Metodi di Iterazione Funzionale

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1 Appunti di Matematica Computazionale Lezione Metodi di Iterazione Funzionale Il problema di calcolare il valore per cui F() = si può sempre trasformare in quello di trovare il punto fisso di una funzione G(), cioè trovare tale che Per far ciò una possibilità è scegliere = G(). G( ) = Φ( ) F( ) dove la funzione Φ() è tale che < Φ( ) < +. Con questa scelta i due problemi sono certamente equivalenti, cioè = G() F() = Infatti se è tale che F() = = G() Viceversa se è tale che = G() Φ( ) F( ) = F() = perché Φ () non è mai zero Possiamo quindi utilizzare per calcolare gli zeri di una funzione F() un metodo noto per calcolare il punto fisso di una funzione G(). Metodo dell iterazione funzionale o metodo delle approssimazioni successive Questo metodo consiste nel generare una successione di iterati { } dalla relazione = G( ), > () + in modo tale che se è un punto fisso di G(), cioè se =G() la successione di iterati () converge a, cioè se lim =.

2 I seguenti teoremi fissano delle condizioni sufficienti affinché sia garantita sia la convergenza globale (Teorema ) sia quella locale (Teorema). Teorema: CONVERGENZA GLOBALE Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato e sia G() una funzione definita in [a,b] che soddisfa le seguenti condizioni:. G() è continua in [a,b]. G() [a,b] per ogni [a,b] 3. G() è derivabile in [a,b] e G '( ) λ < per ogni [a,b]. Allora per ogni scelta del punto [a,b] la successione degli iterati = G( ), al punto fisso di G(). Inoltre abbiamo che converge all unica soluzione dell equazione = G(), cioè λ λ. Spesso è assai difficile verificare la condizione ) del Teorema di Convergenza Globale. In tale situazione è utile il seguente teorema che assicura la convergenza degli iterati ad un punto fisso di G(), purchè l iterato iniziale sia scelto sufficientemente vicino ad. Teorema: CONVERGENZA LOCALE Se = G() possiede una radice e se nell intervallo [ ρ, + ρ] ρ>, ossia per < ρ, G() è continua e derivabile e soddisfa la condizione G '( ) λ λ < Allora per ogni appartenente all intorno di e raggio ρ, tutti gli iterati appartengono a questo intorno e convergono a, questa è inoltre l unica radice di G()=.

3 Esempi del comportamento del metodo delle iterazioni successive in funzione del modulo della G (). 3

4 Velocità di convergenza del metodo delle approssimazioni successive. Per verificare la velocità di convergenza del metodo delle approssimazioni successive, si deve supporre che la G() oltre a soddisfare le ipotesi che assicurano la convergenza sia anche derivabile più volte; possiamo allora considerarne lo sviluppo in serie di Taylor nell intorno U() di raggio ρ; si ha allora i U () ( i ) = G( i ) = G( ) + ( i ) G'( ) + G''( ) +... i + tralasciando i termini di ordine superiore al secondo abbiamo i+ Se ora avviene che ( i ) ( i ) G'( ) + G''( ) G '( ) = e G' '( ) [ a, b] otteniamo che G''( ) i+ i cioè si ha un metodo del secondo ordine. Nel caso in cui G '( ) = esiste un teorema che ci assicura la convergenza locale del metodo iterativo delle approssimazioni successive: Teorema: Sia I un intervallo (limitato o non) e sia G() una funzione continua insieme alla sua derivata prima in I. Sia una radice in I dell equazione -G()= (cioè sia punto fisso di G() ) e sia G '( ) =. Allora esiste sempre un numero ρ per cui il metodo 4

5 delle approssimazioni successive genera una successione di iterati convergente a per ogni che soddisfa la condizione ρ. Sulla base dei teoremi precedenti, vogliamo ora costruire un metodo del secondo ordine scegliendo opportunamente la funzione Φ () nella relazione G( ) = Φ( ) F( ), < Φ( ) < +, [ a, b], in modo tale che G '( ) =. Se riusciamo a fare questo, non solo avremo un metodo che sicuramente converge localmente, ma che è anche un metodo di ordine p=. G' ( ) = Φ' ( ) F( ) Φ( ) F' ( ) = Φ( ) F' ( ) Se F '( ) la condizione G '( ) = implica Φ ( ) =. F' ( ) In questo caso il metodo delle approssimazioni successive = G( fornisce il seguente schema iterativo ) = Φ( ) F( + = F( + F'( ) () ) ) Metodo di Newton Questo dimostra la convergenza del secondo ordine del metodo di Newton, e allo stesso tempo il fatto che esso è un metodo a convergenza locale. 5

6 Il metodo delle secanti rappresenta una approssimazione del metodo di Newton, in quanto sostituisce il valore della derivata F ( ) con il rapporto incrementale F( ) F( Anche esso quindi risulta essere un metodo a convergenza locale. Il suo ordine di convergenza è <p<, cioè p=.68. ) Il metodo di Newton e il metodo delle secanti sono metodi a convergenza locale. La difficoltà pratica sta nel trovare l intervallo di convergenza, cioè nel trovare un valore iniziale tale che la successione di iterati converga alla soluzione cercata. Un metodo pratico è quello di far precedere questi metodi da un metodo a convergenza globale come ad esempio il metodo di bisezione. Dopo alcuni passi del metodo globale si innesca quello di ordine superiore. Se esso non converge, si devono fare altri passi del metodo globale. Osservazione: Se è uno zero di molteplicità m allora il metodo di Newton non ha più convergenza quadratica. Si dimostra che diventa a convergenza lineare del tipo con c + c m m =. Per esempio per radici doppie, m= e quindi c =. 6

