Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.

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Floriano Casati
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1 Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità 1 A. A. 4/5 a prova in itinere 8/6/5docenti G. Nappo, F. Spizzichino La prova scritta consiste nello svolgimento degli Esercizi 1 e e di uno, a scelta dallo studente, fra gli esercizi e 4. tempo a disposizione: ore Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. Esercizio 1. X è una variabile aleatoria tale che, per un opportuna costante α >, ammette una densità della forma a Determinare il valore di α. x α per α x fx = x α per x α per x > α b Calcolare il valore atteso e la varianza di X. c Calcolare P { X > α }. Esercizio. Un ristorante in cui è obbligatoria la prenotazione propone i tre menù M 1, M, M al costo di 14 Euro, 1 Euro e 4 Euro, rispettivamente. Si suppone che ciascun cliente scelga fra M 1, M e M con probabilità 1, 1 ed 1 6, rispettivamente; si suppone inoltre che vi sia indipendenza stocastica fra le scelte dei diversi clienti. Per la serata sono prenotati clienti ed indichiamo con S l incasso in Euro che verrà realizzato complessivamente dal ristorante nella serata. a Determinare il valore atteso e la varianza di S b Calcolare l approssimazione normale per le probabilità b1 P {5 S 7} b P {S > 8}. Esercizio. Riprendendo le posizioni del precedente Esercizio, indichiamo con X j il numero di clienti che scelgono il menù M j per j = 1,,. Scrivere le formule per il calcolo delle seguenti probabilità a P X 1 = 15, X = 4, X = 1 b P X 1 = 15 c P X = 4 X 1 = 15. 1

2 Esercizio 4. Consideriamo un gioco d azzardo eseguito con due monete non perfette: una moneta dà risultato testa con probabilità, 4 e l altra dà risultato testa con probabilità, 6. Viene scelta una moneta, e poi la moneta scelta sempre la stessa viene lanciata tre volte consecutivamente. Si vincono 1 Euro se si presentano almeno due risultati testa consecutivi; si vincono 5 Euro se si presentano esattamente due risultati testa non consecutivi; non si vince nulla negli altri casi. a1 Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole b1 Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole. a Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. b Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. c facoltativo Sempre nel caso in cui la moneta sia stata scelta a caso fra le due, si calcoli la probabilità che esca testa al secondo lancio, sapendo che il risultato del primo lancio è stato testa.

3 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità 1 Seconda prova in itinere, mercoledì 8 giugno 5 - FOGLIO RISPOSTE NOME E COGNOME... docente G. Nappo F. Spizzichino Esercizio 1. a α=... b EX =... V arx =... c P { X > α } =... Esercizio. a ES =... V ars =... b1 P {5 S 7}... b P {S > 8}... Esercizio. a P X 1 = 15, X = 4, X = 1 =... b P X 1 = 15 =... c P X = 4 X 1 = 15 =... Esercizio 4. a1 Probabilità di vincere 1 Euro =...scelta la moneta più favorevole b1 Valore atteso della vincita =... scelta la moneta più favorevole a Probabilità di vincere 1 Euro =...scelta a caso delle monete b Valore atteso della vincita =... scelta a caso delle monete c facoltativo p c =...

4 Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità 1 A. A. 4/5 Soluzioni della a prova in itinere 8/6/5docenti G. Nappo, F. Spizzichino Esercizio 1. X è una variabile aleatoria tale che, per un opportuna costante α >, ammette una densità della forma x α per α x fx = x α per x α per x > α a Determinare il valore di α. Soluzione: α = 1 Infatti α va determinato in modo che f sia una densità di probabilità, ossia in modo che i fx per ogni x e questo è automaticamente soddisfatto, e che ii + fx dx = 1, ossia, nel nostro caso + fx dx = +α b Calcolare il valore atteso e la varianza di X. α +α 1 α x dx = 1 α x dx = 1 α α x = 1 α α = α = 1 Soluzione: EX = e V arx = 1 Infatti EX = in quanto la densità è simmetrica rispetto all origine e X ammette sicuramente valore atteso finito, in quanto X 1. Alternativamente + +1 EX = x fx dx = x x dx = x dx = = = Di conseguenza V arx = EX e quindi V arx = EX = c Calcolare P { X > α }. = + x fx dx = = 1 Soluzione: P { X > α } = P { X > 1 } = 4 Infatti P { X > 1 } = 1 P { X 1 } = x x dx = x dx = 1 [ ] x x dx = 1 + [ x [ ] x x dx = 1 x dx = 1 [x ] 1 = 1 1 = 4 ] 1 4

5 Esercizio. Un ristorante in cui è obbligatoria la prenotazione propone i tre menù M 1, M, M al costo di 14 Euro, 1 Euro e 4 Euro, rispettivamente. Si suppone che ciascun cliente scelga fra M 1, M e M con probabilità 1, 1 ed 1 6, rispettivamente; si suppone inoltre che vi sia indipendenza stocastica fra le scelte dei diversi clienti. Per la serata sono prenotati clienti ed indichiamo con S l incasso in Euro che verrà realizzato complessivamente dal ristorante nella serata. a Determinare il valore atteso e la varianza di S Soluzione: ES = 6 e V ars = 4 Infatti per iniziare si noti che S si può pensare come la somma di duecento variabili aleatorie V i, dove V i rappresenta il prezzo del menù scelto dal cliente i-simo. Dai dati del problema si ha che V i può assumere i valori 14, 1 e 4, con per cui P V i = 14 = 1, P V i = 1 = 1, P V i = 4 = 1 6, ES = EV V = EV EV = EV 1 = = = 18 = 6. Inoltre, sempre dai dati del problema sappiamo che le variabili V i sono indipendenti e quindi V ars = V arv V = V arv V arv = V arv 1 = EV1 EV = = = = = = 41 4 = 17 = 4 b Calcolare l approssimazione normale per le probabilità b1 P {5 S 7} b P {S > 8}. Soluzione: P {5 S 7}, 918 e P {S > 8},. Infatti P {5 S 7} = P { S } = P { 1 4 S Φ 1 5,8 Φ 1 5,8 4 } = Φ 1 5,8 1 Φ1, 71 1 = =, 918 5

