Considerare il moto di un punto materiale di massa m = 1 soggetto ad un potenziale V (x):

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1 sercizio Considerare il moto di un punto materiale di massa m = soggetto ad un potenziale V (x): ẍ = V (x), dove V (x) = x x.. Scrivere esplicitamente l equazione del moto e verificare esplicitamente la conservazione dell energia meccanica = ẋ / + V (x).. Studiare qualitativamente il moto, procedendo nel modo seguente: (a) Si disegni il grafico dell energia potenziale. (b) Si identifichino due punti di equilibrio, x < x, e se ne discuta la stabilità. Si identifichino in particolare i valori critici dell energia, i.e., i valori dell energia, corrispondenti ai punti di equilibrio x, x. (c) Si disegnino le curve di livello Σ al variare dell energia : si inizino a disegnare Σ e Σ, e poi le curve corrispondenti a valori rappresentativi di (una per >, una per < <, una per < ). (d) Si identifichino i dati iniziali corrispondenti a (qualora esistano) moti periodici, moti aperti, moti chiusi aperiodici.. Calcolare il periodo dei moti periodici in forma di integrale definito. 4. Si consideri il moto periodico ad energia nulla, =. Trovare due costanti, T e T, tali che il periodo T di tale moto sia stimato dall alto e dal basso: T < T < T. () a meno di un errore del %. [Suggerimento: Si noti che la funzione integranda nell integrale definito che definisce T è proporzionale a / x( x)(x + ) e che sull intervallo di definizione del moto periodico tale quantità si può stimare dal basso e dall alto rimpiazzando (x + ) con (x + + ) e (x + ), rispettivamente, dove x =, x + = sono i punti di inversione del moto. In tal modo ci si riduce al calcolo di / x( x), che si risolve col cambio di variabili x = sin t.] 5. Si fissi un dato iniziale corrispondente ad un moto aperto: il tempo in cui il punto raggiunge l infinito è finito o no? Il moto esiste globalmente? SOLUZION. V (x) = x, quindi l equazione del moto è ẍ = x + () Per verificare che l energia meccanica è conservata durante il moto, dobbiamo verificare che la sua derivata nel tempo è sempre nulla: grazie all equazione del moto (). Ovvero tali che M m M+m <.. d dt = d dt ( ẋ + V (x)) = ẋẍ + ẋv (x) = ẋ(ẍ + x ) = ()

2 Figure : Grafico di V (x) = x x. (a) Per disegnare il grafico dell energia potenziale dobbiamo studiare V (x). V (x) = nei punti x =, x ± = ±, e lim x ± = ±. La sua derivata prima è > se x > V (x) = x = in x = e x = < se x (, ) (4) La derivata seconda V (x) = 6x { > se x > < se x < (5) Quindi il grafico del potenziale è quello di figura (), con un massimo relativo in x = /, e un minimo relativo in x = /. (b) Nei punti di massimo e minimo locale, x =, x =, il potenziale vale rispettivamente V (x ) = + V (x ) = (6) Per quanto discusso sopra, x è un punto di massimo locale non degenere (i.e., a derivata seconda negativa), quindi un punto di equilibrio instabile grazie al criterio del linearizzato, mentre x è un punto di equilibrio stabile, grazie al teorema di Dirichlet. (c) Lo studio delle curve di livello fornisce grafici descritti in figura (). (d) Dallo studio del potenziale e delle curve di livello possiamo concludere che:

3 Figure : Curve di livello per valori di = ẋ + V (x) per valori = (separatrice,), = (moto aperto), = /64 (moto chiuso e periodico se x (x, x ), aperto altrimenti). Se i dati iniziali sono di tipo (ẋ, x ) = (, x eq), dove con x eq si intende uno qualsiasi dei punti di equilibrio, il moto è costante. Per valori dell energia < < chiusi. e dati iniziali x() > x, i moti sono periodici Per valori dell energia < e dati iniziali x() < x i moti sono aperti e aperiodici, e asintoticamente lim t ± x(t) =. Per valori dell energia > i moti sono tutti aperti e aperiodici per qualsiasi scelta dei dati iniziali, e asintoticamente lim t ± x(t) =. In corrispondenza del valore critico dell energia = i moti non banali sono tutti a- periodici, e possono essere limitati se x() > x (in tal caso la traiettoria coincide con l occhiello della separatrice in figura e il moto è asintotico sia nel futuro che nel passato a x, i.e., lim t ± x(t) = x ) o illimitati se x() < x() (in tal caso la traiettoria coincide con uno dei due rami della separatrice che si dipartono verso sinistra dal punto di equilibrio instabile; il ramo superiore/inferiore corrisponde a un moto asintotico nel futuro/passato a x ).. Scegliamo < <. L equazione = V (x) ha tre soluzioni, e chiamiamo x( ) < x(+) le due soluzioni x (±) (x, x). Allora t(x (+) ) t(x( ) (+) t(x ) = ) t(x ( ) ) dt = x (+) x ( ) (+) x ẋ = (7) x ( ) ( V (x))

