ENERGIA MECCANICA. DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (0404a.pdf) è scaricabile dal sito calvini/scamb/ 04/04/2012

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1 ENERGIA MECCANICA DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (0404a.pdf) è scaricabile dal sito calvini/scamb/ 04/04/2012

2 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA L applicazione del teorema dell energia cinetica al caso in cui sulla massa m agisce il peso ha portato alla relazione 1 2 m v2 B 1 2 m v2 A = m g (z B z A ) (1) che può essere riscritta come 1 2 m v2 A + m g z A = 1 2 m v2 B + m g z B. (2) Questa, usando le definizioni di energia cinetica e potenziale K = 1 2 m v2 ; U(z) = m g z, (3) diventa K A + U A = K B + U B. (4) 2

3 Questa relazione stabilisce nel caso delle forze gravitazionali il principio della conservazione dell energia meccanica, principio la cui validità è ampiamente estendibile a moltissime situazioni. Per un punto materiale P si definisce energia meccanica (totale) la quantità E T OT = K + U, (5) somma dell energia cinetica e dell energia potenziale di P. Qualora su P agiscono esclusivamente forze conservative, si è in grado di affermare che l energia meccanica (totale) di P si conserva durante il suo moto, purché nell energia potenziale U della (5) vengano sommate tutte le energie potenziali associate a tutte le forze (conservative!) agenti su P. 3

4 In presenza di vincoli fermi e lisci (senza attrito), sul punto materiale agiscono anche forze normali (esempio: reazione normale N del piano inclinato) le quali non eseguono lavoro. La loro presenza può essere ignorata nel calcolo di E T OT. Pertanto, nel caso su P agiscano solo forze conservative, la conservazione dell energia meccanica totale di P quando P passa da A a B si scrive E T OT = E T OTB E T OTA = 0 E T OTA = E T OTB. (6) Se entrano in gioco anche forze non conservative, l energia meccanica di P non si conserverà, ma si trasformerà in altre forme di energia di tipo non meccanico. Una serie di passaggi riportati nelle slides successive porta alla relazione L (n.c.) A B = E T OT = E T OTB E T OTA, (7) dove L (n.c.) A B è il lavoro delle forze non conservative. 4

5 NON CONSERVAZIONE DI E TOT Nell enunciato del Teorema delle forze vive L (R) A B = K = K B K A, (8) il lavoro L (R) A B della risultante R delle forze agenti su P può essere scritto come somma di due contributi L (R) A B = L(c.) A B + L(n.c.) A B, (9) uno dovuto alle forze conservative e l altro dovuto alle forze non conservative. Si può scrivere quindi L (n.c.) A B = K B K A L (c.) A B. (10) 5

6 Applicando la definizione di energia potenziale alla parte conservativa R c. della risultante delle forze su P si ottiene L (c.) A B = B A R c. dr = U A U B = U, (11) dove con U s intende la somma delle energie potenziali relative a tutte le forze conservative agenti su P (l energia potenziale globale dovuta a tante forze conservative è la somma di tutte le singole energie potenziali dovute ad ogni singola forza conservativa). Usando la (10) e la (11) si arriva a L (n.c.) A B = K B K A + U B U A = E T OTB E T OTA, (12) che coincide con la (7). 6

7 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA NEL SISTEMA MASSA + MOLLA Negli appunti sulle molle si è visto che il sistema massa+molla va incontro a moto oscillatorio dove l elongazione della molla ( x)(t) = x(t) x segue la legge oraria ( x)(t) = α cos(ω t) + β sin(ω t). (13) Al tempo t = 0 si ha ( x)(0) = α e v(0) = d( x)(t) dt t=0 = β ω. (14) Considerata la definizione di energia potenziale elastica U = 1 2 k ( x)2, (15) 7

8 l energia meccanica del sistema massa+molla diventa E T OT = 1 2 m v2 (t) k ( x)2 (t). (16) Questa quantità si conserva durante le oscillazioni ed è uguale al valore che essa assume al tempo t = 0. Considerate le (14), la quantità E T OT, costante durante il moto, può essere scritta anche come E T OT = 1 2 m v2 (0)+ 1 2 k ( x)2 (0) = 1 2 m β2 ω k α2. (17) Ricordando che vale ω = km, la (17) diventa E T OT = 1 2 k (α2 + β 2 ). Questa espressione per la costante del moto energia meccanica totale del sistema massa+molla dimostra che l ampiezza delle oscillazioni del moto armonico è data [vedi (15)] da α 2 + β 2. 8

