PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07
|
|
- Niccoletta Gigli
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 006/07 Esercizio 1 Prova scritta del 16/1/006 In un ufficio postale lavorano due impiegati che svolgono lo stesso compito in maniera indipendente, sbrigando ciascuna pratica in un tempo Q che puo essere considerata una v.a. di tipo esponenziale, avente valor medio λ (la stessa per entrambi). Ad un certo momento, in cui entrambi gli impiegati sono inoperosi, entrano nell ufficio tre clienti, due dei quali sono subito serviti, mentre il terzo si dispone ad attendere il suo turno. Qual é il tempo medio di attesa del terzo cliente, prima di essere servito? [Sugg.: Denotate con Q 1 e Q le v.a. esponenziali relative ai due impiegati, puo essere utile determinare la distribuzione di Z = min{q 1, Q }, e a tale scopo calcolare la quantita 1 F Z (z), z > 0.] Esercizio In una sala da gioco, si lancia indefinitamente una monetina, non necessariamente onesta; si denoti con X 1 il numero di lanci occorrenti per la prima uscita di Testa, e con X il numero di lanci occorrenti per la seconda uscita di Testa. Dati due interi positivi, j e k, con k > j, si calcoli P ([X 1 = j] [X = k]). Supposto poi P (T ) = 1 e j = A, (A = numero lettere del nome), qual é il valore massimo di k per cui tale probabilita condizionata sia maggiore di P ([X 1 = j])? Esercizio 3 Sia X la variabile aleatoria che descrive la lunghezza in millimetri di una barretta di metallo. Si supponga che X N(µ, σ = 5). Posto di aver estratto da X un campione casuale di ampiezza n = 40 e di aver trovato che x = 5 si calcoli: (a) l errore quadratico medio della Media campionaria; (b) l intervallo di confidenza per la media al livello di confidenza (1 α = 0, 95); (c) supponendo che il valore di x rimanga invariato determinare il valore minimo di n affinché l intervallo di confidenza (1 α = 0, 95) abbia ampiezza complessiva minore di 1. Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, 1), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(1, 645) = 0, 95 Φ(1, 96) = 0, 975 Φ(, 58) = 0, 995 Φ(3, 7) = 0, 9995 ) 1
2 Soluzioni compito 16/1/006 Esercizio 1 Denotati con Q 1 e Q i tempi di lavoro dei due impiegati per ciascuna pratica, occorre determinare il valor medio della v.a. Z = min{q 1, Q }: infatti il terzo cliente sara servito non appena il piu veloce dei due avra finito col cliente precedente. Naturalmente Z é una v.a. positiva, e, per ogni reale z 0, si ha P ([Z > z]) = P ([Q 1 > z] [Q > z]) = P ([Q 1 > z])p ([Q > z]), per l indipendenza. Considerato che le Q i hanno distribuzione esponenziale, a media λ, si ha P ([Q 1 > z]) = e z/λ, e quindi P ([Z > z]) = e z/λ, da cui si deduce subito che Z ha distribuzione esponenziale, con media λ: questo é dunque il tempo medio di attesa del terzo cliente. Esercizio Chiaramente X 1 ha distribuzione geometrica NB(1, p) e X NB(, p), ove p = P (T ). Pertanto si ha P ([X 1 = j]) = p(1 p j 1, P ([X = k]) = (k 1)p (1 p) k. Risulta inoltre P ([X = k] [X 1 = j]) = P ([X 1 = k j]) = p(1 p) k j 1, (se k > j). Dunque si ha P ([X 1 = j] [X = k]) = P ([X = k] [X 1 = j])p ([X 1 = j]) = p (1 p) k e quindi P ([X 1 = j] [X = k]) = P ([X = k] [X 1 = j])p ([X 1 = j]) P ([X = k]) = p (1 p) k (k 1)p (1 p) = 1 k k 1. Si puo dunque asserire che, noto il valore di X, quello di X 1 assume distribuzione uniforme tra tutti i valori possibili, e cio indipendentemente da p. Nel caso onesto, assumendo j = A, si vuole che risulti 1 k 1 > A ossia k 1 < A, dunque il valore massimo di k perché cio accada é A.