4 4 Come visto a lezione, il periodo T del moto periodico è la somma del tempo di andata e di quello di ritorno, ovvero T = (t(x (+) ) t(x( ) )), quindi T = (+) x x ( ) ( x + x) (8) 4. Ricordando che gli zeri del potenziale sono, ±, troviamo che i punti di inversione del moto periodico a energia nulla sono x ( ) = e x (+) =. Il suo periodo, scrivendo è della forma (cfr. con la (8) e ricorda che = ) V (x) = x(x )( + x) (9) T = () x( x)( + x) Nel denominatore di tale espressione stimiamo dall alto e dal basso il fattore ( + x) come: ( + x), che implica T. () x( x) x( x) L integrale e : si calcola per sostituzione x = sin t, con t che varia da a π/ per x varia da x( x) Sostituendo nella () troviamo quindi π/ sin t cos tdt = x( x) sin t( sin t) = π. che è della precisione desiderata, poiché T π T π T T T = = =.7 <. T + T + 5. Fissiamo > e dato iniziale (x(), ẋ()) = (x, ), dove x è l unica radice di V (x) =. La soluzione per quadrature, per t > è x x(t) ( x + x) = t Il tempo t necessario perché x(t) raggiunga è t = x ( + x x ) () Per x la funzione integrando si comporta asintoticamente come x / (nel senso che il rapporto tra la funzione integranda e x / ammette limite finito per x ), che è integrabile per x. Quindi t < + e il moto non è definito globalmente, ma soltanto per t ( t, t ).

5 5 sercizio Considerare il moto di un punto materiale di massa m = sottoposto a un potenziale V (θ) θ = V (θ) () dove V (θ) = ω ( cos θ), ω R (modello del pendolo matematico). A complemento della soluzione per quadrature discussa a lezione, si studi in dettaglio il moto sulla separatrice:. Si fissi l energia al valore critico = ω, e si fissi un dato iniziale arbitrario sul ramo superiore della curva di livello critica (e.g., (θ, θ ) = (, ω)).. Si scriva la soluzione per quadrature (a priori in forma implicita) e si risolva esplicitamente l integrale definito coinvolto.. Si inverta la funzione così calcolata e si scriva la soluzione esplicita per il moto sulla separatrice. Si noti che il moto è definito globalmente, e che nel limite t ± il moto tende al punto di equilibrio instabile. SOLUZION Poichè siamo sul ramo superiore della curva di livello critica, θ = (ω ω ( cos θ)). (4) Fissiamo come suggerito θ() = e θ() = ω. Allora t = θ(t) dθ (ω ( + cos θ)) = θ(t) ω dθ +cos θ = θ(t) ω dθ cos θ (5) dove abbiamo usato nell ultimo passaggio l identità trigonometrica cos (θ/) = +cos θ. Tramite il cambio di variabile θ/ = x, dθ = riscriviamo l ultimo integrale come Osservando ora che θ(t)/ ω cos x = θ(t)/ cos x ω cos x = θ(t)/ ω d sin x sin x sin x = ( + sin x)( sin x) = [ ] + sin x + sin x (6) (7) otteniamo da cui t = ω θ(t)/ invertendo la quale otteniamo la soluzione: d sin x sin x = ( ) + sin y ω log sin y θ(t)/ = ( ) + sin(θ(t)/) ω log sin(θ(t)/) + sin(θ(t)/) sin(θ(t)/) = eωt = sin θ(t) = eωt = tanh ωt (9) e ωt + che è definita globalmente, ed è tale che lim ± θ(t) = ±π. (8) θ(t) = arcsin(tanh ωt) ()

6 6 sercizio Considerare il moto di un punto materiale di massa m = soggetto ad un potenziale V (x): dove V (x) = x4 4 + x. ẍ = V (x), Scrivere esplicitamente l equazione del moto. Si esibisca una quantità conservata del moto. Studiare qualitativamente il moto:. Disegnare il grafico di V (x). Disegnare le curve di livello al variare del valore della quantità conservata.. Identificare i dati iniziali corrispondenti a (qualora esistano) moti periodici, moti aperti, moti chiusi aperiodici. 4. Calcolare il periodo dei moti periodici in forma di integrale definito. Si risolva esplicitamente il moto sulla separatrice Si fissi un dato iniziale corrispondente ad un moto aperto: il tempo in cui il punto raggiunge l infinito è finito o no? Il moto esiste globalmente? SOLUZION. L equazione del moto è ẍ = x x () Si verifica immediatamente che l energia meccanica = ẋ + V (x) è una costante del moto, infatti usando (). d dt = ẍẋ x ẋ + xẋ = ẋ(ẍ (x x)) = (). Innanzitutto dobbiamo trovare i punti di equilibrio, ovvero i punti in cui si annulla la derivata del potenziale: V (x) = x + x = x =, ±. () Quindi: sistono tre punti di equilibrio: (x(), ẋ()) = (, ), (±, ). Inoltre { V (x) = x( x > se < x < oppure x < ) < se < x < oppure x > e V (x) = x +, cosicché V () = >, V (±) = <, quindi (, ) è un punto di equilibrio stabile (teorema di Lyapunov), (±, ) sono due punti di equilibrio instabili (criterio del linearizzato). I grafici delle curve di livello hanno la forma descritta in figura (4). ssendo V () =, V (±) =, otteniamo che: 4 Se il sistema parte con velocita nulla su uno dei punti di equilibrio, allora il moto è costante. Se > i moti sono aperti per tutti i dati iniziali. 4 Se < < e x <, il moto è periodico intorno al minimo del potenziale. 4 (4)

