1. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (riscrivere la risposta corretta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto): [4 punti]

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1 Problea Un uoo di assa si trova sul bordo estreo di una piattafora di assa, a fora di disco di raggio, che ruota attorno al suo asse verticale con velocità angolare costante ω i. L uoo è inizialente fero rispetto alla piattafora, e ruota solidalente con essa rispetto al suolo. Ad un certo istante t 0 l uoo decide di spostarsi cainando radialente verso il centro della piattafora; dopo aver percorso una distanza d /3 l uoo si fera nuovaente rispetto al sistea della piattafora istante t t f. NB: I punti. e. sono preliinari in quanto riguardano nozioni estreaente basilari. Se le risposte ai punti. e. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati.. Quale delle seguenti afferazioni è corretta? riscrivere la risposta corretta per esteso e solo sul foglio protocollo, non qui sotto: [ punti] a l energia eccanica del sistea discouoo a t t f è uguale a quella in t 0; b l energia cinetica del sistea discouoo si conserva; c il oento angolare del sistea discouoo a t t f è uguale a quello in t 0; d nell intervallo t [0, t f ] si conservano sia l energia eccanica che il oento angolare del sistea discouoo. Calcolare la velocità angolare ω f della piattafora quando la persona ha raggiunto la nuova posizione in funzione di ω i, e, e coentare se aggiore o inore di quella iniziale ω i NB: si odellizzi la persona coe un punto ateriale di assa ; [ punti] 3. Calcolare l energia cinetica K i all istante t 0 e K f all istante t t f del sistea, in funzione di ω i,, e. Stabilire se K i < K f, K i > K f o se K i K f ; [5 punti]. Calcolare l espressione del lavoro copiuto W dalle forze di attrito in funzione di ω i,, e, e coentare il segno di W ; [3 punti] 5. Valutare ω f nel caso particolare ω i s, 60 Kg e 300 Kg; [ punto] 6. Valutare W nel caso specifico dei dati del punto 5., per una piattafora di raggio 3. [ punto] Il oento d inerzia di un disco rispetto all asse passante per il centro vale rispettivaente I D.

2 SOLUZIONE. Quando la piattafora ruota, l uoo riane solidale con essa copiendo una traiettoria circolare. Ciò è dovuto alla forza di attrito tra piattafora e uoo, che fa copiere all uoo la traiettoria circolare. Quando poi caina radialente, l uoo sposta il punto di applicazione di tale forza di attrito. Il oto del sistea disco uoo avviene nel piano, per cui il oento angolare è diretto lungo la direzione verticale z. Oltre alle forze di attrito disco-uoo interne al sistea, l altra forza che agisce sul sistea disco uoo è la reazione vincolare del perno che tiene fisso il centro della piattafora forza esterna al sistea. A causa di tale forza, il sistea non è isolato strettaente parlando e infatti la quantità di oto non è conservata. Tuttavia la reazione vincolare non esercita alcun oento perché tale forza è applicata al centro del disco stesso, e non ha alcun effetto sul oento angolare. Pertanto, per quanto riguarda il oento angolare, il sistea può considerarsi isolato. Il oento angolare disco uoo dunque si conserva, ossia riane costante nel tepo entre l uoo si sposta. Al contrario, l energia eccanica del sistea disco uoo che in questo caso coincide con l energia cinetica non si conserva. Infatti, per cainare radialente verso il centro del disco, l uoo sfrutta a sua volta l attrito con il disco, che è una forza non conservativa. Pertanto la risposta corretta è: il oento angolare del sistea discouoo a t t f è uguale a quello in t 0. Per deterinare la velocità angolare finale del sistea sfruttiao la conservazione del oento angolare del sistea. Notiao che il oento angolare del sistea è diretto lungo l asse verticale z, e che esso si esprie, istante per istante, coe L z Iω dove I è il oento d inerzia rispetto all asse z e ω la velocità angolare di rotazione. Pertanto abbiao: da cui L z t 0 L z t t f I i ω i I f ω f ω f I i I f ω i odellizzando l uoo coe un punto ateriale di assa, i oenti d inerzia iniziale e finale valgono rispettivaente I i I D 3 I f I D d d d Sostituendo 3 e in otteniao ω f d ω i e seplificando, ω f d ω i 5 Osserviao che il denoinatore è più piccolo del nueratore, e dunque ω f > ω i, coe ci sia aspettava. Infatti il oento d inerzia totale diinuisce quando l uoo si sposta verso il centro, e dunque la velocità angolare auenta affinché il oento angolare possa conservarsi. NB: Il oento angolare si conserva anche entre l uoo si sposta radialente. Se ad un istante t interedio tra t 0 e t f, ossia 0 < t < t f l uoo si trova in una posizione radiale r interedia d < r <, possiao scrivere che L z t cost t 6