6 Invece P {S > 8} = P { S 6 4 > } = 1 P { S } 1 Φ 5,8 = 1 Φ, 4 = =, Esercizio. Riprendendo le posizioni del precedente Esercizio, indichiamo con X j il numero di clienti che scelgono il menù M j per j = 1,,. Scrivere le formule per il calcolo delle seguenti probabilità a P X 1 = 15, X = 4, X = 1 Soluzione: Si tratta di prove indipendenti a tre esiti: quindi la distribuzione congiunta di X 1, X, X è una distribuzione multinomiale e P X 1 = 15, X = 4, X = 1 = b P X 1 =! 15! 4! 1! Soluzione: Si tratta di prove indipendenti a due esiti menù da 14 Euro con probabilità 1 o no: quindi la variabile X 1 ha distribuzione binomiale di parametri n = e p = 1, così P X 1 = 15 = c P X = 4 X 1 = 15. Soluzione: P X = 4 X 1 = 15 = 5! 4! 1! Infatti P X = 4 X 1 = 15 = P X 1 = 15, X = 4 P X 1 = 15! ! 4! 1! = 6! 1 = 5! 4! 1! 15! 5! =! 15! 5! 1 = P X1 = 15, X = 4, X = 1 P X 1 = = 5! ! 1! Esercizio 4. Consideriamo un gioco d azzardo eseguito con due monete non perfette: una moneta dà risultato testa con probabilità, 4 e l altra dà risultato testa con probabilità, 6. Viene scelta una moneta, e poi la moneta scelta sempre la stessa viene lanciata tre volte consecutivamente. Si vincono 1 Euro se si presentano almeno due risultati testa consecutivi; si vincono 5 Euro se si presentano esattamente due risultati testa non consecutivi; non si vince nulla negli altri casi. 6

7 a1 Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole Soluzione: La probabilità cercata vale.54. Infatti, posto X la variabile aleatoria che rappresenta la vincita, T i = {esce testa all i-simo lancio}, per i = 1,,, ed infine posta P 1 la probabilità nel caso in cui venga scelta la moneta più favorevole P 1 X = 1 = P 1 T 1 T T + P 1 T 1 T T + P 1 T 1 T T = P 1 T 1 P 1 T P 1 T + P 1 T 1 P 1 T P 1 T + P 1 T 1 P 1 T P 1 T = = = =.54 b1 Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole. Soluzione: Il valore atteso cercato vale Infatti in modo analogo si ha che 1 e quindi P 1 X = 5 = P 1 T 1 T T = P 1 T 1 P 1 T P 1 T = =.6.4 =.6.4 =.144 E 1 X = P 1 X = + 5 P 1 X = P 1 X = 1 = = = 5.76 a Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. Soluzione: La probabilità cercata vale.8. Infatti posto A 1 = {viene scelta la moneta più favorevole} e A = {viene scelta la moneta meno favorevole} si ha P X = 1 = P A 1 P X = 1 A 1 + P A P X = 1 A, 1 In modo analogo si può calcolare anche P 1X = : P 1X = = P 1T 1 T T + P 1T 1 T T + P 1T 1 T T + P 1T 1 T T = P 1T 1P 1T P 1T + P 1T 1P 1T P 1T + P 1T 1P 1T P 1T + P 1T 1P 1T P 1T = = =.16. =.5 Tuttavia va notato che questo calcolo non è necessario per due motivi: prima di tutto perché il valore di P 1X = non interviene nel calcolo per ottenere il valore atteso di X, e poi perché comunque il valore di P 1X = si può ottenere P 1X = = 1 P 1X = 5 P 1X = 1 = = =.5 7

8 con P A 1 = P A = 1 e con P X = 1 A 1 = P T 1 T T A 1 + P T 1 T T A 1 + P T 1 T T A 1 = P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 + P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 + P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 = = = =.54 del resto P X = 1 A1 = P 1 X = 1, mentre P X = 1 A = P T 1 T T A + P T 1 T T A + P T 1 T T A e quindi = P T 1 A P T A P T A + P T 1 A P T A P T A + P T 1 A P T A P T A = = =.56 P X = 1 = P A 1 P X = 1 A 1 + P A P X = 1 A = = 1.76 =.8 b Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. Soluzione: Il valore atteso cercato vale 4.4. Infatti si deve calcolare EX = P X = + 5 P X = P X = 1 = = = 4.4 in quanto P X = 5 = P A 1 P X = 5 A 1 + P A P X = 5 A = 1 P T 1 T T A P T 1 T T A = 1 P T 1 A 1 P T A 1 P T A P T 1 A P T A P T A = = = 1.4 =.1 c facoltativo Sempre nel caso in cui la moneta sia stata scelta a caso fra le due, si calcoli la probabilità che esca testa al secondo lancio, sapendo che il risultato del primo lancio è stato testa. Soluzione: La probabilità cercata vale.5. Infatti P T T 1 = P T T 1 P T 1 = = P A 1P T 1 T A 1 + P A P T 1 T A P A 1 P T 1 A 1 + P A P T 1 A = =.5 8

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