 ω 2 = G 1 2 s 2, (19) dove r 1,2 denota la distanza dal centro di rotazione e s = r 1 + r 2. Dunque da cui e dunque s = r 1 + r 2 = ω = G s 2 ω 2 ( ), (20) G s 3 ( ) (21) T = 2π ω. (22) 2. Una acchina di assa si uove di oto circolare su una pista parabolica di raggio R e inclinata ad un angolo θ rispetto al suolo. A che velocità la acchina deve entrare nella parabolica per antenere la propria altezza costante? Scelgo un sistea di riferiento in cui l asse x e parallelo al suolo (la superficie della parabolica è ad un angolo θ rispetto all asse x) e l asse y è diretto verso l alto. Le forze che agiscono sulla acchina sono due, la forza di gravità e quella di reazione vincolare, per cui a = F g + N. (23) Page 4

5 Se la acchina vuole restare in pista, l accelerazione lungo l asse x deve essere pari all accelerazione centripeta necessaria per svolgere la curva di raggio R. Se poi vogliao che la acchina non si uova lungo y allora dobbiao anche richiedere che a y = 0. In conclusione = N sin θ R 0 = N cos θ g v2 (24) Risolvendo il sistea si trova v = Rg tan θ. (25) 3. Una palla di assa è legata traite una olla ad un palo rotante con velocità angolare costante ω. Se visto dall alto la palla si uove di oto antiorario su un cerchio di raggio R. Quando la olla non è allungata, la distanza della palla dall asse è R 0. Il piano su cui ruota la palla è posto ad una certa altezza (h) dal suolo. Se iprovvisaente la palla si stacca dalla olla e colpisce il suolo a distanza d dal punto di stacco, si calcoli il valore della costante elastica della olla k e dell altezza h in funzione degli altri paraetri. La forza centripeta che serve a tenere la palla legata al palo è data dalla olla La velocità con cui lascia la olla è dunque Nel tepo in cui cade da h, ovvero percorre Dunque k = ω2 R R R 0, ω 2 R = k(r R 0 ). (26) v = ωr. (27) t = 2h g (28) d = ωrt. (29) h = 1 ( ) d 2 2 g. (30) ωr Page 5