3 3 Tuttavia, entre l uoo si sposta radialente il oento d inerzia I del sistea discouoo varia nel tepo. In generale, possiao scrivere la conservazione del oento angolare coe: L z t 0 L z 0 < t < t f L z t f t o equivalenteente coe I i ω i It ωt I f ω f 7 L z r L z d < r < L z r d I i ω i Ir ωr I f ω f 8 dove Lr, Ir e ωr indicano rispettivaente il oento angolare, il oento d inerzia e la velocità angolare del sistea discouoo quando l uoo si trova ad una distanza r dal centro del disco. 3. icordando ora che l energia cinetica di rotazione si scrive coe Abbiao e K I ω K i I i ωi ωi ωi 9 K f I f ω f [uso ora ] Ii Confrontando K i e K f osserviao che I f ω i I f d ω i d ω i [oltiplico nu. e den. per d d ] ω i ω i 0 K f K i d > ossia l energia cinetica che in questo caso coincide con l energia eccanica non si conserva: nel passare da t 0 a t t f K auenta K f > K i.. Per calcolare il lavoro delle forze d attrito possiao procedere in due odi

4 Prio odo Possiao calcolare il lavoro delle forze di attrito applicando il teorea dell energia cinetica, ossia W K f K i dove W è il lavoro delle forze che agiscono sul sistea discouoo; in questo caso le uniche forze che agiscono sul sistea sono proprio quelle utue di attrito. Pertanto il lavoro delle forze di attrito vale: W K f K i K i K f K i [uso ora 9 e ] ωi }{{} K i d 0 3 }{{} fattore di increento Da questa espressione si vede nuovaente che l energia cinetica non si conserva, ossia K f K i. La differenza in energia cinetica è dovuta alle forze di attrito, che copiono un lavoro positivo. Infatti il fatto che l uoo si uova di oto rotatorio solidale alla piattafora indica che su di esso agisce una forza centripeta, che non è nient altro che la forza di attrito tra uoo e piattafora. Quando l uoo si sposta verso il centro stesso verso in cui è diretta la forza tale forza copie lavoro positivo. Coe si vede da 3, il lavoro delle forze di attrito aonta ad una percentuale d dell energia cinetica K i posseduta inizialente dal disco. Secondo odo Possiao calcolare il lavoro direttaente dalla definizione. La forza in gioco è la forza di attrito tra l uoo e la piattafora, che antiene la persona in rotazione con la piattafora stessa. Si tratta dunque della forza centripeta che, quando l uoo si trova ad una distanza r dal centro della piattafora, è pari a F att r ω r r dove si deve tener conto del fatto che la velocità angolare ω dell uoo e della piattafora varia an ano che la persona si uove verso il centro. Quando l uoo caina verso il centro della piattafora, sposta il punto di applicazione di tale forza, che dunque copie lavoro. Per valutare ωr utilizziao di nuovo la conservazione del oento angolare [che vale ad ogni distanza r, coe osservato nell Eq.8] Ir ωr I i ω i 5 e possiao scrivere che dove ωr I i Ir ω i 6 I i 7 Ir r 8 Pertanto il lavoro è dato da W d F att r dr F att r dr ω r r dr 9

5 5 Sostituendo l Eq.6 si ottiene W I i I r ω i r dr Ii ωi I r r dr ωi ωi r r dr r r dr [cabio di variabile x r/] ωi x d x dx [ ωi ] x d ωi d ω i d ω i d ω i d che coincide con l espressione 3 trovata col prio odo. 5. Sostituendo nell espressione 5 i valori nuerici dati, otteniao 0 ω f d / 3 / 6. Sostituendo in 3 i dati riportati nel testo, otteniao W 60 Kg ω i s s 53 s 9.38 s s 9 / 3 / 5 Kg s Kg s J