3 Esercizio 3 (a) L errore quadratico medio della Media campionaria per definizione dato da: e quindi. MSE(X) = E(X µ) = σ n MSE(X µ) = 5 40 = 0, 65 (b) Poich la popolazione di partenza é normale sappiamo che: P ( z α X µ n z α σ ) = 1 α Quindi con i dati che noi abbiamo si ha che α = 0, 05 da cui α/ = 0, 05. Possiamo quindi determinare il valore di z α normale vediamo essere: z α = 1, 96. Da cio ricaviamo che l intervallo fiduciario per µ é dato da: e sostituendo con i numeri si ha (5 1, 96 (X z α σ/; X + z α σ/) che dalla tabella sulla funzione 5 5 ; 5 + 1, 96 ) = (5 1, 96 0, 791; 5 + 1, 96 0, 791) = (5 + 1, 55) = (3, 45; 6, 55). (c) Sappiamo che l ampiezza di un intervallo fiduciario é data da: A = z α σ n Andiamo quindi a determinare il valore minimo di n affinché tale ampiezza sia minore di 1, e sempre con (1 α) = 0, 95: 1 > 1, 96 da cio ricaviamo il valore minimo di n 5 n > ( 1, 96 5) = 384, 16 e in conclusione il valore minimo di n é
4 Prova scritta del 1/01/007 Esercizio 1 Si vuole esaminare la dimensione dei fiocchi di neve che cadono su una determinata localita. A tale scopo si assume che il generico fiocco di neve abbia forma di esagono regolare, e la lunghezza del lato (espressa in un opportuna unita di misura) sia una variabile aleatoria X, con densita Beta. In particolare, si assume che la densita di X sia la funzione f(x) = 30x (1 x), per x ]0, 1[, e nulla altrove. Si calcolino media e varianza di X. Inoltre, utilizzando la nota formula A = kl che fornisce l area A dell esagono regolare in funzione del lato l (la costante k vale approssimativamente.6), si determini anche la densita della variabile aleatoria Z che misura l area del generico fiocco di neve. Esercizio Si lancia n volte una moneta onesta, e si denota con X n la v.a. che indica il numero di teste uscite, con Y n quella che indica il numero di croci, e con Z n la v.a. X n Y n. Si trovino media e varianza di Z n, e si calcoli, in funzione di n, la probabilita che sia Z n = 0. Si dica infine a se e a che cosa converge, in distribuzione, la successione ( Zn ) n. Esercizio 3 Uno strumento per misurare la profondita di un lago presenta errori che si possono considerare distribuiti secondo una legge normale, con media nulla e deviazione standard (σ) pari a 10 m. Quante misure occorre effettuare con tale strumento, affinché l errore medio delle varie misure non superi i 5 m (in eccesso o in difetto), con probabilita del 90% almeno? Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, 1), utilizzare la seguente tabella: ( ) Φ(1, 81) = 0, 9, Φ(1, 645) = 0, 95 Φ(1, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 Soluzioni compito 1/01/007 4
5 Esercizio 1 Chiaramente, si ha E(X) = x 3 (1 x) dx = 1, E(X ) = x 4 (1 x) dx = 7, V (X) = E(X ) E (X) = 1 8. Per quanto riguarda Z, essa chiaramente assume valori in [0, k]. Per u [0, k] si ha P ([Z u]) = P ([X u k Derivando rispetto a u, si ottiene la densita : u f z (u) = 15 k k (1 naturalmente per u [0, k]. Esercizio u k ]) = 30 x (1 x) dx. 0 u k ), Essendo Y n = n X n, si ha Z n = X n n. Pertanto si ha E(Z n ) = E(X n ) n = 0, V (Z n ) = 4V (X n ) = n, per ogni n. Inoltre, poiché X n assume tutti i valori interi da 0 a n, si vede facilmente che Z n assume i valori n, n +, n + 4,..., n 4, n, n: tali valori comprendono lo 0 solo se n é pari, nel qual caso si ha Z n = 0 X n = n, e pertanto { 0, n dispari P ([Z n = 0]) = ( n n/) n, n pari. Infine, poiché ogni termine X n (e di conseguenza anche Z n ) si puo interpretare come la somma di n v.a. I.I.D., e poiché Zn é standard, per il Teorema del Limite Centrale si puo dedurre che la successione ( Zn ) n converge in Distribuzione alla legge N(0, 1). Esercizio 3 Denotando con X 1,..., X n i valori dei vari errori nelle n misure, (effettuate in condizioni di indipendenza), la media X n ha distribuzione N(0, σ ), con n σ = 100. Posto U n = X σ n, risulta U n N(0, 1), e si ha n n P ([ X n < 5]) = P ([ U n < σ 5]) = P ([ U n < ]) = Φ( ) 1. Imponendo che tale probabilita debba essere 0.9, si ha Φ( ) =