7 Figure : Grafico di V (x) = x 4 /4 + x / Figure 4: Curve di livello per diversi valori di = ẋ / + V (x)

8 8 Se < < e x >, il moto è aperto. 4 Se = /4 e x() (, ) il moto è limitato e a periodico, e asintotico nel passato e nel futuro a ±, a seconda del valore iniziale della velocità (se ẋ() >, allora lim t ± = ±, e viceversa). Se = /4 e x() < il moto è aperto, e asintotico nel passato/futuro a, a seconda che ẋ() sia negativa/positiva. Se = /4 e x() > il moto è aperto, e asintotico nel passato/futuro a, a seconda che ẋ() sia positiva/negativa. Consideriamo < <, e chiamiamo x(±) 4 x (±) le due soluzioni dell equazione = V (x) tali che (, ). Allora, il tempo che la paricella impiega per arrivare da x( ) t(x (+) ) t(x( ) (+) t(x ) = ) t(x ( ) ) ds = x (+) x ( ) a x(+) (+) x ẋ =. (5) x ( ) ( V (x)) Per calcolare il periodo del moto dobbiamo sommare il tempo di andata e quello di ritorno, quindi x+ T = [t(x (+) ) t(x( ) )] = x = x+ ( V (x)) x è V (x) (6). Fissiamo =, e un qualsiasi dato iniziale (x, ẋ) sul ramo superiore della curva critica, ad es 4 (x(), ẋ()) = (, / ). Allora t = x(t) (7) ( + x4 x ) 4 4 Osservando che x4 4 x + 4 = 4 (x ) e che x = x poiché < x < sul ramo di curva di livello di interesse, possiamo riscrivere l integrale come t = x(t) x = log ( + x x ) x(t) = log ( ) + x(t) x(t) (8) che può essere invertita in x(t) = e t e t + = tanh ( t ). (9) 4. Consideriamo un moto a energia nulla aperto, ad es quello con dato iniziale (x(), ẋ()) = (, ). x() >. Il tempo per raggiungere l infinito è t = () ( x4 x ) 4 Per x la funzione integrando si comporta asintoticamente come /x, che è integrabile all infinito. Quindi t < + e il moto non esiste globalmente ma solo per t ( t, t ).

9 9 sercizio 4 Considerare il moto di un punto materiale di massa m = soggetto ad un potenziale V (x): ẍ = V (x), dove V (x) = ex. Scrivere esplicitamente l equazione del moto. Si esibisca una quantità conservata del moto. Studiare qualitativamente il moto:. Disegnare il grafico di V (x). Disegnare le curve di livello al variare del valore della quantità conservata.. Identificare i dati iniziali corrispondenti a (qualora esistano) moti periodici, moti aperti, moti chiusi aperiodici. 4. Calcolare il periodo dei moti periodici in forma di integrale definito. Si fissi un dato iniziale corrispondente ad un moto aperto: il tempo in cui il punto raggiunge l infinito è finito o no? Il moto esiste globalmente? SOLUZION. L equazione del moto è ẍ = xe x. Si verifica immediatamente che l energia meccanica è conservata, infatti d dt = ẋ + V (x) = ẋ ex = ẋẍ xẋex = ẋ(ẍ xe x ) = (). Notiamo prima di tutto che V (x) / per ogni x. Inoltre > se x < V (x) = xe x = se x = < se x > e () V (x) = e x x e x < per ogni x () Quindi l unico punto fisso del sistema è (x, ẋ) = (, ), ed è un punto di equilibrio instabile. Per tutti gli altri dati iniziali, i moti sono moti aperti, non ci sono moti periodici. I grafici del potenziale e delle curve di livello sono nelle figure (5) e (6).. Scegliamo ad esempio un dato iniziale con > / e x() =. Allora il tempo per arrivare a infinito è t = < (4) + e x quindi il sistema raggiunge l infinito in un tempo finito: il moto non esiste globalmente, ma solo nell intervallo t ( t, t )

10 4 5 Figure 5: Grafico di V (x) = ex Figure 6: Grafico delle curve li livello per diversi valori di = ẋ / + V (x).