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10 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA: REGIONI PERMESSE AL MOTO Nel caso in cui sul punto materiale P agiscano esclusivamente forze conservative, si può scrivere per P l energia potenziale (complessiva) U(r) e vale la conservazione dell energia meccanica. Pertanto la quantità E T OT data da E T OT = 1 2 m v2 + U(r) (18) è una costante del moto. Considerato che l energia cinetica K = 2 1 m v2 non può mai diventare negativa, la zona in cui si svolge il moto di P deve obbedire alla relazione E T OT U(r) 0 E T OT U(r). (19) 10

11 Nel caso 1D [U = U(x) e moto lungo l asse x] la (19) diventa E T OT U(x), (20) vincolo che indica in quali regioni dell asse x il moto di P può avvenire. Nella slide successiva, per i vari valori di E T OT il moto di P può avvenire dove il grafico di U(x) sta sotto al valore (costante) di E T OT. Ad esempio, per E T OT = E 1 il moto di P è confinato nella buca di potenziale tra x C e x D. Per un valore similare E 2 (che potrebbe anche essere uguale a E 1 ), P è confinato ad oscillare nella buca tra x A e x B, senza avere la possibilità di saltare nell altra buca. Nei limiti del grafico il moto di P sembra illimitato a destra per E T OT = E 4. 11

12 Nei punti A, B, C, D, F, G e H, durante il moto di P la velocità di P si annulla per poi cambiare di segno. Nelle buche di potenziale (energie E 1, E 2 ed E 3 ) si hanno moti oscillatori periodici, non necessariamente di tipo armonico. 12

13 POSIZIONI DI EQUILIBRIO Nota l energia potenziale U = U(x), si può ricavare la risultante delle forze agenti su P come F x (x) = d U(x) dx caso 1D. (21) Nella slide successiva viene riportato il grafico di d U(x). Le posizioni di equilibrio per dx P corrispondono alle posizioni sull asse x dove F x (x) si annulla. I punti x P e x R sono posizioni di equilibrio stabile in quanto la forza F x agisce da forza di richiamo (vedi grafico). Al punto x Q corrisponde una posizione di equilibrio instabile, in quanto F x tende ad allontanare il punto materiale da x Q (spinge il punto verso destra se è già a destra e lo spinge verso sinistra se è già a sinistra). Alla regione S corrispondono posizioni di equilibrio indifferente, con assenza tanto di forze di richiamo quanto di forze di allontanamento. 13

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15 POTENZA Se la forza F esegue il lavoro L in un tempo t, si definisce la potenza P (media) erogata da F come P = L t. (22) Restringendo opportunamente la base di tempo su cui si fa il calcolo, si può arrivare ad una definizione di potenza istantanea. Se il lavoro è fatto dalla forza F applicata su un punto materiale animato dalla velocità v, allora si può scrivere dl = F dr = F v dt (vedere appunti sul lavoro) e quindi la potenza istantanea P erogata da F diventa P = F dr dt = F v dt dt = F v. (23) 15

16 Nel caso in cui P indichi la potenza di R, la risultante applicata al punto materiale (P = R v), si conclude che il moto è accelerato se P > 0 (a v > 0, l energia cinetica K sta crescendo) e decelerato se P < 0 (a v < 0, l energia cinetica K sta diminuendo). La potenza è misurata in W att = Joule/secondo ([P ] = W ). Dalla definizione (22) di potenza discende che una potenza costante P applicata per un tempo t corrisponde all erogazione di un energia P t. Ne deriva la familiare (non SI) unità di misura W h con i relativi multipli (kw h). Si ha 1 kw h = 3600 s 10 3 W = 3.6 MJ. Esercizio - Determinare la forza propulsiva applicata dalle eliche ad un motoscafo che viaggia a 25 km/h sapendo che il motore eroga una potenza P = 70 kw con un rendimento ai fini della propulsione del 75%. 16