6 da cui, per le tabelle, e quindi = n (3.9) , dunque n 11. Prova scritta del 8/09/007 Esercizio 1 Sia Y una v.a. assegnata di tipo B(1, 1 ), e poniamo X = Y 1. Sia poi (X n ) n una successione di variabili aleatorie definita come segue: X k+1 = X, X k = X, per ogni k IN. Detta (S n ) la successione delle somme parziali delle X n (ossia S n = n j=0 X j), si studi il comportamento al limite della successione Sn n : il risultato trovato é in contrasto con il teorema del Limite Centrale? Esercizio Siano X e Y due v.a. indipendenti, entrambe di tipo N(0, 1): posto Z = (X Y ), si trovino la distribuzione di Z e i suoi momenti di ordine 1 e. Esercizio 3 Le lampadine prodotte da una certa ditta hanno una durata che si puo considerare distribuita secondo una legge normale, con varianza 16. Un campione di 0 lampadine viene monitorato, e si registra una durata media di 30 mesi. 1) Si determini un intervallo di confidenza al livello 0.90 per la vita media delle lampadine; ) Quanto dovrebbe essere numeroso il campione se si vuole che (sempre con la durata media di 30 mesi), l intervallo trovato in precedenza abbia una confidenza almeno del 95%? ( Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, 1), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(1, 81) = 0, 9, Φ(1, 645) = 0, 95 Φ(1, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 ) Soluzioni compito 8/09/007 6
7 Esercizio 1 E chiaro che tutte le X n hanno la stessa distribuzione: ciascuna puo assumere solo i valori 1 e 1, con probabilita 1. Tuttavia, poiché le X n con indice dispari coincidono tutte con X, e quelle con indice pari coincidono con X, per le somme S n si ha S k = 0, S k+1 = X, qualunque sia k 1. Chiaramente allora si ha in tutti i modi possibili. lim n S n = 0, Il risultato non é in contrasto con il teorema del Limite Centrale per almeno due motivi: 1) Le X n non costituiscono una successione I.I.D., in quanto, pur avendo tutte la stessa distribuzione, non sono certo indipendenti. S ) Le v.a. n n non sono le standardizzate delle S n : infatti, benché tutte le S n abbiano media nulla, la loro varianza é uguale a 1, se n é dispari, e a 0, se n é pari. Esercizio L indipendenza di X e Y implica quella di X e Y. Allora, poiché anche Y é di tipo normale standard, si ha X Y N(0, ). Per determinare la distribuzione di Z, calcoliamo la sua funzione di ripartizione: per z > 0, si ha F Z (z) = P ([ z X Y z]) = z e x /4 dx; π 0 Derivando rispetto a z, si trova la densita : f Z (z) = 1 πz e z/4, (ovviamente per z > 0). Chiaramente, allora, Z ha una distribuzione di tipo Γ, e E(Z) =, E(Z ) = 1. Esercizio 3 1) Denotando con x la media campionaria, si deve avere P ([ u x µ σ/ ]) = 0.90; n 7
8 dalla tabella di Φ, si deduce che dev essere u = Ponendo µ = 30, n = 0, σ = 4, avremo l intervallo [8.53, 31.47]. ) Se si vuole la confidenza al 95%, dovra risultare u = 1.96, 1.47 = /, ossia n 9. 8
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2010/11
