Compito di Probabilità e Statistica

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1 Compito di Probabilità e Statistica Tempo: 180 Minuti 23 Giugno 2017, 10:00-13:00 Corso di Laurea in Informatica Docente: Marco Formentin Nome: Cognome: Numero di matricola: Esercizio Punti

2 Esercizio 1. Si consideri un urna con 8 palline, 2 nere, 2 bianche, 2 rosse e 2 verdi, da cui si estraggono SENZA reinserimento 2 palline. a) Calcolare la probabilità di estrarre 2 palline dello stesso colore. b) Calcolare la probabilità di estrarre 2 palline di colore diverso. Si consideri ora un urna con 6 palline, 2 nere, 2 bianche, 2 rosse da cui si estraggono CON reinserimento 2 palline. c) Calcolare la probabilità di estrarre 2 palline dello stesso colore. d) Calcolare la probabilità di estrarre 2 palline di colore diverso. 23 Giugno 2017, 10:00-13:00 Primo appello 2

3 Esercizio 2. Siano A e B due eventi tali che P (A) = (1 p 2 )p 1, P (B) = p 1 e P (A B) = 1 p 1 con 0 < p 1 < 1 e 0 < p 2 < 1. a) Calcolare P (B A) quando p 1 = 0.9 e p 2 = 0.5. b) Si può porre p 1 = 0.1 e p 2 = 0.5. Perché? 23 Giugno 2017, 10:00-13:00 Primo appello 3

4 Esercizio 3. M.F. ha una numerosa collezione di dischi di jazz. Uno dei suoi preferiti è Something else di Julian Adderley. Da molti anni M.F. ogni sera sceglie a caso un disco dalla sua collezione e ha osservato che in media ascolta Something else tre volte all anno. Sia X il numero di volte in un anno che M.F. ascolta Something else. a) Calcolare in modo approssimato P (X > 2). b) Siano X 1, X 2,... il numero di volte che M.F. ascolta Something else in anni successivi. Supponendo che X 1, X 2,... siano indipendenti, qual è la probabilità che M.F. debba aspettare esattamente 4 anni prima di ascoltare Something else più di due volte in un anno? 23 Giugno 2017, 10:00-13:00 Primo appello 4

5 Esercizio 4. Sul tavolo ci sono 2 monete una onesta e una disonesta. Presa una moneta la si lancia 2 volte. Si sa che la probabilità di scegliere la moneta onesta è 0.1. Inoltre, per la moneta disonesta la probabilità della croce è 2 volte quella della testa. Poniamo X = numero di teste nel primo lancio e Y = numero di teste nel secondo lancio. a) Calcolare la probabilità della testa nella moneta non onesta. b) Calcolare la densità congiunta. (Suggerimento: usare la formula delle probabilità totali.) c) Calcolare le densità marginali p X e p Y. d) Calcolare E(X)E(Y ) E(XY ). e) X e Y sono indipendenti? Giustificare la risposta. 23 Giugno 2017, 10:00-13:00 Primo appello 5

6 Esercizio 5. In uno dei suoi celebri esperimenti, Mendel esaminò il colore di 600 piante di piselli. Supponiamo che ciascuna pianta di piselli abbia una probabilità p = 1/4 di avere i frutti gialli, e che tali probabilità siano indipendenti. a) Calcolare la media e la varianza del numero totale di piante di piselli gialle. b) Consideriamo le variabili X i {0, 1}, i = 1,..., 600 con X i = 1 se la pianta di piselli è gialla e X i = 0 altrimenti. Chiamiamo X il numero totale di piante gialle. Scrivere X come funzione di X i, i = 1,..., 600. c) Siano X i {0, 1}, i = 1,..., n v.a. i.i.d. con X i Be(p). Enunciare il Teorema del Limite Centrale per queste variabili. d) Stimare, utilizzando l approssimazione normale, la probabilità che il numero totale di piante dai frutti gialli sia compreso tra 120 e 180. e) Mendel osservò 152 piante dai frutti gialli. Usando l approssimazione normale con la correzione di continuità, calcolare la probabilità che il numero totale di piante dai piselli gialli sia Giugno 2017, 10:00-13:00 Primo appello 6

7 Esercizio 6. Si consideri il modello statistico f λ (x) = { cλ exp( 4λ x) se 0 < x < + ; 0 altrimenti. a) Determinare c λ. b) Calcolare il valore atteso. c) Siano X 1, X 2,..., X n v.a. i.i.d. di densità f λ (x) e sia ˆT = 2X 1 + X 3 + 2X 4 5 uno stimatore di λ. Dare la definizione di stimatore corretto e dire se lo stimatore ˆT è corretto? d) Siano X 1, X 2,..., X n v.a. i.i.d. di densità f λ (x). Scrivere l espressione della densità congiunta f λ (x 1,..., x n ) delle variabili X 1, X 2,..., X n. e) Usando il metodo della Massima Verosimiglianza, calcolare uno stimatore di λ. f) Stimare λ, usando lo stimatore del punto (e) sapendo che 1 n n i=1 x i = Giugno 2017, 10:00-13:00 Primo appello 7

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