7 Esempio: Facendo uso del metodo di Newton vogliamo calcolare la soluzione dell equazione a = senza estrarre la radice quadrata. f ( ) = a f '( ) =. Lo schema iterativo di Newton diventa quindi +. a a = = + Nell innescare il metodo iterativo si può assumere come valore iniziale =. Infatti essendo interessati alla radice positiva vale G '( ) < in tutto il semiasse positivo. Se il valore iniziale è molto distante dal valore cercato più iterazioni. a, il metodo impiegherà solo 7

8 Ben posizione del problema Lavorando con il calcolatore, si lavora con numeri finiti e quindi la soluzione che si determina non è quella esatta, ma una sua approssimazione. Occorre valutare quanto differisce questa soluzione da quella vera. Sia tale che F()=. Lavorando con i numeri finiti quello che si ottiene è un valore sicuramente un po diverso da che chiamiamo. Esso può essere visto come lo zero esatto di una funzione perturbata, cioè tale che F ( ) =, dove F è una perturbazione di F. Per studiare di quanto funzione F(). differisce da dobbiamo fare qualche ipotesi sulla Supponiamo che la funzione F() sia continua, insieme alle sue derivate prima e seconda in [a,b]. Associamo ad essa una funzione H() che goda delle stesse proprietà e un numero sufficientemente piccolo. Il valore calcolato numericamente può essere visto come la radice dell equazione F ( ) = F( ) + H ( ) = () dove H () rappresenta la perturbazione della funzione originale. Per valutare, o meglio per calcolare un limite superiore al valore della quantità ( ), si considera lo sviluppo in serie di Taylor di F () nel punto troncato al termine quadratico, cioè F ( ) = F ( ) + ( ) F '( ) + ( ) F ''( ζ ) (3) dove ζ [, ] è un opportuno punto. Dalla () si ottiene, 8

9 F '( ) = F'( ) + H '( ) E ricordando che F ( ) = e F( ) = la (3) diventa = H ( ) + ( + ( ) ) F '( ) + ( F ''( ζ ) + ( ) H '( ) ) H ''( ζ ) Ricordando che le derivate prime e seconde di F e H sono limitate e trascurando i termini del secondo ordine si ottiene: H ( ) + ( ) F '( ) in cui si è trascurata la quantità ( ) H '( ) poiché molto piccola. Perciò si ha, supponendo F (), H ( ). F'( ) (4) Si vede quindi che l errore numerico, cioè la differenza tra il valore vero della radice e quello calcolato, dipende, come ci si può aspettare, dalla perturbazione sulla funzione, ma anche, in maniera inversa, dal valore della derivata della funzione F nel punto. Ciò significa che se F () è molto piccolo, l errore numerico può essere grande. La quantità F'( ) rappresenta lo strumento numerico per valutare il buono o cattivo condizionamento (la buona o cattiva posizione) del problema di calcolare la radice della funzione F(). Come mostrano le figure, se F () è grande, il problema è ben posto o ben condizionato, se F () è molto piccolo, vicino allo zero, il problema è mal posto o mal condizionato. 9

10 Ben Condizionato Mal Condizionato Lo studio precedente ci fa anche capire che il calcolo di radici multiple di molteplicità n > (quelle in cui oltre la funzione si annullano anche le sue derivate fino all ordine n-) è un problema numericamente molto difficile. Esempio L equazione: F ( ) = ( ) = = possiede in = una radice di molteplicità 6, quindi F ()=, come si vede bene in figura, e il problema della determinazione della radice = è mal posto

11 Esempi di applicazioni reali. Piano di investimento Si vuole calcolare il tasso medio di rendita r di un fondo di investimento in più anni. Supponiamo che si investano nel fondo v euro all inizio di ogni anno a che alla fine dell ennesimo anno si abbia accumulato un montante pari a M euro. La seguente relazione lega M a r: M + r = v r n [( + r) ] Si deduce che il tasso di rendimento percentuale r è lo zero dell equazione non lineare: f ( r) = con f + r ( r) = M v r n [( + r) ] Considerando che v sia pari a euro e che, dopo 5 anni, il montante M sia 6 euro, si ricava che f nell intervallo di ricerca [.,.] ha la radice.6. In particolare, risolvendo con il metodo di bisezione e utilizzando una precisione pari a -, si ottiene il valore.64 dopo 36 iterazioni. Si può quindi concludere che il tasso di interesse è del 6.4%. Il metodo di Newton, partendo da =.3 e con criterio di arresto pari a - + -, converge in 6 iterazioni.

12 . Anomalia media di un pianeta Consideriamo l equazione di Keplero, che lega l anomalia media di un pianeta (m), l anomalia eccentrica () e l eccentricità (E) della sua orbita. m = E sin Data l anomalia media m=.8 e l eccentricità E=. di un pianeta, vogliamo trovare l anomalia eccentrica. Si consideri quindi f ( ) = E sin m in [, ]. Y X Si osserva che f()=-.8 e f()=, quindi l intervallo contiene sicuramente tale che f()=. (=.96)

13 3. Decadimento di una sostanza chimica Supponiamo che una reazione chimica origini ad un certo istante t una certa concentrazione di un particolare ione data dalla legge c( t) = 7e 5t + 3e All istante iniziale la concentrazione sarà c()=, ci chiediamo a quale istante t la concentrazione si sarà dimezzata, ossia c(t)=5. Tale problema sarà equivalente a quello di determinare lo zero della funzione f ( t) = 7e Per t = [,], si ha il seguente grafico 5t + 3e t t 5 =