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 00/ Prova scritta del /0/0 Esercizio Due variabili aleatorie indipendenti, X e Y, verificano la relazione X Y. ) Si provi che F Y (x) F X (x) per ogni numero
DettagliEsame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016
Esame di Statistica 0 o CFU) CLEF febbraio 06 Esercizio Si considerino i seguenti dati, relativi a 00 clienti di una banca a cui è stato concesso un prestito, classificati per età e per esito dell operazione
DettagliCalcolo delle Probabilità 2
Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale a.a. 2016/17
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale aa 6/ Punteggi: : 3 + 6; : + + + ; 3: + Una scatola contiene monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le
DettagliP ( X n X > ɛ) = 0. ovvero (se come distanza consideriamo quella euclidea)
10.4 Convergenze 166 10.4.3. Convergenza in Probabilità. Definizione 10.2. Data una successione X 1, X 2,...,,... di vettori aleatori e un vettore aleatorio X aventi tutti la stessa dimensione k diremo
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica Stima Puntuale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio In ciascuno dei casi seguenti determinare quale tra i due stimatori S e T per il parametro θ è distorto
DettagliII Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17
II Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì 4 febbraio 7 Cognome: Nome: Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
Dettagli) la sua densità discreta sarà della forma. p X (0) = 1 2, p X(1) = 1 2,
Esercizi settimana 6 Esercizi applicati Esercizio. Siano X e Y due v.a. discrete indipendenti tali che X B(, ) e Y B(, ), n 0. (i) Si calcoli la legge di X + Y ; (ii) Si calcoli la legge di X Y ; (iii)
DettagliAlcune v.a. discrete notevoli
Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =
DettagliStima puntuale di parametri
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 006/007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
DettagliProbabilità e Statistica per l Informatica Esercitazione 4
Probabilità e Statistica per l Informatica Esercitazione 4 Esercizio : [Ispirato all Esercizio, compito del 7/9/ del IV appello di Statistica e Calcolo delle probabilità, professori Barchielli, Ladelli,
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stimatore media campionaria Il tempo in minuti necessario a un certo impiegato dell anagrafe
DettagliVariabili casuali. - di Massimo Cristallo -
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 16 e 27 maggio 2013 - di Massimo Cristallo - Variabili casuali
Dettagli0 se y c 1 (y)) se c < y < d. 1 se y d
Capitolo. Parte IX Exercise.. Sia X una variabile aleatoria reale assolutamente continua e sia (a,b) un intervallo aperto (limitato o illimitato) di R, tale che P(X (a,b)) =. Sia ϕ : (a,b) R una funzione
DettagliStatistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 23 marzo 2010 Indice Distribuzioni di probabilità discrete 1 Distribuzioni di probabilità discrete
DettagliDue variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha. P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b}
Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b} Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori 1, 2,..., n
Dettagli4. Si supponga che il tempo impiegato da una lettera spedita dall Italia per arrivare a destinazione segua una distribuzione normale con media
Esercizi sulle distribuzioni, il teorema limite centrale e la stima puntuale Corso di Probabilità e Inferenza Statistica, anno 007-008, Prof. Mortera 1. Sia X la durata in mesi di una valvola per radio.
DettagliSTATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI
STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri
DettagliStatistica Metodologica
Statistica Metodologica Esercizi di Probabilita e Inferenza Silvia Figini e-mail: silvia.figini@unipv.it Problema 1 Sia X una variabile aleatoria Bernoulliana con parametro p = 0.7. 1. Determinare la media
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 26 Statistica Esercizio Sia {X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2. Verificare che X = n n X i σ 2 = n (X i µ) 2 S 2 = n
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTÀ DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA S.I.G.I. STATISTICA II Esercitazione n. 3 Esercizio 1 Una v.c. X si dice v.c. esponenziale
DettagliEsercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano
Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Una moneta viene lanciata 6 volte. Calcolare a) La probabilità che escano esattamente
DettagliI appello di calcolo delle probabilità e statistica
I appello di calcolo delle probabilità e statistica A.Barchielli, L. Ladelli, G. Posta 8 Febbraio 13 Nome: Cognome: Matricola: Docente: I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 1. Dati gli eventi A,B,C, ognuno dei quali implica il successivo, e tali che P (A) è metà della probabilità di B, che a sua volta ha probabilità metà di quella
DettagliX (o equivalentemente rispetto a X n ) è la
Esercizi di Calcolo delle Probabilità della 5 a settimana (Corso di Laurea in Matematica, Università degli Studi di Padova). Esercizio 1. Siano (X n ) n i.i.d. di Bernoulli di parametro p e definiamo per
DettagliStatistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza
Test 1: Concetti base di inferenza 1. Se uno stimatore T n è non distorto per il parametro θ, allora A T n è anche consistente B lim Var[T n] = 0 n C E[T n ] = θ, per ogni θ 2. Se T n è uno stimatore con
DettagliProbabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva
Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.
DettagliCorso di Fondamenti di Telecomunicazioni
Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. Mario Barbera [parte ] Variabili aleatorie Esempio: sia dato l esperimento: Scegliere un qualunque giorno non festivo della settimana, per verificare casualmente
DettagliModelli probabilistici variabili casuali
Modelli probabilistici variabili casuali Le variabili casuali costituiscono il legame tra il calcolo della probabilità e gli strumenti di statistica descrittiva visti fino ad ora. Idea: pensiamo al ripetersi
Dettaglix ;x Soluzione Gli intervalli di confidenza possono essere ottenuti a partire dalla seguente identità: da cui si ricava: IC x ;x = +
ESERCIZIO 6.1 Si considerino i 0 campioni di ampiezza n = estratti da una popolazione X di N = 5 elementi distribuiti normalmente, con media µ = 13,6 e σ = 8,33. A partire dalle 0 determinazioni della
DettagliProva di recupero di Probabilità e Statistica - A * 21/04/2006
Prova di recupero di Probabilità e Statistica - A * /04/006 (NB: saranno prese in considerazione solo le risposte adeguatamente motivate) tempo di lavoro: Due ore. Per conseguire la patente di guida, un
DettagliStatistica. Alfonso Iodice D Enza
Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unina.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 27 Outline 1 () Statistica 2 / 27 Outline 1 2 () Statistica 2 / 27 Outline 1 2 3 () Statistica 2 /
DettagliLe variabili casuali o aleatorie
Le variabili casuali o aleatorie Intuitivamente un numero casuale o aleatorio è un numero sul cui valore non siamo certi per carenza di informazioni - ad esempio la durata di un macchinario, il valore
DettagliIntervalli di confidenza
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
DettagliSTATISTICA ESERCITAZIONE
STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 1 Giugno 2015 Esercizio 1 Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo 300 campioni casuali di 300 consegne, in
DettagliDISTRIBUZIONI DI PROBABILITA
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Nell associare ai risultati di un esperimento un valore numerico si costruisce una variabile casuale (o aleatoria, o stocastica). Ogni variabile casuale ha una corrispondente
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA - 24 Giugno 2015 CdL in STAD, SIGAD Compito intero Seconda prova in itinere: esercizi 4,5,6.
Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 4 Giugno 5 CdL in STAD, SIGAD Compito intero Seconda prova in itinere: esercizi 4,5, Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e
DettagliEsercitazioni di Statistica Matematica A Lezione 2. Variabili con distribuzione gaussiana
Esercitazioni di Statistica Matematica A Lezione 2 Variabili con distribuzione gaussiana.) Una bilancia difettosa ha un errore sistematico di 0.g ed un errore casuale che si suppone avere la distribuzione
DettagliStatistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio
Statistica ARGOMENTI Calcolo combinatorio Probabilità Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con ripetizioni Combinazioni semplici Assiomi di probabilità
DettagliUNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA Corso di PS2-Probabilità 2 P.Baldi appello, 7 giugno 200 Corso di Laurea in Matematica Esercizio Siano X, Y v.a. indipendenti di legge Ŵ(2, λ). Calcolare densità e la media
DettagliApprossimazione normale alla distribuzione binomiale
Approssimazione normale alla distribuzione binomiale P b (X r) costoso P b (X r) P(X r) per N grande Teorema: Se la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri N e p, allora, per N
DettagliCorso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá
Corso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá Exercise 0.1 Unurna contiene 2 biglie bianche e 5 nere. Estraiamo una prima biglia: se nera la rimettiamo dentro con altre due dello stesso colore, se
Dettagli05. Errore campionario e numerosità campionaria
Statistica per le ricerche di mercato A.A. 01/13 05. Errore campionario e numerosità campionaria Gli schemi di campionamento condividono lo stesso principio di fondo: rappresentare il più fedelmente possibile,
DettagliDispensa di Statistica
Dispensa di Statistica 1 parziale 2012/2013 Diagrammi... 2 Indici di posizione... 4 Media... 4 Moda... 5 Mediana... 5 Indici di dispersione... 7 Varianza... 7 Scarto Quadratico Medio (SQM)... 7 La disuguaglianza
DettagliMatematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Esercitazione # 2 1 Distribuzione normale Esercizio 1 Sia X una variabile aleatoria Normale N (5, ). Facendo
DettagliDistribuzione Normale
Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di
DettagliESAME. 9 Gennaio 2017 COMPITO B
ESAME 9 Gennaio 2017 COMPITO B Cognome Nome Numero di matricola 1) Approssimare tutti i calcoli alla quarta cifra decimale. 2) Ai fini della valutazione si terrà conto solo ed esclusivamente di quanto
DettagliProva d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1 Data la variabile casuale X con funzione di densità f(x) = 2x, per 0 x 1; f(x) = 0 per x [0, 1], determinare: a) P( - 0,5 < X< 0,7) b)
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre Gennaio 2001
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre 2000-28 Gennaio 2001 1 Nona settimana 76. Lun. 4 Dic. Generalita. Spazi
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 20/10/201 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Se supponiamo
DettagliEsercizi di riepilogo Lezioni
Esercizi di riepilogo Lezioni 9-10-11 Es1: Aspettazioni iterate Siano X, Y, e Z v.a. discrete. Dimostrare le seguenti generalizzazioni della legge delle aspettazioni iterate a) b) c) Es2: Bacchetta Abbiamo
Dettagli1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:
CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o
DettagliX Vincita (in euro) Tabella 1: Vincite
Cognome e Nome:....................................... Matricola............. CdS............. CALCOLO DELLE PROBABILITA - 9 Giugno 1 CdS in STAD, SIGAD - docente: G. Sanfilippo Motivare dettagliatamente
DettagliSESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1
www.matefilia.it SESSIONE SUPPLETIVA 015 - QUESTIONARIO x QUESITO 1 Data la funzione integrale ln(t) dt, determinare per quali valori di x il suo grafico 1 incontra la retta di equazione y = x + 1. Calcoliamo
DettagliSOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA
SOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA 1 Esercizio 0.1 Dato P (A) = 0.5 e P (A B) = 0.6, determinare P (B) nei casi in cui: a] A e B sono incompatibili; b] A e B sono indipendenti;
DettagliUlteriori Conoscenze di Informatica e Statistica
ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione
DettagliVedi: Probabilità e cenni di statistica
Vedi: http://www.df.unipi.it/~andreozz/labcia.html Probabilità e cenni di statistica Funzione di distribuzione discreta Istogrammi e normalizzazione Distribuzioni continue Nel caso continuo la probabilità
DettagliVARIABILI CASUALI CONTINUE
p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale
DettagliCasa dello Studente. Casa dello Studente
Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino
DettagliCAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE
CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE 1. Probabilità nel continuo Fino ad ora abbiamo considerato casi in cui l insieme degli eventi elementari è finito. Vediamo, mediante due semplici esempi, come si
DettagliVariabili aleatorie gaussiane
Variabili aleatorie gaussiane La distribuzione normale (riconoscibile dalla curva a forma di campana) è la più usata tra tutte le distribuzioni, perché molte distribuzioni che ricorrono naturalmente sono
DettagliIl processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni
La statistica inferenziale Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni E necessario però anche aggiungere con
DettagliIl Corso di Fisica per Scienze Biologiche
Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 75-585 278 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia/
DettagliDISTRIBUZIONI DI PROBABILITA
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA La distribuzione di probabilità e un modello matematico, uno schema di riferimento, che ha caratteristiche note e che può essere utilizzato per rispondere a delle domande derivate
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilità
Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato
DettagliCapitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari"
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari" Unità Integrata Organizzativa
DettagliMatematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Esercitazione # 6 1 Test ed intervalli di confidenza per una popolazione Esercizio n. 1 Il calore (in calorie
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014. I Esonero - 29 Ottobre Tot.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014 I Esonero - 29 Ottobre 2013 1 2 3 4 5 6 7 8 Tot. Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato,
DettagliVariabile casuale E 6 E 5 E 4. R S x1 E 2
Variabile casuale Una Variabile Casuale X è una regola (funzione reale) che associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero reale. Notazione: X: variabile casuale : realizzazione di una variabile
DettagliPrincipi di Statistica a.a
Principi di Statistica a.a. 2014-2015 Dr. Luca Secondi 1. Introduzione al corso 1.01Variabili casuali Distribuzioni di probabilità 1 Corso di laurea in Biotecnologie Matematica e PRINCIPI DI STATISTICA
DettagliScanned by CamScanner
Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Università di Cassino Corso di Statistica Esercitazione
DettagliPROBABILITA. Distribuzione di probabilità
DISTRIBUZIONI di PROBABILITA Distribuzione di probabilità Si definisce distribuzione di probabilità il valore delle probabilità associate a tutti gli eventi possibili connessi ad un certo numero di prove
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (M-Z) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 16/06/2016 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Cinque lettere
DettagliUniversità degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali
Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si
DettagliVariabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche
Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità 1 A. A. 4/5 a prova in itinere 8/6/5docenti G. Nappo, F. Spizzichino La prova scritta consiste nello svolgimento degli Esercizi
DettagliEsercizio 1. Stima intervallare: IC per la media incognita (varianza ignota)
STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 5 26.02.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Stima intervallare: IC per la media incognita (varianza ignota) Il responsabile del controllo qualità di un azienda che
DettagliVariabili aleatorie continue
Variabili aleatorie continue Per descrivere la distribuzione di una variabile aleatoria continua, non si può più assegnare una probabilità positiva ad ogni valore possibile. Si assume allora di poter specificare
DettagliSchema lezione 5 Intervalli di confidenza
Schema lezione 5 Intervalli di confidenza Non centrerò quella barca, ne sono convinto al 95% COMPRENDERE: Significato di intervallo di confidenza Uso degli stimatori come quantità di pivot per stime intervallari
DettagliIpotesi statistiche (caso uno-dimensionale) Ipotesi poste sulla (distribuzione di) popolazione per raggiungere una decisione sulla popolazione stessa
Ipotesi statistiche (caso uno-dimensionale) Ipotesi poste sulla (distribuzione di) popolazione per raggiungere una decisione sulla popolazione stessa L ipotesi che si vuole testare: H 0 (ipotesi nulla)
DettagliTest per una media - varianza nota
Situazione Test per una media - varianza nota Popolazione N(µ,σ 2 ); varianza σ 2 nota. µ 0 numero reale fissato. Test di livello α per µ Statistica: Z n = X n µ 0 σ/ n. H 0 H 1 Rifiutiamo H 0 se p-value
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 5 Abbiamo visto: Modelli probabilistici nel continuo Distribuzione uniforme continua Distribuzione
DettagliTesto di riferimento: D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le scienze della vita, Ambrosiana, 2008.
Corsi di Laurea in Scienze Naturali e Scienze Geologiche Corso di Matematica con Elementi di Statistica - II Modulo Docente: Prof.ssa Maria Polo Esercizi proposti per la preparazione all esame Gli esercizi
DettagliUlteriori conoscenze di informatica Elementi di statistica Esercitazione3
Ulteriori conoscenze di informatica Elementi di statistica Esercitazione3 Sui PC a disposizione sono istallati diversi sistemi operativi. All accensione scegliere Windows. Immettere Nome utente b## (##
DettagliEsercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti
Esercizi svolti di statistica Gianpaolo Gabutti (gabuttig@hotmail.com) 1 Introduzione Questo breve documento contiene lo svolgimento di alcuni esercizi di statistica da me svolti durante la preparazione
DettagliStrumenti di indagine per la valutazione psicologica
Strumenti di indagine per la valutazione psicologica.3 - La distribuzione normale Tempi di reazione Registrati i tempi di reazione (in millisecondi) a uno stimolo (n = 30). Classe Freq Freq relative Densità
DettagliTeorema del Limite Centrale
Teorema del Limite Centrale Problema. Determinare come la media campionaria x e la deviazione standard campionaria s misurano la media µ e la deviazione standard σ della popolazione. È data una popolazione
Dettagli1 Successioni di funzioni
Analisi Matematica 2 Successioni di funzioni CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 6 SERIE DI POTENZE Supponiamo di associare ad ogni n N (rispettivamente ad ogni n p, per qualche
Dettagli6) Una variabile aleatoria discreta V ha la seguente densità di probabilità:
(VHUFL]LVX&DOFRORGHOOHSUREDELOLWj PRGHOOLSUREDELOLVWLFLHYDULDELOLDOHDWRULH 1) Un fax può venir trasmesso a tre diverse velocità, a seconda di quali siano le condizioni di traffico sulla connessione tra
DettagliSTATISTICA A D (72 ore)
STATISTICA A D (72 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Elementi che fanno variare l ampiezza dell intervallo di confidenza (p. 70) s.q.m. dell universo σ Più σ è elevato, maggiore è la
DettagliVariabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1
Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1 Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 3
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 3 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. La v.c. Uniforme Continua Secondo alcuni sondaggi sul sito della Apple (technical support site,
DettagliP (K C) = P (C) P (K C) = P (C K)P (K) = 1 p = p. Per trovare P (C), condizioniamo al fatto che sapesse la risposta o meno.
Esami di Calcolo delle Probabilitá del 28 Settembre 29 É fatto assoluto divieto di usare appunti e libri di testo, il candidato che non osserverá questo divieto avrá annullato il compito e sará allontanato
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 5
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Approssimazione normale della Poisson (TLC) In un determinato tratto di strada il numero di incidenti
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1
Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1 Lezione 1 - Mercoledì 28 Settembre 2016 Introduzione al corso. Richiami di probabilità: spazi di probabilità, variabili aleatorie,
DettagliLaboratorio di Didattica di elaborazione dati 5 STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI. x i. SE = n.
5 STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI [Adattato dal libro Excel per la statistica di Enzo Belluco] Sia θ un parametro incognito della distribuzione di un carattere in una determinata popolazione. Il problema
DettagliProva Scritta di Probabilità e Statistica Cognome: Laurea in Matematica. 10 settembre 2012 Matricola: Nome:
Prova Scritta di Probabilità e Statistica Cognome: Laurea in Matematica Nome: 10 settembre 2012 Matricola: ESERCIZIO 1. Facendo uso solamente della definizione di spazio di probabilità, dell additività
DettagliV.C. RETTANGOLARE o UNIFORME
V.C. RETTANGOLARE o UNIFORME La v.c. continua RETTANGOLARE o UNIFORME descrive il modello probabilistico dell equiprobabilità. [ a b] X, con densità di probabilità associata: P( x) 1 b a con P(x) costante.
DettagliEsercitazioni di Statistica Matematica A Esercitatori: Dott. Fabio Zucca - Dott. Maurizio U. Dini Lezioni del 7/1/2003 e del 14/1/2003
Esercitazioni di Statistica Matematica A Esercitatori: Dott. Fabio Zucca - Dott. Maurizio U. Dini Lezioni del 7/1/003 e del 14/1/003 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore
Dettagli